运算能力的基本内涵和培养策略

　　数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识。因此，它历来是小学数学教学的基本内容。培养小学生的运算能力一直是小学数学教学的主要目的之一，有一定的运算能力也是每个公民具备的基本素养。
　　《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称“课程标准”）在“课程目标”里明确指出：“了解四则运算的意义，掌握必要的运算（包括估算）技能。”在“内容标准”之“数与代数”中，明确把“数的运算”作为第一、二学段的主要内容，并具体提出了“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述‘算理’”。
　　《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》具体提出了“运算能力”的概念，即“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力还有助于学生理解算理，能够寻求合理简洁的运算途径解决问题”。
　　一、运算教学的具体目标是什么
　　《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》提出了关于运算教学的具体目标。
　　第一学段：
　　（1）结合具体情境，体会四则运算的意义。
　　（2）能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，会口算百以内的加减法。
　　（3）能计算三位数的加减法，一位数乘三位数、两位数乘两位数的乘法，三位数除以一位数的除法。
　　（4）会计算同分母分数（分母小于10）的加减运算以及一位小数的加减运算。
　　（5）能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程。
　　（6）经历与他人交流各自算法的过程。
　　（7）能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断。
　　第二学段：
　　（1）会口算百以内一位数乘、除两位数。
　　（2）能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。
　　（3）能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。
　　（4）探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简便运算。
　　（5）在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。
　　（6）会分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。
　　（7）会解决有关小数、分数和百分数的简单实际问题。
　　（8）在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。
　　（9）能借助计算器进行较复杂的运算，解决简单的实际问题，探索简单的数学规律。
　　二、如何建立四则运算概念
　　首先，应注重在具体情境中体会运算的意义。四则运算是小学数学最基础的知识，在小学阶段，对加法的定义是：“把两个数合并成一个数的运算。”减法的定义是：“已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。”乘法的定义是：“求相同加数的和的简便运算。”除法的定义是：“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。”这些运算定义虽然在表述上已经比较直观，但对于低年级的小学生来说，仍是十分抽象的。心理学研究表明，当一个数的运算与代表情境中的物体相联系时，才能在学生的头脑中获得真正的意义。情境可以赋予数以意义，从而使抽象的数成为具体的物体。因此，“结合具体情境”的要求，是符合学生的心理特点和认知规律的。
　　案例1 《加法》的教学（一年级）
　　教材创设了学生熟悉的活动情境图“折纸游戏”：已经折了1只红色的纸鸟，2只蓝色的纸鸟。
　　教学时，可以组织学生观察，并说：红色纸鸟的只数可以用“1”表示，蓝色纸鸟可以用“2”表示，一共折的纸鸟只数可以用“3”表示。要求一共有多少只纸鸟，可以把“1”和“2”合并起来，在数学上把这种运算叫做“加法”，写成“1＋2＝3”。然后让学生联系情境说一说“1”“2”“3”和“＋”各表示什么含义。最后再通过小朋友把两只手里的气球合并以及让学生动手摆学具等活动，逐步形成对加法意义的认识。
　　这样的教学过程，学生对加法含义的理解，建立在丰富的感性积累基础之上，在头脑中形成鲜明的动态表象，从而获得关于加法运算意义的准确理解。
　　其次，应淡化概念形式，注重数学本质。
　　案例2 《乘法》的教学（二年级）
　　教材通过情境图，首先让学生在具体活动中感知“几个几”：兔有3个2，鸡有4个3；再让学生用已经学过的连加进行计算：2＋2＋2＝6，3＋3＋3＋3＝12。
　　接着通过操作学具和观察花片等活动，使学生进一步体验“几个几”：3个5可以写成5＋5＋5＝15，5个3可以写成3＋3＋3＋3＋3＝15。
　　然后通过计算桌子上电脑的台数：2＋2＋2＋2＝8，让学生懂得“4个2相加，可以写成2×4＝8或4×2＝8”。同时结合教学乘号、乘数、积等名称和乘法算式的读法。
　　这样的编排和教学，改变了传统教学中强调“相同加数”“相同加数的个数”“每份数”“份数”“被乘数”“乘数”等形式化的概念，以及设置所谓被乘数和乘数不能调换位置的人为障碍，强化了乘法的本质——同数相加。学生认识乘法的过程，成为了快乐的学习体验过程，成了理解数学概念本质的过程。
　　三、如何重视口算教学
　　口算也称心算，是一种不借助计算工具，仅依靠记忆与思维，直接算出结果的计算方式。口算基于个人对数的基本性质和算术运算的理解，口算不仅是笔算的基础，而且是运算中独立的一部分，同时口算在日常生活中有着很高的应用价值。因此，口算不仅有实践意义，而且是数感发展过程中的一个重要部分，口算可以发展高层次的数学思维以及培养解决实际问题的能力。
　　在教学中具体落实“重视口算”的目标，应注重如下两点：
　　1.在数形结合中理解口算原理
　　数的运算，其实质是对现实生活中物体的个数进行运算，可以说小学阶段的每个算式都可以在生活中找到实例。在让学生理解口算的算理时，除了要与实际情境相结合，还要逐步过渡到数学的语言符号。
　　案例 《整百数加、减整百数》的教学（二年级）
　　首先创设“买电器”的情境：洗衣机500元，电冰箱1200元，电视机800元，电风扇160元。提出问题：“爸爸买一台洗衣机和一台电视机共要多少钱？”列式：500＋800。
　　接着通过呈现具体的人民币（都是面值百元），引发学生思考：5加8等于13，500＋800＝1300。
　　然后又通过计数器演示：5个百加8个百是13个百，也就是1300。
　　最后让学生叙说自己的思考和计算过程。
　　这样的编排和教学，由具体实物（百元人民币形象地表示计数单位“百”）的操作过渡到半形象半抽象的计数器（百位上算珠操作）演示，再通过学生在头脑中的表象运演，使学生逐步理解口算的算理（5个百加8个百是13个百，就是1300）。这样的教学符合学生的思维发展规律：直观动作思维→具体形象思维→抽象逻辑思维。
　　2.科学合理训练，强化基本口算
　　在小学阶段的口算内容中，两个一位数相加与其相对应的减法和表内乘法与其相对应的除法是四则运算中的基本口算，俗称“四张九九表”。这“四表”是一切计算的基础，务必使学生达到“脱口而出”的熟练程度。为此，在口算教学中，除了让学生理解算理、掌握算法，还要注重口算训练的科学合理。
　　首先，应重视基本口算方法的教学。小学生口算的方法一般存在三个层次：逐一重新计数→借数加算或减算→按数群运算。在教学基本口算时，要重视让学生逐步掌握按数群运算的方法。所谓数群，是指学生在计数时能将最后说出的数作为所数过的一群对象的总体来把握。所谓按群计数，就是计数时不以某个物体为单位，而是以数群为单位，如两个两个数、五个五个数等等。同时，我们还应该注意，在教学初期为了达到算法指导下的正确计算，可不作计算速度的要求。
　　
　　其次，应注重退位减法与表内除法的思路教学。小学生正处于“具体运算阶段”，思维的可逆性刚刚出现，只能进行初步的逻辑推理。而20以内退位减法和表内除法口算在很大程度上依赖于学生的逆向思维。因此，教学口算方法时，要特别强化退位减法和表内除法的基本计算思路（算减想加、算除想乘）的教学，以帮助学生掌握基本方法，同时有意识地培养学生的逆向思维能力。
　　再次，应注意口算训练科学化。要提供训练材料，选择训练时机，注意训练方法，考虑训练周期，做到适时、适量、适度。具体说来，一要注意加强课堂练习，采用讲练结合的方式及时巩固所学口算内容；二要注意练习的针对性，抓住难点反复练习，不能平均用力，甚至出现易题多练、难题少练的现象；三要注意练习形式的多样化，提高学生口算的积极性，避免简单的机械重复。
　　四、如何加强估算意识
　　估算具有重要的应用价值，是学生应该具有的重要的计算技能。随着计算技术的进一步发展，大量的计算并不要求进行精确的计算，一个人在日常活动中进行估算的次数，远比精确计算的次数多得多。在小学阶段的计算教学中，与估算相关的内容很多，如估计商的近似值、试商、估计小数乘法的结果、用估算进行验算等等。要体现《标准》中“加强估算”的要求，可以着力于以下两方面：
　　1.培养数感
　　数感是对数和数的关系的一种良好的直觉。在估算中数感主要表现在能在具体情境中把握数的相对大小关系，能为解决问题而选择适当的算法，能对结果的合理性作出解释。估算可以发展学生对数的认识，并对数感的培养具有重要的意义，同时，良好的数感又是学生进行估算的必要基础。除了在教学《数的认识》时要加强数感的培养，在数的运算过程中更应结合具体计算培养学生的数感。
　　2.掌握估算方法，养成估算习惯
　　有研究表明，小学生最常使用的估算方法主要有三种：简约、转换和补偿。所谓“简约”，是学生在估算时先把数简化成比较简单的形式。例如，估算“495＋310”，把495看做500，把310看做300，这样估算时即想比较简单的形式“500＋300”即可。所谓“转换”，是学生在估算时把一种问题转换成另一种问题来思考。例如，估算“602＋597＋589”时，把加法问题转换为乘法问题：“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右。”而所谓“补偿”，则是学生在进行简约或转换时，进行一些调整，以补偿前面运算中的不足，使估算比较准确。例如，“估算‘602＋597＋589’”这一问题，学生在转换时可能会进一步想：“答案大约是1800，而且会稍小于1800，因为我在将每一个数都简化成600时，用加的部分比用减的更多一些。”
　　此外，还要培养学生的估算习惯。我们在教学中也常常发现，有些学生在计算时会出现一些莫名其妙的错误。对此，我们应让学生养成及时估算检查的习惯，每做完一道题目，可以先估计一下答案，然后与实际计算所得的答案比较，及时察觉出错误并加以更正。
　　五、如何体现算法多样化
　　《课程标准》在第一学段的“教学建议”中指出：“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。”要体现“算法多样化”的思想，应注重以下三方面：
　　1.理解算法多样化的内涵
　　所谓算法就是指解决各种数学问题的程序与方法，具体包括运算的方法与解题策略。这两者都由一定的程序与规则组成，运算方法与解题策略有共性，但两者也有区别。前者更偏重于技能，可以通过练习获得，并进而成为技巧，而后者虽然也可进行训练，但由于问题的信息复杂要有更多的思维。两者无本质区别，只有层次之差。
　　2.找准算法多样化的前提
　　现代学习心理学研究表明，实施算法多样化也是有前提的，各种不同算法要建立在思维等价的基础上，否则多样化就会导致泛化。以学生思维凭借的依据看，可以分为基于动作的思维、基于形象的思维、基于符号与逻辑的思维。显然这三种思维并不在同一层次上，不在同一层次上的算法就应该提倡优化，而且必须优化，只是优化的过程应是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制规定和主观臆断的过程，应让学生逐步找到适合自己的最优算法。
　　3.把握算法优化的标准
　　过去我们仅仅用成人认为唯一合理的方法作为基本算法教给学生。现在我们认为的基本算法是什么呢？其实，基本算法并不是唯一算法，基本算法应该是指同一思维层次上的方法群。以此为基础，这里提出判定基本算法的三个维度：一是从心理学维度看，多数学生喜欢的方法；二是从教育学维度看，教师易教，学生易学的方法；三是从学科维度看，对掌握后续知识有价值的方法。理想的基本算法是三位一体的，在小学阶段，随着年级的升高对学科维度要求会逐渐增强。
　　从某种意义上说，算法多样化应是一种态度，是一个过程，算法多样化不是教学的最终目的，不能片面追求形式化。老师不必煞费苦心“索要”算法的多样化，也不必为了体现多样化，刻意引导学生寻求“低思维层次算法”。即使有时是教材编排的算法，但在实际教学中学生中没有出现，即学生已经超越了的“低思维层次算法”，教师可以不再出示，没有必要走回头路。
　　总之，运算是一种智力操作技能，而知识转化为技能是需要过程的，运算技能的形成具有自身独特的规律。学生运算技能的形成一般要经历四个阶段，即：认知阶段、分解阶段、组合阶段、自动化阶段。认知阶段主要是让学生理解算理、明确算法，这比较容易做到，而后面三个阶段常常被老师们忽视。一般说来，复杂的计算技能总是可以分解为单一技能，对分解的单一技能进行训练并逐渐组合，才能形成复合技能，再通过综合训练就可以达到自动化阶段。在进行运算教学时，应该从数学教育本质的角度出发，在大胆创新的同时，吸取传统教学的优势，促进运算教学的深入改革，为切实提高学生的运算能力和数学素养打下基础。