数学娱乐 (八)——易经卦象的起源与考古发现的奇字

耿 济

(海南大学,海南 海口 570228)

数学娱乐 (八)
——易经卦象的起源与考古发现的奇字

耿 济

(海南大学,海南 海口 570228)

考古发现的奇字是一个 6位数,应用 6个数字对应的奇数或偶数预卜凶吉,奇字是易经卦象的起源.

易经;卦象;考古;奇字

本文是数学娱乐系列文献[1-7]的续作.

1 自然数在数卜法的应用

中国古代盛行阴阳学说,譬如天为阳,地为阴;《周易·系辞传》中“天一,地二;天三,地四;天五,地六;天七,地八;天九,地十”.把自然数一分为二,奇数 1,3,5,7,9为阳,偶数 2,4,6,8,10为阴.由于人类对自然数的神秘崇拜,自然界的变化莫测以及社会关系纷繁复杂,遇事无法预知行动的后果,期望获得神明的保佑和指引,于是产生了数卜法,应用自然数的奇数和偶数预卜凶吉、祸福、胜败.数卜法有 2种,即数学上的 3位数与 6位数之分.因为社会的需要,数卜法长期存在,世代相传,不断地改进和发展.

20世纪中叶以前四川凉山彝族地区流行的“雷夫孜”法[8],这是 3位数的数卜法,用于判断械斗 (“打冤家”)、婚丧、出行等事的胜败吉凶.由彝族的一位巫师 (称为“毕达”)主持进行,左手握有一束细竹或草杆之类,右手任意取去部分,然后确定左手余下的数目是奇数或偶数,如此重复进行 3次,结果得到 3次数目的奇数或偶数.有时巫师用一根木片,以小刀在木片上任意刻画许多痕迹,然后把木片 3等分,依次记下每段刻痕的数目 (确定出每段数目的奇数或偶数),结果得出 3段数目的奇数或偶数,最后巫师从相应的辞文中找出答案,作出解释.以械斗为例,有 8个答案的辞文:

奇奇奇 非胜即败,胜则大胜,败则大败 (中下).

奇奇偶 战斗与否,无甚影响 (平).

奇偶奇 战必胜,掳获必多 (上上).

奇偶偶 战必败,损失大 (下下).

偶奇奇 战斗不太顺利 (下).

偶奇偶 战斗无大不利 (中平).

偶偶奇 战斗有胜的希望 (上).

偶偶偶 不分胜负 (中平).

“雷夫孜”法具有迷信色彩,但与八卦、数学都有关系.

与数学的关系:“雷夫孜”法每次出现 (奇数或偶数)有 2种可能,3次得出不同的排列是一个数学问题,问题有 2种解法,即枚举法与排列组合法.

枚举法得到下面的结果

共有 8种不同的排列.

排列组合法:第 1次有 2种可能,第 2次每种又有 2种可能,第 3次每种还有 2种可能,所以,第 1次为 2,第 2次为 2×2=4,第 3次为 2×2×2=8,共有 8种可能的排列.

2 奇字由来及其研究

1168年 (北宋重和元年)湖北孝感县出土西周 6件青铜器 (即安卅六器),其中有 1件中方鼎的铭文,见《啸堂集古录》一书,复制如下:

释文

佳十又三月庚寅,

佳臣尚中臣□□.

过去长篇铭文最后两个古文字无法识别,也没有引起重视,个别学者进行考释.

宋代薛尚功《历代钟鼎彝器款》一书认为是“赫赫”两字.

近代郭沫若《西周金文辞大系》一书考释为:“末二奇字殆中之族徽”,他认为是“族徽”,这是古文字学上奇字的由来.

关于奇字的研究有 2次重大的突破.第 1次突破是 1957年唐兰《在甲骨文中所见的一种已经遗失的中国古代文字》一文,收集考古上发现的 13个奇字加以研究,发现这些奇字都是 6位数由 6个数字组成,认为是中国已经遗失的古代文字,因此,西周中方鼎铭文最后 2个奇字分别为 786666和 876666;第 2次突破是 1980年张政烺《试释周初青铜器铭文中的易卦》一文,指出奇字中的 6个数字都是筮数,奇数为阳爻,偶数为阴爻,6个数字组成重卦的新观点,因此,西周中方鼎铭文最后 2个奇数的重卦分别为和,前者属于经卦艮上坤下,别卦剥,后者属于经卦坎上坤下,别卦比,释为遇剥之比.第 2次突破与 1978年 12月在东北召开的中国古文字研究会有关,当时陕西考古研究所徐锡台在会上报告 1977年陕西岐山凤雏村出土卜骨上发现的奇字,引起与会代表的兴趣,次日中国社会科学院历史研究所张政烺在会上认为周原甲骨上的奇字可能是与《易》中的 8卦有关,提出自己的新观点,徐也同意这一观点.1979年徐与楼宇栋合作发表《西周卦画探源》一文,张、徐两位分别进行认真的考证和深入的研究,各自独立发表关于奇字的多篇文章,为原始画卦符号的认读奠定基础,现在张政烺提出奇字新观点已经得到学术界的承认.

图1 西周中方鼎铭文

由此可知,考古发现的奇字是一个 6位数,利用 6个数字对应的奇数或偶数,奇数为阳爻,偶数为阴爻,预卜凶吉、祸福、胜败.奇字是原始的卦画符号,也是易经卦象的起源.

本节主要内容参考拙作《〈周易〉·奇字·神秘数学》[9]一文.

3 青墩遗址发现的奇字及其影响

青墩遗址在江苏海安县西北方向的沙岗青墩村,位于里下河南部,地势低洼,四面环水,中间有一条自南向北的青墩新河.

青墩遗址发掘出土文物中除石器、玉器、骨器和陶器外,还有罕见的大量麋鹿角和骨骼亚化石标本总数 987件,其中 419件上发现加工痕迹,8件上刻有奇字,目前文献中经常引用的有 2件,其中 1件是麋鹿角,还有 1件是麋鹿骨骼上刻有如下的奇字:

引起了《易》学界的兴趣和重视.

现在把青墩遗址发现奇字中的数字与甲骨文数学、金文数字对照如下:

由此便能认识青墩遗址的奇字,(甲)为 353364,(乙)为 623531,它们都是 6位数.张政烺指出青墩遗址发现的奇字都是易卦符号,还指出“在易卦发展史上应属早期形形,可以据此探寻易卦起源地点问题.”古书记载伏羲作八卦,伏羲东方人,似有吻合之处.1990年江苏张家港举办我国东南滨海古文化学术讨论会上,对易卦起源地点问题也发生兴趣.徐锡台对于上述青墩遗址发现的奇字作出解释:甲,乃由三五三三六四等 6个奇偶数组合而成的重卦卦画,将其变换为《易》中阴阳符合,成卦形,属于经卦乾上艮下,别卦遁.遁,亨,小利贞 (天山遁);乙,乃由六二三五三一等 6个奇偶数组合而成的重卦卦画,将其变换为《易》中阴阳符合,成卦形,属于经卦震上乾下,别卦大壮.大壮利贞 (雷天大利).

以外,在 1987年济南召开的国际《周易》学术讨论会上,学者们对于青墩遗址发现的奇字也很重视,现举 2例如下:

徐锡台指出:“目前见到最早的数字卦画,即江苏海安县青墩遗址出土新石器时代崧泽文化骨角、骨匕上刻有“,两组重卦卦形,…”.[10]

周立开指出:“1978年江苏海安县崧泽文化青墩遗,出土了一批骨角器有鹿角枝,发现其上有数字刻为八个,其中一例为释为三五三三六四,一例为释为六二三五三一,这种刻文图案,有可能是原始筮占的数字记录.崧泽文化,据考证属新石器时代晚期,其年代约为公元前4 000年与前 3 500年之间,就其使用的筮数来看,在筮占发展史上可能属于早期形态”.[10]

本文主要内容参考拙作《青墩遗址发现的奇字及其对易学研究的影响》[10]一文.

4 从殷周到战国发现的奇字

2004年孙振声《易经入门》一书“出版说明”提到“青墩遗址”出土的奇字外,还有“殷墟甲骨、周原甲骨、西周青铜器、湖北江陵天星观楚简上”都有奇字发现,缺少说明,简介如下:

4.1 殷墟甲骨的奇字1950年河南安阳殷墟四盘磨村出土一片卜骨,上面有 3个奇字,刻成了 3行,左行、右行与中行的文字互为倒刻的:

根据古书记载“神农氏又名魁隗氏,又曰连山氏”(见《史记》),古书又有三易之说,即连山,归藏和周易,其中以连山为最早,有的学者认为这片卜骨似与连山易有关,引起重视.

张政烺认为“我疑心这是‘连山’易的篇首”,他把左行和右行的两个奇字,按照奇偶画成卦爻,正好是乾坤离坎四卦搭配而成,由于连山易久佚,不知其卦义,试以《周易》说之,《易纬·乾凿度》中“乾坤者,阴阳之根本,万物之祖宗也.离为日,坎为月,日月之道阴阳之经.”

4.2 周原甲骨的奇字1977年陕西岐山凤雏村周初宫殿的一个窖穴中出土 17 000多片甲骨,其中 9片卜骨上有奇字,完整的奇字有 878785(),766766(),766718(),768676()等,其余为残缺的.

4.3 西周青铜器上的奇字已知西周青铜器铭文上有奇字的达 10件之多.前面介绍第 2节西周中方鼎铭文的 2个奇字.现在叙述 1991年台湾《故宫文物》上张光远《西周早期—召南》一文指出:西周召卣铭文中有倒书的奇字 618611处,还有召字.他的解释本铭若改作卦图,便成兑下坎上的‘水泽节卦’,卦象是水在湖泽上,若无节制即有泛滥之灾.比拟于人,即示节俭为吉.”召指召公,是文武成康四朝元老,勋绩彪炳.“召公铸器,用卦为铭,益彰其贤.”

4.4 湖北江陵天星观楚简的奇字1978年湖北江陵天星观战国中期楚墓发现一批竹简,上面有 16个奇字,在 8处竹简上出现,都是两两对应.例如 166666,666666;166666,166666;…等,仅有 1块缺少 1个数字.这里 16个奇字中 95个数字的分布情况:数字 1有 37次,数字 6有 49次,数字 8有 5次,数字 9有 4次,其他数字都没有出现.

4.5 其他奇字考古上发现的奇字,除了前面提到的外,还有一些值得注意的奇字.例如 2006年濮茅左《楚竹书周易研究》一书提到淳化石桥镇西周陶罐,该罐上有 11组奇字:111111,116881,188111,685618,811816,181611,116185,116111,111688,161111,611511.这 11组奇字中出现的数字 1字 41次,5字 3次,6字 10次,8字 12次,其余数字都没有发现.

5 奇字到卦象以及卦象在数学上的影响

考古发现的奇字,以青墩遗址出土的 2个奇字为最早,这 2个奇字中含有数字 2,3,4.殷周到战国出土的奇字中不再出现数字 2,3,4,因为“由一至四为积画”.容易产生错误,采用其他数字来代替,原则是奇数用奇数代替,偶数用偶数代替,因此奇字已趋向符号化.由于奇数中书写最方便的是数字 1即,偶数中书写最方便的最数字 6即或者数字 8即)(,为了书写的方便起见,奇字中数字进一步趋向符号化.最后把奇字中所有奇数用数字 1代替,所有偶数用数字 6或者数字 8代替,奇字完成符号化后,奇数用阳爻表示,偶数用阴爻 表示,这样产生易经的卦象.因而,易经阳爻 由数字 1演变而来,阴爻 由数字 6或 8演变而来.

易经的卦象不同的排列是一个数学问题,正如前面计算 8卦的排列方法,有枚举法和排列组合法得出 26=64或 8×8=64.

《易经·变卦图》(图 2)是另一种枚举法,现以 8卦为例,按照阴阳分为 4种情况:3阳之卦,,仅有 1卦;2阳 1阴之卦;共有 3卦;1阳 2阴之卦,,共有 3卦;3阴之卦,仅有1卦.各卦相加得到

图2 变卦图 (部分)

应用上述方法能够得出组合恒等式

易经的卦象在数学上有一定的影响,笔者认为可能与数学上的两项研究和发现有关.

第 1项是二项式系数表的发现和组合恒等式的研究有关.远在 11世纪 (北宋仁宋时代)数字家贾寭《释锁算书》中已有二项式系数表的记载,可惜该书现已失传;1261年 (南宋时代)杨辉《详解九章算法》引用“开方作法本原”(如图 3所示).

图3 二项式系数表简图

杨辉指出图 3为“出释锁算书,贾寭用此术”.1303年 (元代)朱世傑《四元玉鉴》一书卷首称图 3为“古法七乘方图”,获得的结果用组合记号表示为

其中,n=1时称为“茭草垛”,n=2时称为落一形 (三角垛)”,n=3时称为“撒星形 (三角落一形)”,n=4时称为“撒星更落一形”,n=5时称为“三角撒星更落一形”.后来 1665年法国 Pacal发表《算术三角论》一文,从此图 3在欧洲流传.

第 2项是与二进制算术发现有关,卦象的本身与二进制的记数法是无关的,但是卦象却能启发二进制的记数法.简单地说卦象是用阳爻和阴爻组成,自然数有奇数和偶数,用 1和 0不仅能表示所有的自然数,还能表示所有的实数,这就是二进制的记数法,由此产生了二进制的算术.

中国的 8卦和 64卦在清代顺治年间已传入欧洲,见 1658年意大利卫匡国 (传教士)著《中国上古史》一书.德国数学家Leibniz可能受到卦象的启发,在 1679年发表二进制的文章和 1703年发表二进制算术的论文,为二进制算术奠定基础,这项重大的发现在现代电子计算机获得应用,为现代科技的发展作出贡献.

总的说来,奇字来源于数学,奇字产生易经中的卦象,卦象影响着数学.

[1]耿济.数学娱乐 (一)——夫妻问题的新证与应用 [J].海南大学学报:自然科学版,2007,25(4):321-324.

[2]耿济.数学娱乐 (二)——牙牌问题的新证与推广 [J].海南大学学报:自然科学版,2008,26(3):206-219.

[3]耿济.数学娱乐 (三)——洛书定理与应用[J].海南大学学报:自然科学版,2008,26(4):303-308.

[4]耿济.数学娱乐 (四)——Nasik幻方的性质与构造法[J].海南大学学报:自然科学版,2009,27(2):107-115.

[5]耿济.数学娱乐 (五)——推广 Fibonacci数列与幂级和[J].海南大学学报:自然科学版,2009,27(4):313-319.

[6]耿济.数学娱乐 (六)——移棋相间[J].海南大学学报:自然科学版,2010,28(1):1-10,14.

[7]耿济.数学娱乐 (七)——一个麻将和牌问题[J].海南大学学报:自然科学版,2010,28(2):93-98.

[8]汪宁生.八卦起源[J].考古,1972(4):242-243.

[9]耿济.《周易》·奇字·神秘数学[J].海南大学学报:社会科学版,1993(4):28-35.

[10]耿济.青墩造址发现的奇字及其对易学研究的影响[J].江苏地方志,2006(1):32-33.

Mathematical Recreation(Ⅷ)——The Origin ofDivinatory Sy mbols in ChangesBook and StrangeWordsArchaeologistsDiscovered

GENG Ji

(Hainan University,Haikou 570228,China)

The strange word archaeologists discovered is a six-figure numbers,which make 6 numbers to match odd numbers or even numbers and predict good or bad fortune.The strange word is the origin of divinatory symbol in ChangesBook.

ChangesBook;divinatory symbol;archaeology;strange word

O 1-0 < class="emphasis_bold">文献标志码:A

A

1004-1729(2011)02-0099-06

2011-02-15

耿济 (1929-),男,江苏镇江人,海南大学退休数学教授.