关于力学系统的自由度的讨论

刘丽华 徐 美 邱红梅

(北京科技大学物理系,北京 100083)

关于力学系统的自由度的讨论

刘丽华 徐 美 邱红梅

(北京科技大学物理系,北京 100083)

对大学物理教材中广泛采用的自由度的概念进行了讨论,并用简洁易懂的方法计算了N个粒子组成的系统的自由度.

自由度;N个粒子系统

在大学普通物理的教学过程中,很多内容都要用到“自由度”这一概念,其中最典型的当属热学中的“能量按自由度均分定理”:在温度为 T的平衡状态下,系统中分子的每个自由度都有相等的平均热运动动能,其大小等于kT/2[1～5].所以,当我们分析一个热力学系统的内能时,关键问题就是:如何确定该系统分子的自由度数?

1 “自由度”的概念

关于“自由度”或“自由度数”的定义,大学物理教材中常见的说法有以下几种:“所谓系统的自由度,就是决定这个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目[1]”;“确定一个物体在空间的位置时,需要引入的独立坐标的数目称为该物体的自由度数[2]”;“要确定一个力学系统的空间位形需要一定数目的相互独立的坐标量,这相互独立的坐标量数目称为力学系统的自由度数[3]”;“决定一物体的位置所需要的独立坐标数,称为这一物体的自由度[4]”,等等.

对于双原子分子,如果不考虑原子间相对位置的变化(即认为系统是刚性的),则系统共有 5个自由度,其中包括 3个平动自由度和 2个转动自由度.这一结论大致可以通过下面两种方法来证明.

方法一一个可以在空间自由运动的质点需要用 3个独立坐标 (如 x,y,z)来决定它在空间的位置,因此一个质点有 3个自由度.而双原子分子可以看成是一个“两质点系统”,则需要用 (x1,y1,z1)和 (x2,y2,z2)来分别确定质点 1和质点 2的位置,也就是说,一共需要 6个坐标 (x1,y1,z1,x2,y2,z2)来确定系统空间位形.但是,对于刚性双原子分子而言,由于两个质点间的距离 (设为 r)是固定的,并有在这个方程的约束下,6个坐标中只有 5个是独立的,所以双原子分子具有 5个自由度[1].

方法二双原子分子 (两个原子均看作质点)中的两个原子是由一个化学键连接在一起的.对于这样的力学系统,我们可以先确定其质心的位置,之后再利用方位角来确定两个原子之间连线的方向即可.确定质心位置需要 3个独立坐标,此即系统的 3个“平动自由度”;关于质点间连线的方向,如图1所示,在直角坐标系中,连线与 x、y、z轴的夹角分别设为α、β、γ,若α、β、γ已知 ,那么连线的方向也就确定了.由于1,所以这 3个方位角中只有 2个是独立的,此即系统的 2个“转动自由度”[2,4,5].

图1 双原子分子的转动自由度

在热力学中,刚性双原子分子系统的内能已为实验所验证,也就是说,“刚性双原子分子具有5个自由度”这一结论是被间接证实了的,因此是正确的.按照前述教材中“自由度”的概念,只需 5个坐标即可完全确定刚性双原子分子的空间位形.

由此看来,前述诸多“自由度”的概念都存在值得商榷的地方.《中国大百科全书·物理学 II》中对于“自由度”的定义如下:“单值地确定某一力学体系的运动状态所必须的、互相独立并可以自由变动的物理量的数目就称为某一力学体系的自由度[6].”这里需要强调的是“可以自由变动”这个条件.也就是说,某一变量必须可以在一定范围内自由变动,即连续变化,才可以称作 1个自由度.如果一个坐标量只有若干个分立值可取,则不能成为一个自由度.例如,在直角坐标系中,如果 x和 y可以任意取值,而 z只有两个可能的取值,这样确定下来的是两个和 z轴垂直的平面 (如图2),而非一个三维的空间,因此 z不可以称为 1个自由度.因此,笔者认为,教科书上给出的双原子分子自由度的推导是正确的,但是自由度的概念应表述为:完全确定一个物体的空间位形所需要的相互独立并且可以任意取值的坐标数目.这样,虽然z2和γ都有两个可能的取值,却不能成为一个自由度.那么,“刚性双原子分子具有 5个自由度”的结论就严谨了.

图2 两个可能的 z值确定的两个平面

2 关于多质点系统的自由度

对于多质点系统 (多原子分子)的自由度,教科书中指出:“一般的讲,如果一个分子由 N个原子组成,则它最多有 3N个自由度,其中 3个是平动的,3个是转动的,其余 (3N-6)个是振动的[4,5].”这一结论的严格证明超出了工科和低年级理科学生的理论知识范围,因此在大多数普通物理教材中,上述结论是直接给出的,并没有具体的证明过程,因而给学生造成了一定的困扰.下面我们给出非常简单且容易被工科学生理解和接受的推导.

首先来分析双原子分子.如前所述,刚性双原子分子有 3个平动自由度和 2个转动自由度;而对于非刚性分子,由于两个原子可以在彼此连线的方向上做微小振动,因此还需要确定两质点间的相对位置.如图3所示,以质点 1为原点,过质点1和2的连线为x′轴,则只需一个坐标x′2即可确定质点 2的位置,此即 1个“振动自由度”.因此,双原子分子共有 6个自由度:3个平动自由度,2个转动自由度,1个振动自由度.

图3 双原子分子的振动自由度

再来看三原子分子.一般情况下,三原子分子可以看成是 3个质点不规则地组合在一起.和双原子分子一样,三原子分子也需要用 3个独立坐标确定其质心的位置,即有 3个平动自由度;另需要 2个独立坐标确定通过质心的任意轴的方位,以及一个独立坐标 (例如φ)来确定系统绕此轴的角度 (如图4(a)),所以系统共有 3个转动自由度.此外,为了确定质点间的相对位置,在 3个质点确定的平面内,以质点 1为原点,过质点 1和 2的连线为 x′轴建立二维直角坐标系 (如图4(b)),则确定质点2的位置需要一个坐标,确定质点3的位置需要两个坐标也就是说,需要3个独立坐标来确定质点间的相对位置,此即 3个振动自由度.因此,三原子分子共有 9个自由度:3个平动自由度,3个转动自由度,3个振动自由度.

图4 三原子分子的 (a)转动自由度和 (b)振动自由度

进一步来分析四原子分子.和三原子分子类似,四原子分子具有 3个平动自由度和 3个转动自由度.下面重点分析四原子分子的振动自由度.如图5所示,质点 1、2和 3确定了一个平面,以这个平面为 X′O′Y′平面 (同三原子分子)建立三维直角坐标系.除了确定质点 2和 3所需要的 3个独立坐标之外,确定质点4的位置又需要3个独立坐标,所以系统一共有3+3=6个振动自由度.这就是说,四原子分子共有 12个自由度:3个平动自由度,3个转动自由度,6个振动自由度.

图5 四原子分子的振动自由度

以此类推,在三原子分子的 3个振动自由度的基础上,每增加一个原子,系统就需要增加 3个独立坐标来描述新增原子的相对位置,即增加 3个振动自由度.

总的来说,对于振动自由度,

单原子分子:0;

双原子分子:1;

三原子分子:3;

四原子分子:3+1×3=6;

五原子分子:3+2×3=9;

…

…

N原子分子:3+(N-3)×3=3N-6.

综上所述,N(N≥3)个粒子组成的系统共有3N个自由度,其中包括:3个平动自由度 (确定质心的位置),3个转动自由度 (确定系统的方位),以及(3N-6)个振动自由度 (确定质点间的相对位置).

对于刚性分子,由于在运动过程中分子的大小和形状都不发生变化,所以分子内任意两个原子间的距离都是固定不变的.在这种情况下,刚性分子中的 (3N-6)个振动自由度被“冻结”,系统的振动自由度为零.

[1] 程守洙,江之永.普通物理学 上册 第六版[M].北京:高等教育出版社,2006.111,177～178

[2] 张三慧.大学物理学 热学 第二版[M].北京:清华大学出版社,2000.44～46

[3] 张玉民,阮耀钟.普通物理学教程之二·热学 第一版[M].北京:高等教育出版社,1991.328

[4] 赵凯华,罗蔚茵.新概念物理学 热学 第二版 [M].北京:高等教育出版社,2005.80～81

[5] 李椿,章立源,钱尚武.热学 第一版[M].北京:高等教育出版社,1978.95～96

[6] 中国大百科全书·物理学 II第一版[M].北京:中国大百科全书出版社,1987.1279

DISCUSSION ON DEGREE OF FREEDOM IN THE MECHANICAL SYSTEM

Liu Lihua Xu Mei Qiu Hongmei
(Department of Physics,Beijing Science and Technology University,Beijing 100083)

The concept“degree of freedom”used widely in university physics teaching materials has been discussed.The degree of freedom for a N-particle system has been calculated by using a simple method which is easy to understand.

degree of freedom;N-particle system

2010-09-27)