一类非线性抛物方程初值问题整体解的存在唯一性

侯长顺,代辉亚

(1.河南工业大学理学院,河南郑州450052;2.河南工业大学人事处,河南郑州 450052)

一类非线性抛物方程初值问题整体解的存在唯一性

侯长顺1,代辉亚2

(1.河南工业大学理学院,河南郑州450052;2.河南工业大学人事处,河南郑州 450052)

利用压缩映射原理和解的延拓定理证明一类非线性抛物方程初值问题的整体广义解和整体古典解的存在唯一性.

非线性抛物方程;初值问题;压缩映射原理;局部解;整体解

0 引言

本文研究下列非线性抛物方程的初值问题

其中α>0为常数,f,σ,h,g为给定的非线性函数,u0(x)为给定的初值函数.方程(1)和如下的非线性抛物方程

有紧密联系,其中α,β,γ>0为常数.显然方程(1)是方程(3)的特殊情况,包含GBBM方程和Sobolev-Galpern型方程.对于方程(3),文献[1]证明了初边值问题解的存在唯一性,并研究了解的渐进性和解的爆破性.文献[2-4]主要研究了GBBM方程和Sobolev-Galpern型方程的周期边值问题,初值问题和初边值问题,证明了弱解的存在性并研究了解的渐进性.本文将在分数次Sobolev空间C([0,∞);Hs(R))中证明初值问题(1)、(2)整体强解的存在唯一性,并且当s>5/2时初值问题存在整体古典解.

1 预备知识

定义1对任意T,如果u∈C([0,T];Hs(R))(s≥2)满足积分方程(5),则称u(x,t)为积分方程(5)的连续解或初值问题(1)、(2)的广义解.如果T<∞,则称u(x,t)是初值问题(1)、(2)的局部广义解;如果T=∞,则称u(x,t)是初值问题(1)、(2)的整体广义解.

2 问题(1)、(2)的整体解的存在唯一性

2.1 问题(1)、(2)的局部广义解的存在唯一性

本节将利用压缩映射原理证明积分方程(5)的局部连续解的存在唯一性,即证明问题(1)、(2)有唯一局部广义解.为此,先定义函数空间X(T)=C([0,T];Hs(R))(s>3/2),并赋予范数

现证明S是严格压缩的.令T和w1,w2∈P(M,T)是给定的,利用引理3,积分型Minkowski及Minkowski不等式,从(6)知

2.2 问题(1)、(2)整体解的存在唯一性

定理2假设s≥2,u0∈Hs(R),f∈C[s]+1(R),g∈C[s]+2(R),h∈C[s]+1(R),σ∈C[s](R),σ(0)=0,则问题(1)、(2)存在唯一解C([0,T0);Hs(R)),其中[0,T0)是最大时间区间,如果

定理4假设s≥2,u0∈Hs(R),f∈C[s]+1(R),g∈C[s]+2(R),h∈C[s]+1(R),σ∈C[s](R),σ(0)= 0,且存在常数A,B,D,E满足h′(s)≥B,g′(s)≥D,g″(s)≥E,σ′(s)≤A,则问题(1)、(2)有唯一整体广义解u(x,t)∈C([0,∞);Hs(R)).

注:当s>5/2时u(x,t)∈C([0,∞);C2(R))是问题(1)、(2)的整体古典解.

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Existence and Uniqueness of Global Solution Cauchy Problem of a Class of Nonlinear Parabolic Equations

HOU Chang-shun1,DA IHui-ya2
(1.College of Science,Henan University of Technology,Zhengzhou450052,China; 2.Personnel D ivision,Henan University of Technology,Zhengzhou450052,China)

Prove existence and uniqueness of global generalized solution and global classical solution for Cauchy problem of a class of nonlinear parabolic equations by contractive principle and extensive theorem of solution.

nonlinear parabolic equation;Cauchy problem;contraction mapping principle;local solution; global solution

O157.2

A

1007-0834(2011)01-0001-04

10.3969/j.issn.1007-0834.2011.01.001

2010-11-25

河南省教育厅自然科学基金(2009B110007);河南工业大学校基金(10XPT002)

侯长顺(1980—),男,河南平顶山人,河南工业大学理学院讲师.