一类分式序列封闭形和式

及万会，马东娟

（银川能源学院基础部，宁夏 银川750105）

熟知fibonacci序列的通项公式an＝，Pell序列通项公式2）n＋1－（1 －2）n＋1｝，这些封闭形公式简捷赏心悦目，寻求函数封闭形和式是许多人研究的对象.文献［1，2］中讨论了二项式系数和的封闭形和式与级数计算，文献 ［3］给出一类Lucas数与三角函数乘积的封闭形和式.文献 ［4，5］得到含有三角函数的切贝雪夫多项式的封闭形和式与两个三角函数积的和的封闭形和式.利用反正切函数公式arctan F（n）－arctan F（n＋1）＝arctan，选择寻适当F（n），给出计反正切函数序列封闭形和式.再用微分法得到分式序列封闭形和式，最后给出一些反正切级数与分式级数闭形和恒等式.

命题1 设a，b，c，d为实数，则反正切序列封闭形和式为

故 （1）式成立.

在 （1）式依次令a＝0；b＝0；c＝0；d＝0；得到 （2），（3），（4），（5）式.

命题2 设a，b，c，d为实数，下列分式封闭形和式成立

证明 在 （1）式两端分别依次对a，b，c，d微分并令A＝a2＋c2，B＝a2＋c2＋2ab＋2cd，C＝ab＋cd＋b2＋d2得到 （6），（7），（8），（9）式.

例1 在 （1）中令1）a＝1，b＝2，c＝3，d＝1；2）a＝1，b＝3，c＝3，d＝1；3）a＝2，b＝3，c＝1，d＝1；4）a＝1，b＝3，c＝2，d＝1.下列反正切序列闭形和式成立

在 （2），（3），（4），（5），中依次令，b＝c＝d＝1；a＝2，b＝c＝1；a＝1，c＝2，d＝1；得到封闭形和式

例2 在命题2中令a＝1，b＝2，c＝3，d＝1代入 （6），（7），（8），（9），得到下列分式序列封闭形和式

命题3 设a，b，c，d为实数，下列反正切级数和式成立

2）在 （10）式依次令a＝0；b＝0；c＝0；d＝0；得到 （11），（12），（13），（14）式

3）在 （10）式，令bc－ad＝x，ab＋cd＝y，a2＋c2＝1，则

命题4 设实数a，b，c，d，下列分式级数封闭形恒等式成立

依次得到 （16），（17），（18），（19）式.在 （15）式两端分别依次对x和y微分得到 （20），（21）式

例3 在 （10）依次令1）a＝1，b＝2，c＝3，d＝1；2）a＝1，b＝4，c＝3，d＝2；在 （11），（12），（13），（14）依次令b＝2，c＝1，d＝2；a＝1，c＝1.d＝3；a＝1，b＝3.d＝3；a＝2，b＝1.c＝3；

反正切级数和式成立

例4 在 （16），（17），（18），（19）依次令a＝1，b＝1，c＝2，d＝0；a＝1，b＝1，c＝0，d＝2；a＝1，b＝0，c＝2，d＝1；a＝0，b＝1，c＝1，d＝2.得到分式级数和式

例5 在 （20）中令1）x＝1，y＝1，2）x＝2，y＝1；在 （21）中令3）x＝1，y＝1，4）x＝2，y＝1.则分式级数和为

［1］ Wheelon AD，On the summation of infinite series in closed for m ［J］.J Appl Phys，1954，25 （01）：113－118

［2］ Sofo A.Closed for m representation of binomial sums and series［J］.Le.Matematiche，1999，54 （01）：175－186

［3］ 及万会，顾银鲁.一类Lucas数与三角函数乘积的封闭形和式 ［J］.重庆文理学院学报，2008，27（03）：16－18

［4］ 及万会，郭明普.含有三角函数的切贝雪夫多项式的封闭性和式 ［J］.新乡学院学报，2008，25（04）：10－12

［5］ 及万会，李忠宁.两个三角函数积的和的封闭形和式 ［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2010，26（04）：8－10