分段线性拟合方法确定光电效应遏止电压

曹芳玲，邹哲奇，鲁晓东

（浙江海洋学院，浙江舟山 316000）

分段线性拟合方法确定光电效应遏止电压

曹芳玲，邹哲奇，鲁晓东＊

（浙江海洋学院，浙江舟山 316000）

通过对光电子工作特性的分析，得出了光电效应中的光电流是随外电压呈阶段性变化的结论。由此提出用分段线性方法拟合光电流的伏安特性曲线，并以它的变化区与反向饱和区的拟合直线的交点作为遏止电压点，有效减小了拐点区数据测量不稳定性带来的影响，提高了实验结果准确性。

光电效应；光电流；遏止电压；分段线性拟合

在光电效应实验中，普朗克常量的实验值是利用光频率与其所对应的遏止电压之间的线性关系测得［1］。由于利用了线光谱光源，因此光频率值的精度较高。而遏止电压需要从光电管伏安特性曲线获得，常用的一种是交点法［2］，取曲线与横轴的交点，即光电流为零所对应的电压值；另一种用拐点法［2］，取曲线中斜率变化最大的点所对应电压值。一般光电管中暗电流以及阳极电流还是比较明显的，这势必会严重影响总电流为零时的电压值，因此拐点法相对更有优势。拐点法最基本的方法是通过一条曲线拟合，然后通过拟合函数的二次导数来确定拐点的位置。由于接近拐点处的光电流已很弱并且变化极剧烈，若使用低次拟合，则曲线远离拐点；而用高次则会存在较大的震荡，结果稳定性差。从光电管的工作特性看，拐点只是阴极光电流从有到无的一个状态突变，是曲线上的断点，所以难以用一条光滑的曲线去表达。事实上在拐点前、后稍远处的数据都各自保持了较强的线性关系，若没有其他因素的影响各自线性将保持到拐点区域，因此采用分段［3］直线拟合较单条光滑曲线更符合光电流的变化规律。实验时先通过曲线上一些特征对数据进行分段，然后对各段数据做直线拟合，两段直线的交点就是光电流状态发生实质性变化的交界点，该点也就是曲线的遏止电压点。

1 光电管伏安曲线分析

光电管的伏安特性测试电路见图1所示。理想的光电管伏安曲线是在反向遏止电压下光电流会突变到零。实际上光电管阴极使用了逸出电位低的碱金属材料制成，这种材料有易氧化趋向，使阴极表面各处逸出电位不等，且逸出具有最大动能的光电子数目减少，导致反向电压增加，光电流较快降低后平缓趋至零点。而在阳极也常会有一些阴极材料，在受到部分漫反射光线照射时也会产生光电子，使得发射的电子由阳极飞向阴极，构成反向阳极电流。另外在外电压的作用下，整个电路存在的本底电流即暗电流。这些都导致了实验中的光电管伏安曲线与理想曲线存在较大不同，增大了遏止电压实验值的不确定性。若从曲线的形状上分析如图2所示，当电压反向时，电流的变化分急剧下降阶段和电流趋向反向饱和阶段，遏止电压Vs就在这两个阶段之间，此时阳极电流影响较明显，因此交点法确定的遏止电压点V′s存在较大系统误差，同时其饱和速度并不是很快，曲线拐弯处就不明显，直接用拐点法时结果的随机性误差较大。由于这两个电流变化阶段在偏离拐弯处都是呈很强的线性，所以这两段状态可以用两个线性函数描述。而光电流的遏止电压点的物理意义就是电流状态从变化到反向饱和的交接点，因此该点在数学意义上就是这两个线性函数的方程组的解。

图1 伏安特性测试电路

图2 伏安特性曲线

2 分段线性拟合实现

2.1 数据的分段

根据实验所测光电管的伏安特性曲线图2所示，光电流的遏止电压点已经被其他电流信号所覆盖。从曲线的反向电压部分变化趋势可以看出，数据从两端越接近曲线折弯处即截至电压点，此处的变化越激烈，就越偏离线性程度。因此曲线以突变点为界分成两个线性近似阶段，并由这些分段的数据点得到这两个线性拟合方程。分段的过程可以这样设计：

（1）取曲线的反向电压部分并作线性拟合；

（2）曲线拐弯区域中找出离拟合线最远的点作为分段点；

（3）分段点以左为反向饱和区，进行最小二乘拟合；以右为变化区，进行最小二乘拟合。

分段的目的就是把工作状体相关的数据成为一个集合，这样就有利于表达该组数据本来具有的变化规律。若在分段中包含了拐弯处较多的数据，因这些数据变化较不稳定、与旁边数据的相关度差，所以可舍弃不用抑或保留一二。

2.2 最小二乘拟合

最小二乘法［4］是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。按最小二乘法拟合的曲线，就是使曲线上的数据与实验数据之间误差的平方和为最小，从而达到曲线函数参数的最优化。

本例要拟合的目标是一直线方程y＝ax＋b，设实验测得数据xi，yi。则对于某一个xi相对应的yi与直线在y方向上的偏差为：

根据最小二乘原理，使这些数据点的偏差方和最小

3 实验结果与分析

本例用实验室所测一组数据来说明分段线性拟合方法的使用，实验使用GD-Ⅲ型光电效应实验仪，低压汞灯光源。分别对波长为365 nm、405 nm、436 nm、546 nm、577 nm的光谱源进行测量，所测数据见表1。

表1 实验数据

（1）曲线的分段

以436 nm为例，根据436 nm相应的实验数据（U，I），U为x轴单位为V，I为y轴单位为（×10-11Α），对曲线进行线性拟合，得到拟合方程y＝41.0x＋65.0。在拐弯的区域中找出离拟合直线最远的点，可以通过计算的方法，也可以在图上如图3所示直接找出，这儿为（-1.20，-10.8）。整条曲线就以此点为界分为两段，从图3可以看出（-1.20，-10.8）沿x轴以左为阳极电流趋向饱和区，以右为阴极电流变化区，它们都有极强的线性度。分界点处电流变化最为激烈，线性度差，因此它及其一小块领域不属于任一段。

图3 曲线的分段

图4 分段线性拟合

（2）分段拟合

分别对这两个区域进行最小二乘拟合，得到饱和区的直线方程y＝0.50x-14.2，变化区的直线方程为y＝146.5x＋152.0。求解过程见图4所示。虽然在拐弯处没有直接拟合遏止电压点，但阴极电流的变化趋势和阳极电流的变化趋势，足以表达电流的变化规律。Matlab实现的参考代码见附录。

（3）求遏止电压点

光电流的状态方程已经求得，联立方程组

得到方程组的解为

436 nm光子激发下的光电流遏止电压即为1.139 V。用同样的方法得到365 nm、405 nm、546 nm、577 nm光波下的遏止电压，结果见表2。

表2 不同频率光电子下的遏止电压

（4）结果的验证与分析

光电效应实验表明，当入射光的频率v等于金属材料的截止频率v0时，遏止电压Vs＝0，此时光子的能量刚好提供给金属的逸出功。此时爱因斯坦光电效应方程可以表达为：

4 结 论

光电流在遏止电压附近区域处数据变化剧烈、测量重复性差，分段拟合方法避开了在该区间数据的密集采集，通过电流状态变化规律来确定遏止电压，具有明确的物理意义，同时也简化了实验过程。所要注意的是数据点的采集对拟合方程形式影响较大，数据量可以稀疏点，但要求各段间拟合的数据量基本相同，各段内采集间隔相差不大，以保证拟合方程能体现曲线本身的变化趋势。

附录：

拟合过程的matlab参考代码：

［1］ 李雄，朱琳.运用Matlab辅助测量普朗克常量［J］.物理实验，2008，28（12）：33-35.

［2］ 竺江峰，芦立娟，鲁晓东.大学物理实验［M］.北京：中国科学技术出版社，2005.

［3］ 赵明富，廖强，钟连超.热电偶最优化分段最小二乘拟合线性化处理方法［J］.计量技术，2004（1）：18-20.

［4］ 施吉林，刘淑珍，陈桂芝.计算机数值方法［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［5］ 段向阳，张华，陈君.光电效应实验中数据的微机辅助处理［J］.实验技术与管理，2005，22（4）：21-23.

［6］ 费业泰.误差理论与数据处理［M］.北京：机械工业出版，2000.

Determining the Cut-off Voltage of Phoelectric Effect Based on Piecewise Linear Fitting

CAO Fang-ling，ZOU Zhe-qi，LU Xiao-dong

（Zhejiang Ocean University，Zhejiang Zhoushan 316000）

By analyzing the working characteristics of photoelectron，a conclusion that photocurrent changes in stage following with changing of its voltage is presented.A method based on piecewise linear fitting is proposed to fit the volt-ampere characteristics curve of photocurrent.It regards the point where the two fitted lines of changing area and reverse saturation area in curve intersect as cut-off voltage point，and decrease the negative effect from the measuring instability in inflection erea.So the accuracy of experimental results promoted.

photoelectric effect；photocurrent；cut-off voltage；piecewise linear fitting

O431.2

A

1007-2934（2011）06-0074-04

2011-08-31

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