非自治广义Birkhoff系统的Poisson理论

龙梓轩，张 毅

（苏州科技学院a.数理学院；b.土木工程学院，江苏 苏州 215009）

分析力学的Poisson理论，包括定义Poisson括号、建立第一积分的Poisson条件、由已知积分导出新的积分等是研究动力学系统的一个重要数学工具.Birkhoff力学是Hamilton力学的推广［1］，Hamilton系统的Poisson理论可纳入Birkhoff系统.梅凤翔［2－3］曾研究了自治和半自治Birkhoff系统的代数结构和Poisson理论，尚玫等［4］给出广义Poisson条件以及由一个积分构造另一个积分的方法.1993年，梅凤翔［5］在Birkhoff方程的右端增加一个附加项，并称其为广义Birkhoff方程.因为通常的Birkhoff系统不容易构造，而广义Birkhoff方程的实现则较易，并且有更多的“自由度”，因此对广义Birkhoff系统动力学的研究具有重要意义.近年来，关于广义Birkhoff系统动力学的研究报道较多［6－12］.在本文中，笔者拟进一步探讨非自治广义Birkhoff系统的代数结构，建立该系统的Poisson定理，并将Poisson理论推广到非自治广义Birkhoff系统，讨论与非自治广义Birkhoff系统Poisson条件相关的动力学逆问题.

1 非自治广义Birkhoff系统的代数结构

广义Birkhoff系统的运动微分方程为［5］1460

其中B＝B（t，a）为Birkhoff函数，Rμ＝Rμ（t，a）为Birkhoff函数组，Λμ＝Λμ（t，a）为附加项.如果Birkhoff函数B，Birkhoff函数组Rμ（μ＝1，…，2n）以及附加项Λμ都显含t，则称为非自治的.

将方程（1）表示为如下形式：

令

则方程（2）可表示为逆变代数形式：

其中Sμν＝Ωμν＋Tμν.将某函数A（a）按方程（4）求对时间t的导数定义为一个积：

定理1 非自治广义Birkhoff系统的运动方程（1）具有相容代数结构.

由积（5）定义一个新积：

它具有反对称性 ［A，B］＋［B，A］＝0，并满足Jacobi恒等式［A，［B，C］］＋［B，［C，A］］＋［C，［A，B］］＝0，于是有如下定理.

定理2 非自治广义Birkhoff系统的运动方程（1）具有Lie容许代数结构.

2 非自治广义Birkhoff系统的Poisson理论

如果I（t，a）＝c是系统（4）的第一积分，则有

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反之，如果I满足式（7），则I必是广义Birkhoff系统的积分.式（7）称为广义Birkhoff系统的Poisson条件，于是有如下定理.

定理3 I＝I（t，a）是非自治广义Birkhoff系统（4）的第一积分的充分必要条件是式（7）.

将Poisson条件（7）对t求偏导数，得到

如果Sμν（∂B／∂aν）不显含t，则式（8）成为

这表明∂I／∂t是系统的第一积分，于是有如下定理.

定理4 如果非自治广义Birkhoff系统（4）有包含时间t的第一积分I＝I（t，a），而Sμν（∂B／∂aν）不显含t，那么∂I／∂t，∂2I／∂t2，…都是系统的第一积分.

同样，将Poisson条件（7）对aρ求偏导数，得到

如果Sμν（∂B／∂aν）不显含aρ，则式（10）成为

这表明∂I／∂aρ是系统的第一积分，于是有如下定理.

定理5 如果非自治广义Birkhoff系统（4）有包含变量aρ的第一积分I＝I（t，a），而Sμν（∂B／∂aν）不显含aρ，那么∂I／∂aρ，∂2I／∂aρ2，…都是系统的第一积分.

定理3～5构成了广义Birkhoff系统的Poisson理论.用定理3可以判断第一积分，用定理4和定理5可以由已知第一积分导出新的第一积分.

3 非自治广义Birkhoff系统的广义Poisson方法与动力学逆问题

动力学逆问题是经典力学的主要问题之一，梅凤翔在其专著［13］中进行了系统深入的研究.与非自治广义Birkhoff系统的Poisson条件相关的动力学逆问题的提法如下：根据已知第一积分

来求非自治广义Birkhoff系统中的动力学函数Rμ，B和Λμ.

为解上述逆问题，须将第一积分（12）代入Poisson条件（7）中，得到关于Rμ，B和Λμ的一个偏微分方程，再由这个偏微分方程找到这（2n＋1）个函数.显然，这类逆问题没有唯一解.

4 算例

例1 某四阶非自治广义Birkhoff系统为

已知系统的一个第一积分为

试证明∂I／∂a2，∂2I／∂（a2）2，… 都是该系统的第一积分.

由式（13）和（14）得

式（15）是包含变量a2的第一积分，而式（16），（17）都不显含a2，由定理5得

都是该系统的第一积分.

例2 已知某二阶非自治广义Birkhoff系统的一个第一积分

试求系统的动力学函数R1，R2，B，Λ1和Λ2.

将式（18）代入Poisson条件（7）中，得到

偏微分方程（19）中有5个未知数R1，R2，B，Λ1和Λ2，因此没有唯一解.现在取

则Ω12＝－Ω21＝t－2.此时方程式（19）成为

由此可得

式（20），（21）给出了该问题的一个解.

［1］SANTILLI R M.Foundations of theoretical mechanics II Birkhoffian generalizations of hamiltonian mechanics［M］.New York：Springer－Verlag，1983：110－280.

［2］MEI Feng－xiang.Poisson’s theory of Birkhoffian system ［J］.Chin Sci Bull，1996，41（8）：641.

［3］MEI Feng－xiang.On the Birkhoffian mechanics［J］.Int J Non－linear Mech，2001，36（5）：817－834.

［4］SHANG Mei，MEI Feng－xiang.Poisson theory of generalized Birkhoff equations［J］.Chin Phys B，2009，18（8）：3155－3157.

［5］MEI Feng－xiang.The Noether’s theory of Birkhoffian systems［J］.Sci China：Ser A，1993，36（12）：1456－1467.

［6］梅凤翔，张永发，何光，等.广义Birkhoff系统动力学的基本框架 ［J］.北京理工大学学报，2007，27（12）：1035－1038.

［7］MEI Feng－xiang，XIE Jia－fang，GANG Tie－qiang.A conformal invariance for generalized Birkhoff equations［J］.Acta Mech Sin，2008，24（5）：583－585.

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［10］ZHANG Yi.Symmetries and conserved quantities of generalized Birkhoffian systems［J］.J of Southeast Univ：Engl Ed，2010，26（1）：146－150.

［11］LI Yan－min，MEI Feng－xiang.Stability for manifolds of equilibrium states of generalized Birkhoff system ［J］.Chin Phys B，2010，19（8）：080302：1－3.

［12］MEI Feng－xiang，CUI Jin－chao.Lie symmetries and generalized conserved quantities for Birkhoff system ［J］.J Beijing Instit Tech，2011，20（3）：285－288.

［13］梅凤翔.动力学逆问题 ［M］.北京：国防工业出版社，2009：242－294.