复变函数论中幂级数教学的探讨分析

李红伟

(河南教育学院数学系,河南郑州 450046)

复变函数论中幂级数教学的探讨分析

李红伟

(河南教育学院数学系,河南郑州 450046)

阐述了在复变函数论幂级数教学中,通过介绍相关的数学前沿问题和与级数相关的数学史,激发学生兴趣,加深学生对知识联系性的认识.

复变函数论;幂级数;教学;数学史;兴趣

1 级数的重要性

把解析函数表示为级数不仅有理论上的意义,而且有实用的意义.例如,在Rudin所著的《Real and Complex Analysis》[1]中,就是证明了一个关于幂级数的等式:

并利用等式(2)证明了刘维尔定理、最大模原理、代数学基本定理、柯西不等式等.

幂级数的应用还表现在函数值的近似计算上.对于一些比较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.多项式函数是最为简单的一类函数,因此,多项式经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近.英国数学家泰勒在这方面做出了不朽的贡献.其研究结果表明:解析函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来.因此在一个点的邻域内我们可以用多项式函数逼近解析函数到任意精确的地步.因此利用幂级数可以制造三角函数表、对数表等,这在航海、天文和地理学上有着重要的意义.

关于逼近论的进一步发展,可查阅Runge[1],Weierstrass,Bernstein等人的一些经典结论[2].幂级数还可以用来证明欧拉公式,用于定积分的近似计算,解常微分方程等[3].

2 介绍与级数相关的前沿问题,以激发学生兴趣

美国克雷数学研究所列出了7个千禧年数学难题[4],解决任一个都有100万美金的奖励,其中之一就是黎曼猜想[5],由德国大数学家黎曼于1859年提出.我们把泰勒级数做一下推广就成为Dirichlet级数

级数(4)的收敛域是Res>1.黎曼运用路径积分把它解析开拓到全平面.黎曼猜想Riemannζ函数的所有非平凡零点都位于复平面Res=的直线上.如果黎曼猜想被完全证明,整个解析数论将获得全面发展.

3 介绍与级数相关的数学史

3.1 级数在世界上的发展历史

级数在数学中早已出现,其最早的形式通常是公比小于1的无穷几何级数,公元前3世纪古希腊哲学家亚里士多德就已认识到这种级数有和.无穷级数还散见于中世纪后期数学著作中,并被用于计算变速运动物体所走过的路程.

16世纪、17世纪的欧洲,文艺复兴带来了人们的觉醒,资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡,促使技术科学和数学急速发展.例如在航海方面,为了确定船只的位置,要求更加精密的天文观测.弹道学成为军事方面研究的中心课题,运河的开凿,堤坝的修筑,行星的椭圆轨道理论等,也都需要很多复杂的计算.古希腊时期发展起来的初等数学已渐渐不能满足当时的需要了.

随着航海、天文学和地理学的进展,迫切要求三角函数表、对数表和航海表等的插值有较高的精确度,因此许多插值方法应运而生.其中牛顿插值公式(或称格里戈里(Gregory)—牛顿内插公式)用了有限差分方法,这一公式由泰勒发展成把函数展开成无穷级数的最有力的方法.泰勒由此引申出一个重要定理:函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来,即(用现在的符号)

泰勒定理的首次正式出现是在1715年版的《正和反的增量法》的第23页上,作为命题7的第2个推论.但在1712年7月26日泰勒给梅钦的信中已叙述了这一结果,不过当时未给出证明.泰勒用他的定理把函数展开成级数,得到如正弦函数及对数函数等的标准展式,并用这一方法求微分方程的通解.他还用级数去解数学方程,得到根的近似值,尤其注意到去解根式方程和超越方程.

从现代的观点来看,泰勒的证明是不严密的,他没有考虑收敛问题.在半个世纪里,数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值.这一重大价值是后来由法国数学家拉格朗日(Lagrange J L)发现的.拉格朗日在他1797年的巨著《解析函数论》中,用代数方法率先证明了泰勒展开式,并给出了带有拉格朗日余项的泰勒展开式并指出,不考虑余项就不能用泰勒级数.当时,被称为拉格朗日微分中值定理.在此书中他主张用泰勒级数来定义导数,并以此作为整个微分、积分理论之出发点.泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后由柯西(CauchyA L)给出的.柯西的证明于1839年载入他的《关于级数的收敛》一书.

1810年前后,法国数学家、物理学家傅里叶和捷克数学家波尔察诺等人开始确切处理无穷级数.波尔察诺强调必须考虑级数收敛性.1811年傅里叶给出了一个无穷级数收敛的较满意的定义,它近似于现代教科书中的定义.19世纪20年代,法国数学家柯西在他的《分析教程》一书中给出了至今还沿用的级数收敛,柯西还研究了函数项级数和泰勒级数.

挪威数学家阿贝尔奠定了幂级数收敛的一般理论,也是第一次给出这种级数展开式成立的可靠证明,从而解决了在实数和复数范围内分别求幂级数的收敛区间和收敛半径的问题.他纠正了柯西关于连续函数为项的一个收敛级数的和函数一定连续的错误,还利用一致收敛的思想,正确地证明了“连续函数为项的一个一致收敛级数在收敛域内是连续的”.可惜他当时未能从中把一致收敛的性质抽象概括出来,形成普遍的概念.

函数项级数的一致收敛性概念最初由英国数学家斯托克斯和德国数学家赛德尔认识到,但确切的表述则是由德国数学家魏尔斯特拉斯于1842年前后给出的,他提出了级数理论中关于一致收敛的概念及其判别准则,他还建立了逐项积分和逐项微积分的条件.魏尔斯特拉斯完全摆脱了几何直观,以幂级数为工具,用严密的纯解析推理展开了函数论.定义解析函数是可以展开为幂级数的函数,围绕着奇点研究函数的性质.近几十年来,复变函数论又有很大的推进.

18世纪,天文学的发展(天文现象大都是周期现象)引起了数学家们广泛研究三角级数并用于天文理论之中.当时的著名数学家欧拉、克莱罗、达朗贝尔、拉格朗日等在这方面都做了不少开创性工作.1729年欧拉着手研究插值问题,1747年他将所得到的方法应用于行星扰动理论中出现的一个函数上,得到了函数的三角级数表示.

三角级数理论进一步的发展归于1822年法国数学家傅里叶的著作《热的分析理论》的出版.该书基本思想是用特殊的周期函数(三角函数)表示周期函数,他的工作表明,相当广泛的函数类都可以用三角级数表示.这是分析学在19世纪的首项重要工作,它不仅使分析方法进入新的物理领域,而且扩展了函数概念,推进了偏微分方程理论.但他并没有解决函数具有收敛的傅里叶级数的确切条件,经过法国数学家柯西和法国数学家泊松的努力也没得到满意的结果.德国数学家狄利克雷在一篇题目为《关于三角级数的收敛性》论文中给出了傅里叶级数展开的充分条件——狄利克雷条件.德国数学家黎曼在1854年写的一篇题目为《利用三角级数表示一个函数的可能性》的论文中也表明有界可积函数的傅里叶级数在任一点处的收敛性只依赖于在该点邻域的特性.但是傅里叶级数收敛与它本身的必要而充分条件的问题并没有得到解决.此后,在引入了一致收敛概念之后,德国数学家海涅对傅里叶级数的一致收敛进行了研究,得出了一些结论.杜布尔—雷蒙给出了一个连续函数的傅里叶级数在一个到处稠密的点集上不收敛的例子.对傅里叶级数收敛点的研究,最终导致康托尔创立集合论.

3.2 级数在中国的发展历史

两千多年前的《周髀算经》和《九章算术》都谈到算术级数和几何级数.

刘焯(隋朝)结合天文学的发展,创立了等间距二次内插法计算日、月的位置.

张遂(僧一行)采用了不等间距二次内插法推算出每两个节气之间黄经差相同,而时间距却不同.这种算法基本符合天文实际,在天文学上是一个巨大的进步.不仅如此,张遂的《大衍历》应用内插法中三次差来计算月行去支黄道的度数,还提出了月行黄道一周并不返回原处,要比原处退回1度多的科学结论.《大衍历》对中国天文学的影响是很大的,直到明末历法家们都采用这种计算方法,并取得了好的效果.

宋代大科学家沈括所著的《梦溪笔谈》(11世纪),开创了“会圆术”(最早的由弦到矢的长度求弧长的近似计算公式)和“隙积木”(一种级数求和法).

元代郭守敬与王恂、许衡等人编制了《授时历》(1280年),应用“招差术”发明三次函数的内插法.

明末《崇祯历书》中已经介绍了三角函数表的编造方法,即所谓六宗、三要和二简法.这种造表法利用普通三角函数关系公式推算,相当烦琐,并且也不能算出任意角的三角函数值.

清代关于无穷级数的研究是一个相当活跃的领域.清初明安图以中国传统的数学结合西方数学的成果,论证了三角函数的幂级数展开式和圆周率的无穷级数表示式等9个公式,成功地解析了9个求圆周率的公式,写成《割圆密率捷法》一书,一共提出了9个基本方程,列出三角函数和反三角函数的幂级数表达式,并且计算出展开式的各项系数,为三角函数和反三角函数的解析研究开辟了新的途径.明安图在数学研究上的这一丰硕成果在中国数学史上占有重要地位,被清朝学者称为“明氏新法”、“弧矢不祧之祖”.他在数学上的贡献对中国近代数学发展产生了深远的影响.

曾纪鸿用反三角函数的幂级数展开式求得圆周率的第24位准确数字.

在晚清数学家中,李善兰无疑是最杰出的一人.李善兰的主要数学成就有:尖锥术、垛积术、素数论.在西方的微积分未传入中国的情况下,李善兰独自用尖锥术发现幂函数的定积分公式、二次平方根的幂级数展开式,以及各种三角函数、反三角函数的幂级数展开式.他所使用的求对数的方法,比传教士带进来的方法要高明、简捷.

徐有壬(1800—1860)的《测圆密率》和《造表简法》则对于清代数学家关于三角函数展开式的研究成果,作了较为全面的总结.此外,戴煦的《对数简法》和李善兰的《对数探源》,给出了自然对数的幂级数展开式.由此可见,清代数学家已经基本上解决了初等函数的幂级数展开式问题.

通过中外数学史的对比,学生增强了爱国主义信念;通过对一些科学家事迹的介绍,学生树立了追求科学真理的远大理想,淡泊名利;通过一些数学理论知识的形成过程,学生可以了解数学发展的过程,大胆尝试,勇于实践,不怕失败,逐步提高.

4 对教材内容的处理

结合学生的认知特点,和数学分析平行的一些结论往往只叙述而不给出证明,例如柯西收敛准则、一致收敛级数和函数的连续、逐项积分定理等;而重点讲述了具有复变函数特色的一些结论,例如魏尔斯特拉斯定理、泰勒定理.在数学分析中,函数项级数能逐项求导的条件是苛刻的,然而解析函数项级数求导的条件却比较宽松些,结论更强些,魏尔斯特拉斯定理表明了可以逐项求导至任意阶.虽然在数学分析中也提到了泰勒定理,但是由于解析函数具有无穷可微性,两者的表现形式不太一样,证法也不同,笔者还是着重讲了泰勒定理的证明,其中也包含了方法论的内容.洛朗展式就是对泰勒展式的推广,证明方法雷同.

此外,在讲课时,笔者还经常给学生介绍一些相关书籍以供参考,教学生上网查资料等.激发学生学习数学的兴趣,鼓励学生对一些疑难问题勇于尝试,敢于提出自己的猜想,在课堂上跟学生共同讨论、共同进步.

[1] RUD IN W.Real and ComplexAnalysis[M].3rd Ed.北京:机械工业出版社,2004.

[2] 托德J.函数构造论导引[M].冯慈璜,译.谢庭藩,校.上海:上海科学技术出版社,1980.

[3] 吴奇峰.幂级数的若干应用[J].韶关大学学报:自然科学版,1994,15(2):41-48.

[4] 郭海鸥.21世纪数学七大难题评述[J].河南教育学院学报:自然科学版,2008,17(4):10-11.

[5] 张南岳,陈怀惠.复变函数论选讲[M].北京:北京大学出版社,1985.

D iscussion and Analysis on Power Series Teaching of Complex Analysis

L IHong-wei

(Departm ent of M athem atics,Henan Institute of Education,Zhengzhou450046,China)

By introducing relevant frontiermathematics problems and mathematics history related to series in power series teaching of complex analysis,stimulate the students’interest and deepen their cognition of knowledge continuity.

complex analysis;power series;teaching;mathematics history;interesting

G642.4

A

1007-0834(2011)01-0051-03

10.3969/j.issn.1007-0834.2011.01.016

2010-11-10

河南省教育厅自然科学研究计划项目(2010B110007)

李红伟(1981—),女,河南安阳人,河南教育学院数学系讲师.