平衡点对应的最大速度在各类物理题中的应用

韩雪英

(东北电力大学理学院 吉林 吉林 132012)

陈克梅 王 影

(吉林市实验中学 吉林 吉林 132011)

平衡点是指合力为零的点，在非匀变速运动中，加速度、速度都在变化，常出现这样的对应关系，即加速度为零的点对应速度的最大值，抓住这个隐含条件是解决问题的突破口.下面给出这一隐含已知条件在具体问题中的应用.

1 在弹簧类问题中的应用

运动过程中由于弹力是变力，引起加速度的变化，物体做非匀变速运动，当加速度a=0时，对应速度v有极大值.解决这类问题的关键在于抓住最大速度对应的平衡点.

图1

【例1】如图1所示，自由下落的小球，从它接触竖直放置的弹簧开始，到弹簧压缩到最大限度的过程中，小球的速度和加速度的变化情况是

A.加速度变大，速度变小

B.加速度变小，速度变大

C.加速度先变小后变大，速度先变大后变小

D.加速度先变小后变大，速度先变小后变大

解析：小球接触弹簧后，受到竖直向下的重力和竖直向上的弹力，其中重力为恒力.在接触的开始阶段，由于弹簧的形变较小，重力大于弹力，合力向下，小球的加速度向下，由于加速度的方向跟速度的方向相同，因此,小球的速度不断变大.在这一过程中随着弹力的不断增大，合力逐渐减小，小球的加速度逐渐减小.当弹力增大到和重力相等时，小球所受合外力为零，加速度等于零，此时小球具有向下的最大速度.由于惯性小球仍向下运动，继续压缩弹簧到最大限度的过程中，弹力大于重力，合外力向上且逐渐变大，加速度方向与速度方向相反，小球做加速度逐渐增大的减速运动.所以，选项C正确.

【例2】如图2所示,一条轻质弹簧左端固定,右端系一小物块,物块与水平面各处动摩擦因数相同,弹簧无形变时,物块位于O点.今先后分别把物块拉到P1和P2点由静止释放,物块都能运动到O点左方,设两次运动过程中物块速度最大的位置分别为Q1和Q2点,则Q1和Q2点

A.都在O处

B.都在O处右方,且Q1离O点近

C.都在O处右方,且Q2离O点近

D.都在O处右方,且Q1和Q2在同一位置

图2

解析：最大速度对应加速度a=0的点，找到此点为关键.物块向左运动，摩擦力向右，所以平衡点处弹力向左，弹簧处于拉伸状态，平衡点应在O点的右侧，再根据

κx=f

即

所以,平衡点的位置不会因P点的不同而不同.答案为选项D.

这类题还可以与能量问题及图像问题结合，如将弹簧换成蹦极带或蹦蹦床.但解题的关键点都在于抓住最大速度对应平衡点这一条件.

【例3】如图3(a)所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复.通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧的弹力F随时间t变化的图像如图3(b)所示，则

A．t1时刻小球动能最大

B．t2时刻小球动能最大

C．t2～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少

D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能

图3

解析：t1时刻小球刚与弹簧接触，之后做加速度减小的加速运动；t2时刻为弹簧形变量最大的时刻，速度v=0，所以动能为零，对应的弹性势能最大，重力势能最小.在t1～t2之间存在重力和弹力相等的平衡点，那时的速度最大，动能最大.而t2～t3之间是t1～t2的逆过程，动能先增大后减小，弹性势能一直减小，重力势能一直增大.所以答案为选项C.

2 在磁场力问题中的应用

磁场力包括洛伦兹力和安培力，这两种力都可能与速度有关，洛伦兹力的大小为

F洛=qvB

因切割磁场而产生的安培力大小为

磁场力与速度有关，变速运动过程中，与速度相关的力会发生变化，进而导致加速度的变化，物体做非匀变速运动.当物体从静止开始做加速直线运动时，会存在这样的隐含条件:(1)当速度v=0时，常对应加速度a的最大值；(2)当物体运动到平衡点时，加速度a=0，对应速度的最大值.物体达到最大速度后，力不再变化，从而与力相关的速度不再变化，之后物体将做匀速直线运动.这也多了一种利用力求速度的方法.

【例4】如图4所示，套在绝缘棒上的小球，质量为m，带有q的正电荷，小球在棒上可以自由滑动，直棒放在互相垂直且沿水平方向的匀强电场E和匀强磁场B之中，小球和直棒之间的动摩擦因数为μ，求：小球由静止沿棒竖直下落的最大加速度和最大速度(设小球在运动过程中电荷量不变).

图4

解析：求加速度时，对小球做受力分析如图5.

图5

开始运动时v=0，洛伦兹力为零，对应的加速度尚未达到最大；随着速度的增大，洛伦兹力在增大，摩擦力f在减小，加速度随之增大，当f=0时，弹力N=0，即qE=qvB，加速度达到最大值a=g；之后qE

N+qE=qvB

竖直方向有

f=mg

f=μN=μ(qvB-qE)

求得

物体将以最大速度vm做匀速直线运动.

【例5】如图6所示，MN和PQ是两根足够长且固定的平行光滑导轨，两导轨间距为L，导轨平面与水平面的夹角为θ.在整个导轨平面内部都有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场，磁感应强度为B.在导轨的MP端连有一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置，质量为m,不计电阻的金属棒ab在距NQ端为s的地方无初速度沿导轨滑下，求：下滑过程中的最大加速度和最大速度.

图6

解析：金属棒到达底端前经历了加速和匀速运动，导体ab因切割磁感线而产生感应电流，该电流受到的安培力为

加速度为

ma=mgsinθ-F

当v=0时，安培力F=0，加速度最大为

a=gsinθ

当a=0时

速度有最大值

3 在阻力问题中的应用

物体在空气、液体或固体中运动，阻力与速度相关，速度越大，阻力受速度的影响越大，一般会出现阻力与速度的一次方、二次方或三次方成正比的情况，即f=kv，f=kv2或f=kv3.当物体由静止开始运动的过程中，有两个特殊位置，一是当速度v=0时，常对应加速度a的最大值；二是当物体运动到平衡点时，加速度a=0，对应速度的最大值.物体达到最大速度后，力不再变化，从而与力相关的速度不再变化，之后物体将做匀速直线运动.此速度常被称为收尾速度.

【例6】跳伞运动员从跳伞塔上跳下，当降落伞全部打开时，伞和运动员所受的空气阻力大小跟下落速度的平方成正比，即f=kv2.已知比例系数k=20 N·s2/m2.运动员和伞的总质量m=72 kg，设跳伞塔足够高且运动员跳离塔后即刻打开伞，取g=10 m/s2，求：

(1)跳伞员的下落速度达到3 m/s时，其加速度多大；

(2)跳伞员最后下落速度多大.

解析：(1)对运动员受力分析，根据牛顿第二定律，可得

ma=mg-kv2

将v=3 m/s代入，加速度为

a=7.5 m/s2

(2)当a=0时

速度有最大值

代入数据得

vm=6 m/s

之后,以此速度做匀速直线运动.

4 在圆周运动中的应用

物体在做圆周运动的过程中,任何时刻都处于非平衡态.某一圆周运动速度的最大值位于平衡点处，平衡点即使物体静止的合外力为零的点.而速度最小值位于速度最大值对应的直径的对侧端点处，并且速度最小值点恰是做圆周运动的物体最难通过的点，即物体在这点最容易脱离圆周运动轨道.这正是实际生活中圆周运动最应注意的问题，当然，也是物理考题中的易考点.解决这类问题的关键是做好场力分析，找到平衡位置，根据具体情况灵活应对.

图7

图8

解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可将此二力等效为一个恒力F，如图8所示.可知F=1.25mg，方向与竖直方向左偏下α=37°，设P点为

平衡点，则P点等效力F与电荷所受的弹力N等大反向，其直径所对端点D为速度最小值点，是能做完整的圆周运动最难通过的点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零.由圆周运动知识得

再由动能定理有

代入数据得

h=17.5R

物理题中经常会有隐含的已知条件，题中的隐含已知条件可谓“题眼”，是破译解题密码的关键所在.若能抓住题眼，便会轻松解题.首先，要学会找题眼；其次，通过情境分析能将题眼转化成物理条件；再次，引出相关的物理公式,最终完成解题目标.上述的平衡点对应最大速度就是特点鲜明的一种隐含条件，利用平衡点处合力为零，列出平衡方程即可解题；或根据具体情况抓住其规律，像圆周运动抓住的是平衡点对应直径的对侧端点为最难通过点，经常是先求出此点的最小速度，再进一步解题.寻找规律一定要考虑实际背景，既扎实又要学会灵活，以不变的规律应万变的题设.