一类高阶周期系数线性微分方程解的性质

陈创鑫, 陈宗煊

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

1 引言与结果

本文使用值分布理论的标准记号[1-2].用记号σ(f)表示亚纯函数f(z)的增长级,λ(f)表示f(z)的零点收敛指数,并引进下列定义.

为了研究周期系数线性方程解的性质,BANK和LANGLEY在文献[4]中初步涉及了一个e-型级概念,CHIANG和GAO在文献[5]中比较确切地提出了e-型级的概念,即

文献[5]还证明了：假设A(z)=G(ez)=G(ζ),ζ=ez,G(ζ)在0<|ζ|<+∞内解析,那么

若A(z)为周期整函数,且A(z)=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)为ζ的有理函数.明显地必有下列形式B(ζ)=ζ-m(anζn+an-1ζn-1+…+a0).明显地,若n>m,则ζ=∞必是B(ζ)的n-m阶极点.

已有多人对二阶周期系数方程解进行了研究[4-5,7-9],而对高阶周期系数方程解的研究甚少．BANK和LANGLEY在文献[4]中得到了下面的重要结果.

定理1 假设k≥2,A0是以2πi为周期的整函数,假设A0是ez的有理函数,A1,…,Ak-2为常数.如果f(z)(≢0)是微分方程

f(k)+Ak-2(z)f(k-2)+…+A0(z)f=0

(1)

的解且满足

(2)

那么存在q(1≤q≤k)满足f(z)和f(z+q2πi)线性相关.

定理2 假设k≥2,A0是以2πi为周期的整函数,假设A0是ez的有理函数,A1,…,Ak-2为常数.如果f(z)(≢0)是微分方程(1)的解且满足式(2),那么存在整数q(1≤q≤k),常数d,及在1<|ζ|<+∞内解析的有理函数R(ζ)和S(ζ),使得

定理1指出存在q(1≤q≤k),满足f(z)和f(z+q2πi)线性相关.后来,陈宗煊[6]证明了定理3,指出B(ζ)是多项式且其次数n不能被k整除时,f(z)和f(z+2πi)是线性无关的.

定理3 假设k≥2,A0是以2πi为周期的整函数,假设A0=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)是n次多项式,且n不能被k整除；A1,…,Ak-2为常数.如果f(z)(≢0)是微分方程(1)的解且满足式(2),那么f(z)和f(z+2πi)线性无关,且有σ2(f)=1和σe(f)=n/k.

命题1 假设f(z)为亚纯函数,那么

(i)如果σ2(f)<1,则σe(f)=0;

(ii)如果σ2(f)>1,则σe(f)=∞;

(iii)如果0<σe(f)<∞,则σ2(f)=1.

一个自然的问题是,当B(ζ)(ζ=ex)是有理函数时,f(z)和f(z+2πi)的线性相关性将如何？本文在下面的定理4中回答了这个问题.

定理4 假设k≥2,A0是以2πi为周期的整函数,假设A0(z)=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)=ζ-m×(anζn+…+a0),不退化为常数,其中an≠0,且ai(i=0,1,…,n)为常数.A1,…,Ak-2为常数.设u=min{i:ai≠0,i=0,1,…,n},并令s=max{n-m,m-u}.如果f(z)(≢0)是微分方程(1)的解且满足式(2),那么成立σ2(f)=1及σe(f)=s/k.

定理5 假设k≥2,A0是以2πi为周期的整函数,假设A0=B(ez)=B(ζ),ζ=ez,B(ζ)=ζ-m(anζn+…+a0),不退化为常数.其中an≠0,且ai(i=0,…,n)为常数.A1,…,Ak-2为常数.设u=min{i:ai≠0,i=0,1,…,n},令s=max{n-m,m-u}.如果f(z)(≢0)是微分方程(1)的解并满足式(2),且条件(i)或(ii)成立:

(i)当n>m时,n-m不能被k整除；

(ii)当n≤m时,m-u不能被k整除.

那么f(z)和f(z+2πi)线性无关,并且成立σ2(f)=1及σe(f)=s/k.

2 证明所需引理

引理1[10]假设F(z)除了在∞点有孤立本性奇点外,在R0<|z|<∞内解析,那么F(z)可以表示成F(z)=zmΦ(1/z)P(z)eh(z),其中m为整数,P(z)是由F(z)的零点形成的多项式或Weierstrassion乘积,h(z)为整函数,Φ(1/z)在R0<|z|≤∞内(含∞点)解析且Φ(1/z)|z=∞=1,确切地Φ(1/z)=eΦ1(1/z),Φ1(1/z)在R0<|z|≤∞内(含∞点)解析且Φ1(1/z)|z=∞=0.

引理3[6]假设g(ξ)除了在∞点有孤立本性奇点外,在R0<|z|<∞内解析,那么

(i)g(ξ)可以表示成g(ξ)=ξmψ(ξ)F(ξ),其中m为整数,F(ξ)为整函数,ψ(ξ)在R0<|z|≤∞内(含∞点)解析,且ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1,当ξ→∞时

(3)

(4)

其中ν(ρ)为整函数F(ξ)的中心指标;

(iii)g(ξ)可以表示成

g(ξ)=ξmW(ξ)eh(ξ),

(5)

如果g(ξ)仅有有限多个零点,那么当ξ→∞时

注1 关于区域0<|ξ|<∞内的Nevanlinna特征函数.假设G(ξ)在0<|ξ|<∞内亚纯,考虑当ξ→∞时,G(ξ)的增长性,可以由|ξ|≥1内的Nevanlinna理论[12]来考虑,定义

(6)

和N1(ρ,G)为|ξ|≥1内的极点的计数函数,以及

T1(ρ,G)=m1(ρ,G)+N1(ρ,G).

(7)

由文献[7]可知：对于m1(ρ,G)，与Tumura-Clunie引理相应的结果仍然成立,以及G(ξ)在ξ=∞有极点的充分必要条件为T1(ρ,G)=O(logρ).

考虑当|ξ|=ρ→ 0时,G(ξ)的增长性,可以定义G*(ξ)=G(1/ξ),由考虑当ρ→∞时,T1(ρ,G*)的增长性来决定ρ→ 0时,G(ξ)的增长性.

我们还可定义G(ξ)在点ξ=∞的增长级[7]为

(8)

而G(ξ)在点ξ=0的增长级定义为

σ0(G)=σ∞(G*).

(9)

另一方面,如果G(ξ)在0<|ξ|<∞内解析,则N1(ρ,G)=0.由引理1和引理3可知G(ξ)可表为

G(ξ)=ξnψ(ξ)F(ξ),

(10)

其中n为整数,ψ(ξ)在1<|ξ|≤∞内解析,ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1,F(ξ)为复平面内的整函数.由式(6)、(7)和(10)可知当|ξ|=ρ充分大时

m1(ρ,G)=m(ρ,F)+O(logρ),
T1(ρ,G)=T(ρ,F)+O(logρ),

结合式(8),得到

(11)

考虑当|ξ|→∞时,G(ξ)的增长性,我们还可记

M1(ρ,G)={|G(ξ)|:|ξ|=ρ(>1)}.

(12)

由于ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1,由式(10)、(12)，可知当ρ充分大时

(13)

由于ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1,由式(11)、(13),可知

(14)

引理4[6]假设整函数f(z)满足f(z)=ξdG(ξ),其中d为常数,ξ=ez/q,q为正整数,G(ξ)在0<|ξ|≤∞内解析,那么

(15)

(16)

3 定理4的证明

M[T(r,f)]k+1,

(17)

其中M(>0)为常数.

下面根据n与m的大小关系来证明σ2(f)=1及σe(f)=s/k.

首先,若u

|A0(z)|=M(r,A0)=|an|e(n-m)r(1+o(1)),

其中an≠0,au≠0为常数.将其代入式(17),并注意到s≥1,n-m≥1,可得σ2(f)≥1.另一方面,由Wiman-Valiron理论[13],从方程(1)可得σ2(f)≤1,故σ2(f)=1.

首先考虑σ∞(G).由引理3的(i),G(ξ)=ξd×ψ(ξ)F(ξ),其中m为整数,F(ξ)为整函数.ψ(ξ)在1<|ξ|≤∞(含∞点)内解析且ψ(ξ)≠0,ψ(∞)=1.

将f(z)=ξdG(ξ)代入方程(1),得到

(18)

(19)

其中ν(ρ)为整函数F(ξ)的中心指标.由于F(ξ)为超越整函数,由式(18)、(19)得到

(1+o(1))+qkanξq(n-m)(1+o(1))=0,

(20)

再由式(14)可知

(21)

下面考虑σ0(G).由式(9),σ0(G)=σ∞(G*),其中G*(t)=G(1/t),ξ=1/t.由归纳法,可得

G(s)(ξ)=(-1)s(G*)(s)(t)ts+s+

(22)

其中dj为常数.由条件可假设B(ξq)=(ξ-mq)×(anξnq+…+a0),其中an(≠0),…,a0为常数,且n>m,再结合u的定义,可知

(23)

将式(22)、(23)代入式(18),得到

(24)

G*(t)=tm*ψ*(t)F*(t),

(1+o(1))+(-1)kqk[ant(m-n)q+…+

aut(m-u)q]=0,

(25)

其中ν*(ρ)为整函数F*(t)的中心指标.

下面再根据u与m的大小关系进行讨论.

若u

(1+o(1))+(-1)kqkaut(m-u)q(1+o(1))=0,

(26)

再由式(14)可知

若u≥m,则由式(25)得

(1+o(1))+O(1)=0,

(27)

下面考虑情形(ii):当nm时的证明,由于

A0(z)=anζn-m+an-1ζn-1-m+…+a0ζ-m=

anζn-m+an-1ζn-1-m+…+auζu-m,

而u-m

首先考虑σ∞(G).由式(18)、(19)知

(1+o(1))+O(1)=0,

(28)

其中ν(ρ),Cj,ρ如式(18)～(20)所述.如果F(ξ)为超越整函数,那么ν(ρ)→∞,则式(28)矛盾.从而F*(ξ)最多为多项式,因此σ(F)=0.由式(14)可知

σ∞(G)=σ(F)=0.

(29)

下面考虑σ0(G).由式(24)可得

o(1))+(-1)kqk[ant(m-n)q+…+aut(m-u)q]=0,

(30)

由于m-u>m-n>0,故由式(30)可得

(1+o(1))+(-1)kqkaut(m-u)q(1+o(1))=0,

(31)

A0(z)=B(ζ)=am+am-1ζ-1+…+a0ζ-m=

am+am-1ζ-1+…+auζu-m,

(32)

而B(ζ)不为常数,故u

首先考虑σ∞(G).因为A0(z)=am+am-1ζ-1+…+auζu-m,类似于情形(ii)可得σ∞(G)=0.

再考虑σ0(G).由式(17)、(22)可知

(1+o(1))+(-1)kqk[am+am-1tq+…+

aut(m-u)q]=0,

(33)

从而可得

(1+o(1))+(-1)kqkaut(m-u)q(1+o(1))=0,

(34)

4 定理5的证明

先证明在条件(i)下定理成立.

假设f(z)(≢0)是微分方程(1)的解且满足式(2).如果f(z)与f(z+2πi)线性相关,由f(z)满足式(2),那么由定理1及定理2,可知f(z)在1<|ζ|<∞内可表为

f(z)=R(ez)exp(dz+Q(ez))=

edzR(ez)exp(Q(ez))=ζdR(ζ)exp(Q(ζ)),

(35)

其中d为整数,ζ=ez,R(ζ)和Q(ζ)皆为ζ的有理式,且在1<|ζ|≤∞内解析.将式(35)代入方程(1)得到

(36)

(37)

由于Q(ζ)为有理式,故当|ζ|→∞时,有

(38)

由式(37)、(38)可知

|Fj(ζ)|=O(1) (j=0,…,k-1).

(39)

倘若ζ=∞为Q(ζ)的解析点,则当|ζ|→∞时,|ζQ′(ζ)|=O(1),而n>m,故ζ=∞为B(ζ)的n-m阶极点,因而式(36)不可能成立.从而ζ=∞不可能是Q(ζ)的解析点.因此不妨设ζ=∞为Q(ζ)的α阶极点，由式(36)、(39)及ζ=∞为B(ζ)的n-m阶极点,得到kα=n-m,这与假设条件:n-m不能被k整除相矛盾,从而f(z)和f(z+2πi)线性无关.

结合定理4,可以得到

再证明在条件(ii)下定理也成立.

令B*(t)=B(1/t)=B(ζ),由于n≤m,故

B*(t)=antm-n+an-1tm+1-n+…+autm-u(au≠0).

假设f(z)(≢0)是微分方程(1)的解且满足式(2).如果f(z)与f(z+2πi)线性相关,由于f(z)满足式(2),那么由定理1及定理2,可知f(z)在1<|t|≤∞内可表为

f(z)=td1R*(t)exp(Q*(t)),

(40)

其中d1为整数,t=e-z,R*(t)和Q*(t)在1<|t|≤∞内解析.将式(40)代入方程(1)得

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