驻波的能量分析与MATLAB模拟

徐宗瑜 胡小克

(河海大学计算机及信息学院 江苏 南京 210098)

朱卫华

(河海大学理学院 江苏 南京 210098)

1 引言

驻波是《大学物理》中的一个章节．它在传播过程中的能量变化始终是困扰学生学习的一个难点，其理论性较强，难以理解．

对驻波的能量分析，虽然已有不少的文献作了讨论[1，2]，但是分析角度大多选取了能量、能量密度、能流密度中的一个或两个进行分析．而且理论分析太过于抽象，还是不利于学生对于此问题的深入了解．

本文从能量、能量密度、能流密度三个角度对驻波传播过程中的能量转换规律进行全面分析．用Matlab程序实现了驻波波形、能量、能流密度的计算机模拟，生动展现其传播过程，有利于学生对相关概念的理解．

2 驻波中的能量

2.1 驻波方程

设有两个振幅均为A,角频率为ω,波长为λ的相干谐振波,一个沿x轴正方向传播,另一个沿x轴负方向传播．其波动方程分别为

(1)

任选一交叠点为原点,并在x=0时振动质点向上移动到最大位移时为计时起点,得到横驻波方程为[1]

(2)

(3)

波线上振幅始终为最大值的点是波腹，波腹位于

(4)

介于波腹和波节之间的质元的振幅则介于最大值和最小值之间．

2.2 驻波的动能和势能

设波是在密度为ρ的弹性均匀介质中传播，现在坐标为x处取一体积元为dV,称之为介质体元，其质量为dm=ρdV,视该体积元为一小体积元．由式(2)可求出介质体元的振动速度

(5)

由此得介质体元的动能为

(6)

介质体元产生相对弹性形变

(7)

由此得介质体元的弹性形变势能为

(8)

式中k为弹性模量

(9)

2.3 驻波的能量和能量密度

由上面的式(6)和式(8)可得，介质体元的总能量为

dE=dEk+dEp=

(10)

由式(10)得介质的能量密度为

(11)

可证，平均能量密度为

(12)

根据dEk，dEp，dE，w的表达式可知,各质元的动能、势能和机械能随时间作周期性的变化．

3 驻波传播过程中的能量转换

3.1 总能量的转换

体积元dV=Sdx，其中S为体积元横截面积，则任一相邻波节波腹间的总能量为[2]

(13)

其中应用了积分公式

同理，任一不相邻波节波腹间的总能量为

(14)

由此证明了不相邻波节波腹间的总能量也守恒．这一规律还可以进一步推广．设某一波节位于x1处,点a位于x1+Δx处;某一波腹位于x2处,某点b位于x2+Δx处，称a和b为一对“对应”位置点．由式(10)可得,一对“对应”位置点间的总能量为

(15)

由此证明了任一波节波腹间,任一一对“对应”位置间的总能量都守恒，即能量不能从波节或波腹流出或流入,能量被禁锢在相邻波节与波腹之间,即驻波在振动过程中不存在能量的定向传播．

3.2 波节和波腹处能量密度

将式(3) 和式(4)式分别代入式(11)可得, 波节处的能量密度为

w1=2ρA2ω2cos2ωt

(16)

波腹处的能量密度为

w2=2ρA2ω2sin2ωt

(17)

在任意时刻, 且无论所考虑的波节和波腹是否相邻, 均有

w1+w2=2ρA2ω2

(18)

wa=2ρA2ω2(sin2Δxsin2ωt+cos2Δxcos2ωt)

(19)

wb=2ρA2ω2(cos2Δxsin2ωt+sin2Δxcos2ωt)

(20)

则wa+wb=2ρA2ω2

(21)

3.3 能流密度

通常，大多数教材都用能流密度(又称波强)来简要描述波传播能量的本领，基于此，主要讨论简谐波的(瞬时)能流密度——单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积的能量(见图1)，即

(22)

图1

两相干波的能流密度分别为

(23)

I=I1-I2=

(24)

4 计算机模拟驻波能量的变化

为了更好地展现驻波能量的变化，利用Matlab7.0对驻波的传播过程进行了计算机编程模拟．

如图2(a)所示，可以同时展现驻波的形成和此过程中动能密度、势能密度、总能量密度以及能流密度的变化特点．

图2

这些图都形象地说明了驻波不是驻定不变的波,在相邻波节和波腹间能量的转移和转化一刻也没有停止过．计算机的模型情况可以进一步充分说明之前的理论说明是正确的．程序运行时可以设置驻波的振幅、角频率和波长，程序中用不同的颜色来表示驻波波形、动能、势能、总能量和能流密度,便于观察、区别和分析．通过选择相应指令,可实现对不同情况下驻波能量变化和转移特点的观察和分析．

5 结论

(1)驻波在波节与波腹之间的能量守恒．因存在两个方向相反、大小相等的能流，所以驻波的能流密度在波节和波腹处皆为零．

(2)在振动过程中能量不断地从波节到波腹间相互转移．且各段上的能量总和是不变的．

(3)从整体看驻波不传播任何能量，驻波没有单向的能量传输．

参考文献

1 郭建军.关于驻波能量的分析.大学物理，2005(24)：23～25

2 宋德山,张秀珍. 驻波的能量分析.天中学刊, 2002( 5)