髙等几何对初等几何教学的指导作用

周明旺

(连云港师范高等专科学校 数学系,江苏 连云港 222006)

高等几何是师范院校数学教育专业的重要基础课之一,在群论观点下完善几何理论体系、更新思想观念、训练思维方法、对培养探求知识能力起着重要作用.而且几何体系的建立与完善只有通过几何群论观点的熏陶,才能够准确地认识几何空间的特征、研究方法及内在联系,确认几何学的本质,进而居高临下地认识初等几何的内涵与外延,更深入地掌握并指导初等几何的教学与研究.

下面将通过实例就仿射变换在指导初等几何教学应用中的独特性、巧妙性和灵活性加以分析、阐述.

1 预备知识

定义2 经过任何仿射变换不改变的数量叫做仿射不变量.

引理1 仿射变换保持同素性,结合性,平行性不变.

定理1 在仿射变换下,任意两封闭图形面积之比不变.

2 主要结果

2.1 利用仿射变换求最值问题

例1 求椭圆内接三角形面积的最大值.

例2 求椭圆内接矩形面积的最大值.

解采用与例1类似的方法,可求得椭圆内接矩形面积的最大值为2ab(a,b分别为椭圆的长半轴与短半轴).

2.2 利用仿射变换证明问题

例3 设A,B分别是椭圆在坐标轴上的两个顶点,C为线段AB的中点,则过射线OC与椭圆的交点的切线平行于AB.

证明如图1所示,在仿射变换φ下由仿射变换φ的性质,C'为A'B'的中点.再由圆的性质知l'∥A'B'.从而,由仿射变换φ保持平行性知l∥AB.

图1 椭圆的φ仿射变换

例4 (阿波罗定理) 以椭圆一对共轭半径为邻边的平行四边形的面积为定值.

事实上,圆O'中以共轭半径为邻边的平行四边形都是面积相等的正方形.由仿射性质知

即S=S.由于其任意性得证,且定值为以椭圆半轴为邻边的矩形面积ab.

图2 以椭圆一对共轭半径为邻边的平行四边形的φ仿射变换

通过以上各例可以看出,利用仿射变换的性质,其解题思路简洁明了;若用初等几何的方法就比较困难.

3 结语

髙等几何的学习不仅是几何体系完整性的要求,而且对于在群论观点下几何观念的树立具有独特作用,尤其是髙等几何所提供的丰富的数学思想对指导初等几何教学研究意义深远.

参考文献：

[1]梅向明,刘增贤,林向岩.高等几何[M].北京:高等教育出版社,1983.

[2]朱德祥.高等几何[M].北京:高等教育出版社,1983.

[3]冯福存.仿射性质求椭圆内接三角形的最大面积[J].绵阳师范学院学报,2009,28(11):5-11.

[4]周明旺.调和比在指导初等几何教学中的应用[J].宜春学院学报,2011,33(4):3-6.