拟小波方法在梁动力稳定性分析中的应用

宋志伟， 李 威， 渠鸿飞

(华中科技大学 船舶与海洋工程学院， 湖北 武汉 430074)

结构的动力稳定性一直受到人们广泛的关注[1～5]。解析法[1]和数值方法[2～4]已经被成功应用于结构动力稳定性分析中。本文提出了求解梁动力稳定性的拟小波方法[6]，利用该方法计算了两端简支和固支梁的动力失稳区，并讨论了周期性轴向力中恒定项对动力失稳区的影响，与解析解对比验证了采用拟小波法求解梁动力稳定性的可行性和有效性。

1 振动方程

当直梁受到周期性轴向力PS+PDcos(θt)作用时，根据欧拉梁理论，忽略转动惯量和剪切效应，其振动方程为[1]：

(1)

其中,E为杨氏模量,I为截面惯性矩,m为单位长度质量,PS+PDcos(θt)为周期性轴向力，PS为恒定项,PD和θ分别为幅值和激励圆频率，u为横向位移,t为时间。

为了简化，引入以下无量纲量

则,(1)式可以化为:

(2)

将(2)式改写为:

(3)

两端简支边界条件为:

U(0,τ)=U(1,τ)=0，

两端固支边界条件为:

U(0,τ)=U(1,τ)=0，

2 数值方法和离散式子

2.1 拟小波数值方法

拟小波方法是Wei[6]等人提出来的一种新型的数值方法，已经被成功应用于科学和工程多领域中[7～10]。关于该方法的数学理论和应用，可参考Wei等[8～10]的文献。根据Shannom定理,引进拟尺度函数[7]

δΔ,σ(x-xk)=

(4)

(5)

由于拟小波具有良好的局域特性,实际计算只需要在网格点x附近取2W个计算点即可达到计算精度。(5)式对空间坐标x的n阶导数为

(n=0,1,2, …)

(6)

在(1)式中需要求空间的二阶和四阶导数，其表达式见文献[8]。

2.2 离散式子

本文利用拟小波数值离散格式(6)式离散(3)式的空间导数, 四阶Runge - Kutta (RK4)法离散时间导数。具体如下[7]: 将空间X坐标进行均匀等分,单元网格大小记为ΔX=(1-0)/N(N为单元网格总数)。网格点坐标Xj(j=1,2,…,N+1),于是Xj-Xj+k=-kΔX,在网格点Xj的无量纲位移U记为Uj, 则(3)式可以写为：

(j=1,2,…,N+1)

(7)

令 {yj}={y1,y2,…,y2N+2}={U1,U2,…,UN+1,V1,V2,…,VN+1} (j=1,2,…,2N+2)

当j=1,2,…,N+1时

fj=yj+N+1

(8)

当j=N+2,N+3,…,2N+2 时

(9)

则可以得到统一写成的半离散的形式

(10)

用四阶Runge - Kutta (RK4)法离散时间导数，其格式[11]为：

(11)

(j=N+2,N+3,…,2N+2)

(12)

(j=N+2,N+3,…,2N+2)

(13)

3 算例与讨论

3.1 梁的动力稳定性

首先讨论两端简支和固支梁受到轴向力PDcos(θt)作用时梁的动力稳定性。此时恒定项PS=0，即(3)式中α=0。为了计算梁的第一失稳区[1],Θ的取值为[1.5, 2.5]，μ的取值为[0，0.5]。计算时，μ由稳定区取值到失稳区，间距为0.025。依据动力失稳准则[3]：如果振动的幅值在很长一段时间内单调递增,则认为振动是不稳定的；否则,振动是稳定的。判断出振动响应的稳定性，从而得到梁的失稳区。对于简支梁，初始条件和参数设置为U(X,0)=0,∂U(iΔX,0)/∂τ=sin(iΔXπ)(i= 0,1,2,…,N)。λl=π,N=18,W=15,r=2.5,Δτ= 2.5×10-6。对于固支梁，初始条件和参数设置为：U(X,0)=0,∂U(X,0)/∂τ=[0 0.0325 0.1191 0.2435 0.3900 0.5435 0.6901 0.8178 0.9164 0.9787 1.0000 0.9787 0.9164 0.8178 0.6901 0.5435 0.3900 0.2435 0.1191 0.0325 0]，λl=4.7300,N=20,W=15,r=2.5,Δτ=2.5×10-6, 参数N，W，r的设置参考文献[8，9，12]。

图1为简支梁自由振动位移响应曲线。从图中发现由拟小波法计算的中点位移响应曲线和不同无量纲时间点的变形曲线分别与解析解吻合得很好。这说明采用拟小波法计算梁的动力响应是可行的和有效的。同时，由拟小波法计算的不同时间点的变形曲线是光顺的，这说明采用反对称延拓[9]处理简支边界是合理的。

图1 简支梁自由振动位移响应曲线

图2 简支梁无量纲位移响应曲线

图2为简支梁无量纲位移响应曲线。由图2(a)、(b)和(e)可以判断这些曲线是随时间单调递增的, 则在这些情况下振动是不稳定的；由图2(c)和(d)可以判断这些振动是稳定的。 由图2(c)、(d)和(e)可得到，当θ/2Ω不变时，随着μ增大，梁由稳定状态逐步变为失稳状态[1]。 重复上述过程，可以得到不同θ/2Ω和μ所对应的位移响应曲线以及其稳定性。图3为简支梁的稳定图，在图3中,由“●”和“○”分别形成的稳定区和不稳定区,与理论的稳定和不稳定区[1]吻合得很好。

“—”为理论失稳边界；“●”,“○”为拟小波法稳定和失稳结果图3 简支梁稳定图

上述梁的动力稳定性是根据位移响应曲线来判断的,也可以根据相位图来判断稳定性[13]。图4为简支梁的相位图。其中，横轴和纵轴分别为中点无量纲位移U(0.5,τ)和速度V(0.5,τ)，相轨迹是顺时针方向，点’S’和’E’分别表示计算时间起点和终点。由图4可以判断出θ/2Ω=0.9,μ=0.15和μ=0.175时振动是稳定的；θ/2Ω=0.9,μ=0.2时振动是不稳定的。这些结论与前面的结论相同。

图4 简支梁的相位图

利用上述拟小波算法，采用对称延拓[9]处理边界条件，可以得到两端固支梁的稳定图见图5。在图5中,由‘●’和‘○’分别形成的稳定区和不稳定区,与理论的稳定和不稳定区[1]吻合得很好。

“—”为理论失稳边界；“●”,“○”为拟小波法稳定和失稳结果图5 固支梁的稳定图

3.2 恒定项的影响

本小节讨论两端简支梁受到轴向力作用时恒

定项对失稳区的影响。分别取α=0.3和α=0.5来讨论，相关参数和初始条件的设置与计算简支梁稳定性时相同。

图6为α=0.3时梁中点无量纲位移U(0.5,τ)响应曲线。 由图6(a)、(d)和(f)，可以判断α=0.3时θ/2Ω=0.837,μ=0.05；θ/2Ω=0.753,μ=0.2；θ/2Ω=0.962,μ=0.325情况下振动是不稳定的；由图6(b)、(c)和(e)可以判断α=0.3时θ/2Ω=0.753,μ=0.15；θ/2Ω=0.753,μ=0.175；θ/2Ω=0.962,μ=0.3情况下振动是稳定的。重复上述过程，即可得到α=0.3时梁的稳定图，采用同样的方法可以得到α=0.5时梁的稳定图见图7。在图7中由拟小波法得到α=0.3和α=0.5时的不稳定区和稳定区与理论的不稳定区和稳定[1]区吻合很好；同时发现随着轴向力中恒定项的增大(α由0.3增大到0.5)，失稳区由高频区移到低频区，结构对周期性轴向力变得敏感，这与理论规律[1]也是相同的。

图6 α=0.3时梁的无量纲位移响应曲线

“—”,“- -”,“- · -”为α=0, α=0.3, α=0.5理论失稳边界；“●”,“○”为α=0.3拟小波法稳定和失稳结果；“▼”,“▽”为α=0.5拟小波法稳定和失稳结果图7 变化时梁的稳定图

4 结 语

本文采用拟小波方法研究了两端简支和两端固支梁的动力稳定性，还讨论了轴向力中恒定项对稳定区的影响.通过对比分析，发现由拟小波法所得的稳定图与理论的稳定图吻合得很好，同时研究表明轴向力中恒定项的增加导致失稳区由高频区移向低频区,这与理论结果也是相同的。从而说明采用拟小波法研究梁的动力稳定性是可行的和有效的。本文的研究也为结构动力稳定性分析提供了一种新的思路和方法。

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