信息技术环境下学生数形结合思想的培养

　　数学是关于“数”和“形”的科学，数形结合缘于数学“数”和“形”的密不可分，“数”和“形”是数学两个基本的元素，只有将两者紧密结合起来才能有效地理解数学，只有具备数形结合的思想才能更好地理解和掌握数学，才能更好地利用其思想解决数学问题。数学学习是一个循序渐进不断积累的过程，信息技术使数学学习的过程具有了动态可视化的效果。本文将探讨信息环境下学生数形结合思想的形成过程。
　　一、数形结合的内涵及特征
　　1．数形结合的内涵
　　“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，是数学研究的基本对象，反映数学两个不同的侧面，它们既是对立的，又是统一的，每个几何图形都蕴含着与它形状、大小、位置密切相关的数学关系；反之，数量关系又常常通过几何图形直观形象地反映和描述。所谓数形结合，就是将抽象的数量语言与直观的图像语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，图文并茂、声像并举、化静为动、形象直观，利用“数”的精确性、“图形”的可视性、数形转化的等价性，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的，提高学生思维的灵活性和创造性，缩短了思维链，简化了思维过程。
　　2．数形结合的特征
　　数形结合是一种重要的数学思想方法，是解决数学问题的有力工具。利用图形的形象直观性阐明数与数之间的关系，有利于沟通数形之间的联系，并通过这种联系产生感知或认知，形成数学概念或寻找解决数学问题的途径。著名数学家华罗庚说：“数无形时不直观，形无数时难入微。”这句话形象简练地指出了形和数的相互依赖、相互制约的辩证关系。数形结合思想能帮助学生实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。数形结合思想渗透到数学学习的各个方面，它不再是一种数学方法，而是一种基本的、重要的数学思想。
　　“数”和“形”是从两个不同角度来反映客观世界的，在教学中直观又细微地贯彻数形结合这一基本数学思想方法，有利于学生理解数学的内涵，能使学生更好地感受数学、理解数学、学好数学，胸中有图，见数想图，开拓思维视野，对发展学生的思维能力，培养学生的辩证逻辑思维、直觉思维、发散性思维和创造性思维，以及培养学生的解题灵活性，全面提高学生的数学素质有着重要的意义。
　　二、信息技术环境下数形结合的原则及类型
　　1.数形结合应遵循的基本原则
　　（1）等价一致性原则
　　等价一致性原则是指“数”和“形”都是数学的内在部分，体现数学两个基本特征，“数”的代数性质与“形”的几何性质的转换是等价的，它们是数学不同侧面的反映，对于所讨论问题的“形”与“数”所反映的数量关系和几何特征具有一致性、统一性、相通性，密而相融。
　　（2）双向互补性原则
　　双向互补性原则是指“数”和“形”各有自身的特点，利用几何直观进行形象观察分析，又利用代数运算进行抽象探索。代数表达及其运算具有较强的逻辑推理、方便运算和结果明了等优越性，能克服几何直观方法的许多局限性；几何又有其形象动态操作可控的特性，在信息技术环境下，使得数中有图，图中有数，互补相联。
　　（3）简单可视性原则
　　信息技术环境下，利用一些工具软件，如《几何画板》和Mathematica数学软件，能将基本图形作出来，包括平面几何、解析几何、立体几何等图形，并遵循基本原则，构图简单，合理易看。几何作图优美，数形结合并整合，图形中融代数计算的简洁、明了，避免了繁琐的运算。几何画板就能很好地反映出这一特点。
　　2.数形结合思想的基本类型
　　数形结合内涵比较丰富，可将其归纳为三种基本类型：
　　（1）依“数”化“形”
　　由于“数”和“形”的对应关系，“数”比较抽象，学生难以把握，而“形”具有形象、直观的优点，能表达出具体的直观思维，起着解决问题的启示或决定作用。通过数形结合思想可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来寻求解决问题的思路，使问题得以解决。依“数”化“形”是一种模式识别，也是图形分析法，从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，这种模式是指数与形的特定关系或结构，也就是把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的观察、分析、推理来解决数量问题的方法。依“数”化“形”将数量问题转化为图形问题一般有三种基本途径：应用平面几何知识、立体几何知识、解析几何知识将数量问题转化为图形问题。
　　（2）依“形”变“数”
　　“形”虽然有形象、直观的优点，但在运算方面用代数的计算更为方便，尤其是对于较复杂的“形”，既要正确观察分析图形，把图形数字化，更要细心观察图形的特点，挖掘隐含的条件，抓住图形的性质或几何意义，把“形”转化为“数”的形式，进行分析计算，把“形”用代数抽象表达出来，形成代数结果。依“形”变“数”的基本思路是：从不同角度理解图形中的几何意义，将图形的几何性质用代数式表达出来。
　　（3）“数”“形”相依
　　在解决问题中，不仅要依“数”变“形”或依“形”变“数”，更应是“形”“数”互相依存转换，既要由“形”的直观联想并变为严密的“数”，又要由“数”的抽象联想到“形”的直观。“形”与“数”相依的基本思路是，看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是依“数”化“形”、依“形”变“数”的结合。运用数形结合的方法主要有三个步骤：一是通过坐标系统的建立，引入参变量，化静为动，以动求解；二是转化；三是构造，即构造几何模型，构造函数或构造一个图形。
　　三、学生数形结合思想形成的认知心理
　　现代认知心理理论认为，学生学习数学的过程实际上就是数学认知的心理过程。数形结合是数学学习心理的特征之一。借助心理表征理论对“数”抽象和“形”表征进行区分，并拓展到心理表征领域，“数形结合”其实包括两种信息加工过程：选择与转换，即“数”和“形”的选择与转换。构成认知活动的因素是多层次的和不同步的，因此，认知的发展要经历一个由浅入深、多阶段和多种水平的循环发展过程。教师在数学教学过程中就要设置认知冲突，由简单到复杂，由具体到抽象，让课堂焕发出生命活力，唤起学生对学习的内在需求，在学生的脑海中产生认知冲突，促使学生对学习知识产生强烈的兴趣，提高学习效率。
　　四、学生数形结合思想动态可视化的形成过程
　　1．建立基础性的数形结合的元素对应关系
　　对数学的认识是从基础开始的，数形结合思想的认识也不例外。“数”和“形”既是数学的基础，也是数形结合思想形成的基础，打牢基础，就能形成更为扎实的数形结合思想。数和形认识的基础包括：实数与数轴的一一对应，平面坐标系点与数的一一对应，空间直角坐标系和点的一一对应，几何图形点与字母的对应，线段与长度的对应，用图示表示行程的应用问题等。
　　2．将数和形通过信息技术显现出来
　　通过信息技术工具，应用数学软件，建立“数”和“形”的关联，建立“数”和“形”的动态直观可视化表示方式，将图形通过计算机在显示屏上表示出来，不仅将数和形联系起来，而且还将数与形的变化关系显示出来，数的变化决定了图形的变化以及如何变化，图的变化联系着数的参数变化，将图动态调控渐变，整个过程数和形的关系一目了然。直观形象地掌握函数的性质，既包括宏观的，也包括微观的，还可以是整体的。信息技术与数学课程的整合是研究数学性质的极好方法。
　　3．建立数和形的互联互依对应关系
　　在头脑中建立“数”和“形”的联想和再现，由代数想图形，或由图形想代数符号，找到两者的对应关系，建立数和形的联系。数学本身就是由数和形组合的，通过数和形的直观动态可视过程，在头脑中形成数学概念、性质等的“字、数、形”结合体，也就是看到数，便能马上想到形，看到形便能马上想到数。头脑中的数形还是可视和动态的，形成一种条件反射式的数形结合体，力求体现数与形结合的基本思想，将“图、式、文”这三种数学的最基本表现元素进行分类编排，组合搭配，培养学生的识图能力以及文字、式子与图形的转换能力。
　　4．在解决数学问题中深化数形结合思想
　　在解决代数问题时，要想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；在研究图形时，要利用代数的性质，解决几何的问题。在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，运用数形结合思想，不仅直观地容易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
　　参考文献
　　[1] 张景中，彭翕成.数学教育技术（第一版）.北京：高等教育出版社，2009.
　　[2] 蔡玲霞.“数形结合”在数学教学中的运用.新疆广播电视大学学报，2008（1）.
　　[3] 钱小珍.数形结合，发展思维.数学通报，2004（9）.
　　[4] 张奠宙，何文中.交流与合作——数学教育高级研讨班15年（第一版）.北京：高等教育出版社，2009.
　　[5] 马瑞红，陈平，罗俊芝.数形结合方法的应用研究.数学教学，2009（7）.
　　（责任编辑杨子）