耦合Schrdinger方程组的一个高精度算法＊

许丽娟，曹圣山

（中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100）

0 引言

u（x，t），v（x，t）是复值函数，i2＝－1，β是一个常数，描述了光波转换的最小逼近。有如下的电荷与能量守恒关系：

1 差分格式的提出

针对（1）～（4）提出如下格式：

定理1 差分格式（8）～（11）关于离散电荷和离散能守恒，即：

证明 将（8）式两边与Un＋1＋Un－1做内积，取虚部得：

同理，（9）式与Vn＋1＋Vn－1做内积，取虚部，得（13）式成立。

同理，将（9）式与Vn＋1－Vn－1做内积，取实部得：

由（15）（16）得En＝En－1，递推之，得（14）式成立。

2 差分解的估计

定理2差分格式（8）～（11）的解有估计式：

3 差分格式的收敛性与稳定性

将（22）式与en＋1＋en－1做内积，取虚部，左端为Im（rn，en＋1＋en－1），右端各项的计算如下：

可知第2项与第3项的和为0，

同理得：

由（24）与（25），得：

（26）两边同时乘τ，对n求和：

取τ足够小，使得1－Cτ≡Δ＞0，（27）变为：

由Gronwall不等式，得：

即证。

同理可以证明差分格式的稳定性。

定理4 差分格式（8）～（11）的解对初值依平方模稳定。

4 数值实验

方程组（8）～（11）改为：

取不同h、τ值，计算它们在t＝40时间段内用的时间见表1。

表1 本文格式与文献［8］格式计算时间的比较Table 1 The comparision of the time between this paper and paper［8］

当β＝0或β＝1时，CNLS是一个融合的系统并且是一个弹性碰撞，当β≠0，1时，是一个非弹性碰撞，例如：当时，孤立子的碰撞会发生融合，反射和传播随初值变化，当β＝0.3时，2列波融合为1列，当β＝3时，又产生了新的波。图1为0.4，τ＝0.16，T＝40时的图形，验证了当β＝0或β＝1时，是弹性碰撞，当β≠0，1时，是一个非弹性碰撞。定义离散能量误差为，离散电荷误差为其中分别是t＝nΔt时刻的离散能量和离散电荷，图2是本文格式的离散能量和离散电荷误差，可以看出离散能量和离散电荷是守恒的。

图1 本文格式在β取不同值时的数值解Fig.1 The solutions of the scheme in this paper whenβis different

图2 本文格式的电量和能量误差Fig.2 Discrete mass and discrete energy error of the scheme in this paper

［1］ 常谦顺.一类非线性Schrdinger方程的守恒差分格式［J］.科学通报，1981，18：1094－1097.

［2］ Chang Q S.Anumerical method for a system of generalized nomlinear Schrdinger equations［J］.J Comput Math，1986，4：191－199.

［3］ 张鲁明，常谦顺.非线性Schrdinger方程的守恒数值格式［J］.计算物理，1999，16（6）：661－668.

［4］ 张鲁明，常谦顺.非线性Schrdinger方程的一个新的守恒差分格式［J］.高校应用数学学报，2000，15（1）：72－78.

［5］ 张鲁明，常谦顺.非线性Schrdinger方程初边值问题的守恒数值格式［J］.数学物理学报，2000，20（2）：240－245.

［6］ 张鲁明，常谦顺.带五次项的非线性Schrdinger方程差分解法［J］.应用数学学报，2000，23（3）：351－358.

［7］ 张荣培，曹圣山.一类非线性Schrdinger方程的高精度守恒数值格式［J］.高等学校计算数学学报，2007，29（3）：226－235.

［8］ Wang Tingchun，Zhang Luming，Chen Fangqi.Numerical Approximation for a Coupled Schrdinger System［J］.计算物理，2008，25（2）：181－185.