引入传递矩阵法的复杂多体系统连接件建模方法研究

高浩鹏，黄映云，刘 鹏

(海军工程大学 船舶与动力学院，武汉 430033)

引入传递矩阵法的复杂多体系统连接件建模方法研究

高浩鹏，黄映云，刘 鹏

(海军工程大学 船舶与动力学院，武汉 430033)

以复杂系统动力学建模为研究背景，在计算多体系统动力学理论指导下，提出引入传递矩阵法模拟连接件的建模方法。以柴油机机脚螺栓为例使用该方法进行建模分析，结果表明引入传递矩阵法的复杂多体系统连接件建模和分析是可行的，在不失复杂系统整体动力学特性的前提下较精确地融入了连接件的传递特性，调谐了大零部件和小连接件间耦合建模时所建立矩阵的奇异性，具有求解速度快、模型数据量小等优点。该建模方法给建立柴油机整机振动与抗冲击快速评估模型奠定了一定基础。

传递矩阵法;多体动力学;建模;螺栓

建模是把系统的本质部分信息减缩成有用的描述方式的过程［1］;对于动力学系统其建模的目的就是通过已知系统参数求解人们所关心的未知的系统固有参数，进而使得机械系统更好地工作。数学计算模型和试验模型的建模方法都是随着基础科学的进步而发展，当然系统建模的复杂度在增加，其研究对象趋向于复杂多体系统。

随着计算机应用技术的发展，人们对复杂多体机械系统的建模的研究主要集中在基于CAX技术的参数化物理计算模型［2］，对其边界条件以及初始条件的分析更加接近实际。对于目前集中建模方法的分析可以发现：有限元方法对于结构动力学问题可以很好地解决，但是其对于复杂边界条件添加较困难，对于具有大位移运动方式的构件的系统研究较少;多刚体系统动力学处理复杂边界条件的添加有一定的优势，处理具有大位移运动方式的构件系统研究较为方便，但是其对于单个构件自身的固有特性的研究较困难;刚柔混合多体系统动力学结合有限元与多刚体系统动力学，使得这两种方法进行互补，但是对于复杂多体系统建模时连接件的处理通过刚性连接定义，这与实际有较大差异。为了更好地解决复杂多体系统连接件的建模，本文提出将传递矩阵法与刚柔混合多体系统动力学方法相结合，实现复杂多体系统中连接件较为正确的建模方式。

1 研究背景

柴油机作为一种复杂机械系统的代表，其民用与军事方面的广泛应用使得对其动力学分析具有重要意义。作者对柴油机动力学方面的建模方法作如下分析：

(1)有限元方法建模(以曲轴为例)。对于曲轴单个零部件的强度分析较为精确和方便，但不能综合考虑连杆、活塞以及平衡轴等构件间的耦合作用［3］。

(2)多刚体系统动力学建模。可以方便的添加气缸压力等边界条件，综合考虑运动件间的耦合作用，较好地得到刚性系统的固有参数。

(3)刚柔混合多体动力学建模。在边界条件较易添加的基础上，将单个零部件融入系统中去分析［4］，得到零部件的固有参数更加准确，但是刚柔混合建模时刚柔的连接方式以刚性连接，难于模拟螺栓等连接件的传递特性，而在柴油机实际故障分析中可以发现某些螺栓(如机脚螺栓)对柴油机整机的动力学特性有较大影响。

另外，如果对于螺栓这种尺寸较小的零部件进行刚柔混合建模，其主要有以下弊端：其网格数量较大，使得多体动力学计算模型较大，影响计算速度甚至这种大刚度梯度使得计算难于顺利进行;刚柔混合建模利用模态叠加技术，很难准确模拟这种精细零部件的传递特性。在进行柴油机整体的振动和抗冲击分析时［5］，连接件的传递特性占有一定的比重，在计算模型大小和计算时间上都有一定的要求。综上，作者提出了利用传递矩阵法解决复杂系统中连接件的建模问题，在不改变连接件传递特性的基础上实现有限元方法、多体动力学方法以及传递矩阵法的耦合分析。

2 引入传递矩阵法的连接件建模方法研究

2.1 建模原理

为了便于计算机数值求解，目前计算多体系统动力学的建模方法主要基于笛卡尔数学建模［6］，柔性体系统中的坐标系如图1所示。对于柔性体而言，体内各点的位置时时刻刻都在变化，仅靠动坐标系不能准确表述该柔性体在惯性坐标系中的位置，所以引入弹性坐标系来描述柔性体上各点相对动坐标系的变形。由于柔性体上各点之间有相对运动，所以动坐标系选择浮动坐标系。由此可知柔性体上任意点的位置、速度和加速度的确定就是将运动分解后利用不同坐标系之间的关系来确定。如某柔性体从位置L1运动到L2(图1所示)，其运动分解为：刚性移动→刚性转动→变形运动。根据计算多体动力学中如何描述物体的位置、速度、加速度的原理，就可以由各种坐标系之间的关系建立起易于求解的多柔体系统动力学方程，柔性体的动力学方程从拉格朗日方程导出［7］。

通过刚柔多体系统的建模和求解原理可知，为了便于计算机自动建模主要在建立笛卡尔坐标系基础上通过拉格朗日方法进行求解，构件间的连接方式是通过自由度约束方程来实现。这种连接方式本质上是一种刚性约束，而对于如螺栓很难模拟其传递特性，故本文提出结合传递矩阵法来模拟螺栓连接。

图1 柔性体系统的坐标示意图Fig.1 The coordinate representing graph of flexible system

传递矩阵法是将结构系统离散为一些简单的弹性和动力部件，根据不同的问题和要求列出结合点处部件两端的状态矢量，并用振动时弹性系统部件状态矢量的传递关系列出传递矩阵，再利用弹性系统的边界条件，求得系统的数值解［8］。本文中主要通过传递矩阵法实现构件间的连接问题，特别是刚柔混合建模的连接问题。由参考文献［9］可知多种模型的传递矩阵，以平面运动单向弹簧阻尼器以及扭簧系统为例，其复传递方程分别如式(1)和式(2)所示：

2.2 建模方法的实现

下面以螺栓为例利用传递矩阵法在多体系统中对其进行建模。根据螺栓的状态方程的特点(如式(3)所示)，其模拟可以通过空间弹性铰系统实现;空间弹性铰由三个方向的弹簧和三个方向的扭簧组成;单向平面运动弹簧阻尼系统以及扭簧的传递矩阵参考文献［9］中有较详细的推导过程，其主要通过系统的运动微分方程，进行线性化等一系列变形得到，其传递矩阵如式(1)和式(2)所示。分析螺栓连接构件间的性质，根据其传递矩阵，在多体动力学中通过简单的函数表达式模拟其传递特性，可以方便的得到位移、角位移、速度以及角速度等量。

3 机脚螺栓的建模与传递特性分析

由于机脚螺栓承载着整机质量，另外由于某些机脚螺栓的断裂事故，本文以机脚螺栓为例通过本文所提出的建模方法对其进行建模并进行动力学特性分析。

3.1 多体动力学中螺栓建模

本文利用传递矩阵法对连接件的研究是建立在计算多体动力学基础之上，故文中首先对柴油机整机进行多体动力学建模。整机实体模型通过CAE软件实现，在此基础上添加初始条件和边界条件建立柴油机动力学分析模型，其中边界条件主要有：气缸压力、发火顺序及间隔角、构件间自由度约束关系、反扭矩以及多个弹性连接(如曲轴减振器和隔振器等)［10］。

本文中螺栓的建模是在多体动力学中利用传递矩阵法建立，由其传递矩阵可知螺栓的刚度必须求得。本文假设柴油机工作时螺栓变形处于线弹性范围，螺栓刚度通过有限元数值计算得到，其有限元模型如图2所示。文中所计算螺栓为M14高强度螺栓，材料的泊松比和弹性模量分别取0.27和20 600 MPa;其中共划分四面体实体单元45 495个，节点34 422个。计算中假设螺纹受力均匀并且螺牙与螺纹的接触以及螺栓与机脚的接触地方没有刚性位移;刚度计算过程为：在螺栓头部与螺杆交汇平面上的节点施加三个方向的位移约束，将螺牙与螺纹接触面上的所有节点进行多点约束，通过在多点约束上加载力和力矩，进而根据加载的力或力矩大小以及变形量求出刚度。文中求得螺栓三个方向的平动刚度和扭转刚度分别为：沿螺杆轴向平动刚度为1.36×106N/mm，其余两个方向平动刚度为2.65×105N/mm;沿螺杆轴向扭转刚度为1.8×108N·mm/rad，其余两个方向扭转刚度为9.4×107N·mm/rad。阻尼是在假设阻尼系数固定值的基础上求解得到。

一个机脚与机体连接时有四个螺栓(其编号如图3所示)，故采用刚体连接必然产生冗余约束，使得建立的拉格朗日方程组难以调谐进而不能求解;所以文中对机脚进行柔性化处理，得到刚柔混合模型。机脚的有限元模型如图3所示，其中共22 939四面体实体单元，5 943节点，在刚柔混合连接时注意单位的统一及多点约束的添加。在以上模型准备的前提下，利用传递矩阵法模拟连接件并建立的柴油机刚柔混合多体系统模型如图4所示。

图2 机脚螺栓有限元网格Fig.2 FEA mesh grid of the support bolt

图3 机脚有限元网格Fig.3 FEA mesh grid of the support

图4 柴油机整机多体系统平台Fig.4 The platform of diesel multibody system

3.2 动力学特性分析

在上文模型建立的基础上，作者通过刚性连接模拟螺栓和传递矩阵法模拟螺栓这两种不同方法对比分析其动力学传递特性(文中主要以图4中①号机脚为例进行对比分析)。

图5是①号机脚传递给机座的垂向力，其中实线为刚性连接模拟螺栓，虚线为传递矩阵法模拟螺栓。由图中可以发现，两种方法传递的力其总的趋势基本一致，刚性连接模拟螺栓时其力具有一定的波动性，分析其平均值可以发现其较传递矩阵法模拟略大，这是因为传递矩阵法是一种弹性连接，具有一定减振效果。

图5 机座垂向受力对比曲线Fig.5 The contrast of support’s vertical force curves

在对机脚传递给机座的力分析的基础上，作者对四个螺栓处的传递力进行分析。图6是传递矩阵法模拟螺栓时垂向力对比图;其中图6(a)是四个螺栓的垂向力对比图;为了较为清楚的对比，图6(b)实线为Ⅰ号位置垂向力，虚线为Ⅱ号位置垂向力;图6(c)实线为Ⅰ号位置垂向力，虚线为Ⅲ号位置垂向力。图7是刚性连接模拟螺栓时垂向力对比图，其中实线为Ⅰ号位置垂向力，虚线为Ⅲ号位置垂向力。由这几幅图可以发现：传递矩阵法模拟螺栓得到四个螺栓处的力分布不是很均匀(其中安装高度较小的螺栓处受力较大)，其力的大小在平衡位置波动比较切合实际;由图7中可以看出其波动幅值较大，而且其相位明显相反，通过分析发现刚性连接模拟螺栓时由于是自由度上的约束，虽然宏观上其传递的总力符合实际情况，但是其在柔性体内部力的分布特性与实际有较大差异，这是为了调谐同一个自由度的多个约束而产生的。

图6 传递矩阵法模拟螺栓时螺栓垂向受力对比图Fig.6 The contrast of bolt’s vertical force curves using transfer matrix method

图7 刚性连接时螺栓垂向受力对比图Fig.7 The contrast of bolt’s vertical force curves using fixing constraint

图8是机脚应力最大时的应力云图，其中图8(a)是传递矩阵法模拟螺栓所得，图8(b)是刚性连接模拟螺栓所得。由图中以及应力曲线可知，传递矩阵法模拟螺栓得到机脚应力幅值为16.4 MPa，刚性连接模拟螺栓所得值为13.6 MPa。虽然传递矩阵法模拟螺栓时得到机脚传递给机座的力略小，但是由于传递矩阵法模拟螺栓时机脚不同螺栓处的受力不均匀，所以其应力幅值较大。对比两种不同建模方法得到的机脚应力幅值可知，传递矩阵法得到的机脚应力幅值比刚性连接得到的幅值大20.6%，可见在某些情况下刚性连接时其连接零部件的应力幅值并非保守。

图8 机脚应力云图Fig.8 The stress nephogram of support

通过对螺栓不同模拟方法得到结果的对比分析可以发现，传递矩阵法能更加切合实际的模拟螺栓连接。由于柴油机零部件众多，结构复杂，零件大小差异大，所以仅仅通过全刚柔混合建模其模型数据量较大，求解较为困难;但传递矩阵法的引入，可以很好地解决如螺栓这种小的连接件的动力学特性模拟，并且模型的数据量不是很大。当然本文主要对方法的应用做了初步实践，由于实际中很多连接件具有非线性因素，所以在模拟如螺栓这种连接件时可以通过在有限元中对其传递函数进行分析，再在多体动力学中通过数值编程方法模拟其连接特性。

4 结论

本文在分析多体动力学分析复杂机构利弊的基础上，提出在多体动力学中引入传递矩阵法，较好地解决了由于复杂机构全刚柔混合多体动力学中数据量大并且难以精确模拟连接件这方面的问题。在此基础上以柴油机机脚螺栓为例，对多体动力学中引入传递矩阵法时其动力学特性进行分析，结果表明该方法的可行性以及其优点：易于处理复杂构件间的连接问题;在通过有限元等其它方法分析复杂连接件的基础上建立的多体动力学模型数据量较小，易于求解，计算速度快;处理连接件的边界条件更加切合实际。

文中引入传递矩阵法对连接件的处理可以进一步应用于柴油机整机的振动分析以及抗冲击分析。根据传递矩阵法求解速度快的特点，在对各个零部件连接件特性分析的基础上，可以通过非线性传递函数在多体动力学中建立柴油机整机振动和抗冲击快速评估模型;更好地掌握柴油机中振动传递特性，为柴油机隔振以及噪声控制分析奠定一定的基础。

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Modeling of linkers in complex multibody system with transfer matrix method

GAO Hao-peng，HUANG Ying-yun，LIU Peng
(College of Marine and Power Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

On the basis of the theory of computational dynamics of multi－body systems，the transfer matrix was introduced to model the linkers in complex multi－body systems.As an example，the support bolt engine block was modeled and analyzed using the method proposed.The result shows that the modeling and analyzing method is feasible.On the premise of keeping the integral dynamics characteristics of complex systems unchanged and maintaining the linker's transfer characteristic properly，the method has the advantages of fast speed in achieving solution and small data size in calculation.The modeling method gives a foundation to establish the rapid assessment model of integrative diesel's vibration and impact.

transfer matrix method;dynamics of multibody system;modeling;bolt

TB532

A

2011－05－18 修改稿收到日期：2011－09－15

高浩鹏 男，博士生，1986年生

黄映云 男，教授，博士生导师，1960年生