线性振子过阻尼和临界阻尼特性对比研究

王培霞 贾育秦

(1太原科技大学物理系,山西太原 030024)

(2太原科技大学机电工程学院,山西太原 030024)

线性振子过阻尼和临界阻尼特性对比研究

王培霞1贾育秦2

(1太原科技大学物理系,山西太原 030024)

(2太原科技大学机电工程学院,山西太原 030024)

从理论和实例上对线性振子过阻尼和临界阻尼特性曲线进行分析对比,发现在某特定条件下过阻尼能较快地恢复到平衡位置,还发现从平衡位置开始的线性振子,过阻尼状态时峰值较小,恢复时间较长;而临界阻尼状态下恢复时间较短,峰值较大.

线性振子;临界阻尼;过阻尼

引 言

振动是自然界存在的普遍现象,在工程技术中,如何最大限度地抑制有害振动或利用有利振动是非常实际和重要的课题[1],也是学生需要重点掌握的内容.其中一维线性振子的阻尼运动是最常见和最重要的一种振动,在大学物理教材[2,3]中,只是定性画出欠阻尼衰减振荡曲线、过阻尼和临界阻尼单调恢复平衡曲线.学生对此没有深入的认识,对实际中设计阻尼器的参考价值也很有限.本文通过理论分析和实例对过阻尼和临界阻尼特性曲线进行对比研究,发现一些比较有趣的现象,不仅加深学生对阻尼运动的理解,也激发学生学习、研究物理现象的兴趣,同时为阻尼器设计提供了参考依据.

1 线性振子的阻尼运动分类

物体以不太大的速率在粘性介质中运动时,物体受到的阻尼力与其运动速率成正比,按照牛顿第二定律,对存在粘性阻尼的一维线性振子,其运动微分方程为[4]

其中,β为振子的阻尼系数;ω0为振子的固有角频率.欠阻尼时:β＜ω0;过阻尼时:β＞ω0;临界阻尼时:β=ω0.假定初始条件 x|t=0=x0和v0对式 (1)求解.

过阻尼:

临界阻尼:

欠阻尼的特性曲线很清楚是一个振幅随时间做周期性衰减的阻尼运动,本文不作深入讨论.

2 过阻尼分析与临界阻尼特性曲线形状分析

2.1 过阻尼特性曲线形状分析

对式 (3)求导得到过阻尼特性曲线的速度为

求出 x过=0和过=0分别对应时刻为 t1和t2,则有

根据式 (3)、(5)、(6)从理论上研究 x0和 v0对阻尼曲线形状的影响:

① x0＞0,v0＜ -(β+q)x0,有 t1＞0,t2＞0,x过曲线越过平衡位置,然后再趋于平衡位置,这与大学物理教材[2,3]中所描述的不同;

② x0＞0,v0=-(β+q)x0,有 t1→∞,t2→∞,x过经足够长时间单调地趋于平衡位置,没有越过平衡位置;

③ x0＞0,0＞v0＞ -(β+q)x0,有 t1＜0,t2＜0,x过单调趋于平衡位置;

④ x0＞0,v0=0,有 t1＜0,t2=0,x过曲线从初始速度为零,单调趋于平衡位置;

⑤ x0＞0,v0＞0,有 t1＜0,t2＞0,先上升后单调趋于平衡位置;

⑥ x0=0,v0＞0或 v0＜0,有 t1=0,t2＞0,x过曲线从平衡位置开始,先偏离平衡位置再单调趋于平衡状态.

为了直观地显示过阻尼曲线,以ω0=π,β=4为例使用 matlab[5]作出不同 x0和 v0下的过阻尼曲线,如图1、2所示.直观地可以看出,与以上理论分析相吻合.

2.2 临界阻尼特性曲线形状分析

对式 (4)求导得到临界阻尼特性曲线的速度为求出x临=0和临=0分别对应时刻为和

根据式 (4)、(7)、(8)从理论上研究 x0和 v0对阻尼曲线形状的影响:

①x0＞0,v0＜-ω0x0,有x临曲线也越过平衡位置后趋于平衡状态,与大学物理教材[2,3]中所描述的不同;

②x0＞0,v0=-ω0x0,有x临经足够长时间单调地趋于平衡位置;

③x0＞0,v0＜0且v0＜-ω0x0,有′＜0,′＜0,x临曲线单调趋于平衡位置;

④x0＞0,v0=0,有x临曲线从速度为零开始单调趋于平衡位置;

⑤x0＞0,v0＞0,有先上升然后单调趋于平衡位置;

⑥x0=0,v0＞0或v0＜0,有x临曲线从平衡位置开始,先偏离平衡位置再单调趋于平衡状态.

为了直观地显示临界阻尼特性曲线,以ω0=π为例,使用 matlab[5]作出不同 x0和 v0下的临界阻尼曲线,如图3、4所示.直观地可以看出,与以上理论分析相吻合.

图3 x0＞0时临界阻尼曲线

图4 x0=0时临界阻尼曲线

3 对比分析

通过对过阻尼特性曲线和临界阻尼特性曲线的对比分析,本文发现两个有趣的现象.

大学物理教材中指出,临界阻尼与过阻尼相比,恢复到平衡状态的速度更快.本文发现,在某个条件下,v0在 -(β+q)x0附近,过阻尼比临界阻尼更快地恢复到平衡状态,以ω0=π,β=4为例作出图像如图5所示.对于该现象中的特殊情况,v0=-(β+q)x0时 ,文献 [6]给出了证明.

对于线性振子阻尼运动中,振子偏离平衡位置的最大值 (峰值)如何,教材中很少研究[2,3],学生学习过程中对此考虑较少,但是在阻尼器设计中又是必须考虑的因素之一.本文通过对比研究发现,对于初始状态在 x0=0时,临界阻尼状态下,曲线恢复到平衡状态较快,但是在恢复过程中峰值较大;而过阻尼的峰值较小,恢复到平衡状态却需要较多的时间.仍以ω0=π,β=4为例,x0=0的图像如图6所示,有兴趣的读者可以证明之.

4 结论

通过理论分析和实例对过阻尼和临界阻尼特性曲线进行对比研究,发现一些有趣的现象.理论与实例相结合的方法使学生深刻生动地理解过阻尼和临界阻尼现象,培养学生学习物理的兴趣,提高学生学习、研究物理现象的能力.本文研究了不同初始状态下过阻尼与临界阻尼特性曲线,也为设计不同阻尼器提供了参考依据.

[1] 商大钟.动力分析基础[M].哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社,2005.11

[2] 程守洙,江之永.普通物理学 (第五版)[M].北京:高等教育出版社,1998.7

[3] 陈曙光,许迈昌,李光辉等.大学物理学[M].长沙:湖南大学出版社,2008

[4] 庞特里亚金.常微分方程 (第 6版)[M].林武忠,倪明康译.北京:高等教育出版社,2006.6

[5] 周建兴.MATLAB从入门到精通[M].北京:人民邮电出版社,2008.11

[6] 黄东保.线性振子过阻尼特性分析[J].大学物理,2001,20(5):14～15

COMPARATIVE RESEARCH ON LINEAR OSCILLATOR IN THE CRITICAL DAMPING AND OVER DAMPING STATES

Wang Peixia1Jia Yuqin2
(1Department of Physics,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan,Shanxi 030024)
(2College of Mechanical and Electronic Engineering,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan,Shanxi 030024)

Analyzing and comparing the characteristic curves of the linear oscillator in the critical damping and over damping states both in theory and practice,we found that oscillator in the over damping state can be more quickly restored to the position of equilibrium than in the critical damping state under certain conditions. In the over damping state,the peak of oscillator is smaller and the recovery time is longer,which are opposite in the critical damping state.

linear oscillator;critical damping;over damping

2010-06-14;

2010-11-13)

王培霞(1953年出生),女,太原科技大学物理系,副教授,主要从事大学物理研究与教学.发表学术、教学方面论文二十多篇.贾育秦 (1954年出生),男,太原科技大学机电工程学院,教授,硕士生导师.