非线性波动方程的各向异性有限元方法

王志军, 郭 城

(郑州师范学院,郑州 450044)

非线性波动方程的各向异性有限元方法

王志军, 郭 城

(郑州师范学院,郑州 450044)

研究了非线性波动方程的各向异性有限元方法,得到了半离散格式下的最优误差估计.

非线性波动方程;各向异性;半离散;误差估计

1 引 言

考虑下面一类非线性波动方程型问题

关于此类非线性方程的渐进稳定性或一致稳定性研究有[1-3],而有关此类方程的数值分析的结果还不多见,所以寻求其相应的数值方法就显得更为重要.

本文首先建立了上述非线性波动方程的各向异性有限元格式,证明了这种格式解的存在唯一性,其次得到了相应的先验误差估计.

2 单元的构造

引理1[4]上述定义的插值算子^I具有各向异性特征,即对多重指标α=(α1,α2),当|α|=1时,有

设Jh是Ω的一个矩形剖分.对∀K∈Jh我们假设hkx=hx,hky=hy,但不要求Jh满足上述的正则性假设或拟一致假设.对任意的K∈Jh,用(xK,yK)代表K的重心,2hx,2hy分别代表平行于x轴和y轴的两边的边长.于是存在仿射变换FK:^K→K,x=xK+hx^x,y=yK+hy^y.有限元空间定义如下

插值算子Ih∶H2(Ω)→Vh可定义为

3 半离散格式的收敛性分析

显然(6)是关于未知函数ψ(t)的二阶非线性常微分方程组,当给定初值uht(0),uh(0)时,由[5]知(6)存在惟一解.

引理2[6]由插值定理易得

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An Anisotropic Finite Element Method for Nonlinear Wave Equations

WA N G Zhi-j un, GUO Cheng
(Zhengzhou Normal University,Zhengzhou 450052,China)

A kind of anisotropic finite element approximation to wave equation is discussed with semidiscretization, the same optimal error estimates.

nonlinear wave equations;anisotropic finite elements;semi-discrete;error estimate

O175.2;O242.21

A

1672-1454(2011)03-0150-03

2009-06-16