类比法在线性代数教学中的运用

张启明，唐先华

(1．湖南工业大学理学院，湖南株洲412007;2．中南大学数学科学与计算技术学院，湖南长沙410081)

类比法在线性代数教学中的运用

张启明1，唐先华2

(1．湖南工业大学理学院，湖南株洲412007;2．中南大学数学科学与计算技术学院，湖南长沙410081)

主要讨论了类比法在线性代数教学中的运用，并举例说明。同时，提出了运用类比法进行线性代数教学时应注意的几个问题。这些为线性代数教学提供了一些新的思路。

类比法;线性代数;教学;运用

实验、观察、归纳、类比、联想等方法是数学方法论中很重要的思想方法。其中，“类比推理是指根据两个不同的对象在某些方面(如特征、属性、关系等)的类同之处，猜测这两个对象在其它方面也可能有类同之处，并作出某种判断的推理方法。”［1］Goswami认为，类比推理是人类认知发展的核心能力之一。它不仅在分类问题和学习中涉及到，而且为人类思维和简析提供了一种工具，对科学发现和创造性思维都有十分重要的作用。［2］本文以刘金旺、夏学全主编的《线性代数》教材［3］为依据，讨论如何运用类比法进行线性代数教学以及运用类比法进行教学时应注意的问题，以提高教学效率，充分激发学生的创造性，为线性代数教学提供新的思路。逻辑学上所说的类比一般指由特殊到特殊的一种推理方法，是特殊与特殊的比较，但习惯上，我们把从特殊到一般的比较也称为类比。本文所讨论的类比是合二为一，将前面提到的这两种情形不加区别对待。

一 类比法在线性代数教学中的运用

教材［3］中，除选学内容外，教学内容主要有行列式、矩阵、向量空间、线性方程组及特征值与二次型等。设计教材时，我们一般会根据知识层次构成其章节段落。教学中，通过类比，辅以联想，触类旁通，帮助学生将各知识点理顺成一个息息相关的脉络，并能激发学生的“灵感”，培养学生的创造能力，是数学教师所追求的一种理想境界。下面从两方面探讨如何运用类比法进行线性代数的教学。

(一)形式类比

形式类比是指由类比对象的表面相似而得到的两种事物之间的对应关系。在数学的类比推理中，由于数学是一种符号语言，形式类比一般比较直接，有时通过一个表达式进行联想就可类比出另一个表达式。一般地，通过形式类比，可以得出一些数学概念、定理、解题方法等。就线性代数而言，由于其内容抽象丰富，需要掌握的概念，引理及定理非常多，且自身的语言符号系统非常复杂，解题方法和技巧也灵活多变，给学生学习带来了重重困难。因而，教学时，有必要帮助学生将学习内容理顺成一个知识脉络，并由于其语言符号系统的特点，进行形式类比推理的机会还是挺多的。下面举例说明:

例1:二、三阶行列式的定义→n阶行列式的定义

中学数学中，用消元法解二元线性方程组和三元线性方程组分别得出了二阶和三阶行列式，设元素aij的2个下表i和j分别表示aij所在的行与列的序数，则它们的展开式分别为

仔细观察，可发现式(1)和式(2)具有以下规律:

展开式都是一些项的代数和，其中项数分别为2!和3!，每一项都分别由位于不同行不同列的两个数相乘和三个数相乘，且符号为正和符号为负的项数各占一半。将每一项中元素的行标按自然顺序排列，并根据列标的排列规律，引入逆序数的概念，则每项的符号分别为(－1)τ(j1j2)，其中 j1，j2∈ {1，2}和 τ(j1j2j3)，其中 j1，j2，j3∈ {1，2，3}。

通过类比，n阶行列式的展开式就很容易得到了。

例2:(1)克雷姆法则→(2)解n个未知数n个方程的齐次线性方程组→(3)解n个未知数m(m≤n)个方程的齐次线性方程组

显然，例2中(2)的讨论对象是(1)的讨论对象的特殊情形，(1)的讨论对象又是(3)的讨论对象的特殊情形。(1)是利用行列式讨论n个未知数n个方程的齐次线性方程组的解法，且通过对(1)、(2)的讨论对象进行类比推理，可以由(1)得出(2)有非零解的判定定理。(2)有非零解的充要条件为(2)中方程组的系数行列式为零，也即该方程组的系数矩阵A的行(列)向量组线性相关，也即秩r(A)＜n，从而将(2)、(3)的讨论对象进行类比推理，并对(3)中方程组所对应的的系数矩阵B进行初等行变换，也可得出(3)有非零解的判定定理，即(3)有非零解的充要条件为r(B)＜ n。

例2中类比推理经历了“一般→特殊→一般”的过程。

例3:计算行列式

分析:由D的形式受到启发，通过类比，联想到下三角行列式，但第一行不符合下三角行列式要求，于是尝试转化，将D拆分成两个行列式的和:

记上式右端第2个行列式为Δ，可将Δ化为上三角行列式:

从而D转化为一个下三角行列式和一个上三角行列式的和。

由例3可以看出，类比推理恰是确定化归方向，实现化归的一把钥匙。

例4:普通矩阵运算→分块矩阵运算

分块矩阵中的每一元素均为子块矩阵。形式上，分块矩阵与普通矩阵很类似。讨论分块矩阵运算时，凭“数感”，我们应与普通矩阵运算进行类比推理，然后再一一去论证。

(二)内容(功能)类比

数学的类比推理主要是内容(功能)类比。内容类比实际上是讨论类比对象间的深层次联系，因而更具有复杂性和创造性。线性代数教学中，内容类比不仅有利于梳理和巩固知识(特别是复习课教学)，而且有利于学生接受新知识，培养学生的创造能力。下面也举例说明:

例5:余子式(代数余子式)→k阶子式→顺序主子式

由教材［3］知余子式(代数余子式)属于第一章中行列式计算的内容;k阶子式属于第二章中矩阵的秩的内容;顺序主子式属于第五章中正定二次型的内容。教学时，余子式(代数余子式)、k阶子式、顺序主子式不仅可以进行形式类比，更应该进行内容类比;不仅在新课讲授时进行类比，而且在复习课中也应进行类比。这三者在内容类比推理中两次经历了“一般→特殊”的过程。

例6:矩阵等价→矩阵相似→矩阵合同

矩阵理论中，矩阵等价关系、相似关系、合同关系是指:

(1)A和B等价存在可逆矩阵P和Q，使得B=PAQ;

(2)A和B相似存在可逆矩阵P，使得B=P－1AP;

(3)A和B合同A，B均为对称矩阵，秩r(A)=秩r(B)，且存在可逆矩阵P，使得B=PTAP。

矩阵相似和矩阵合同均为矩阵等价的特殊情形，且矩阵相似不一定矩阵合同，矩阵合同也不一定矩阵相似，但存在两矩阵既相似又合同的情形。因此，类似于例5的分析，我们应深入进行内容类比推理，得出这3种关系的类同点和相异点，使学生有较为清楚的认识。

例7:向量组的线性无关性→向量组的秩→线性空间的维数

向量组的秩即向量组的极大线性无关组所含向量的个数。线性空间的维数即线性空间的任意一个基所含向量的个数。向量组的极大线性无关组这一概念与线性空间的基的概念是对应的。将向量组的线性无关性，向量组的秩，线性空间的维数进行内容类比推理经历了“一般→特殊→一般”的过程。

二 运用类比法进行线性代数教学时应注意的问题

类比是最活跃、最基本的一种推理形式，它具有跳跃性和可靠程度低两个特点［4］。因而，线性代数教学中进行类比推理时，应注意如下两个方面的问题:

(一)类比必须合情合理

由于类比具有一定的跳跃性，因此，类比推理时不能天马行空，凭空想像，应合情合理，仔细比较两个类比对象的异同点。一般说来，两个类比对象的相似属性越多，且相似属性的关系越紧密，由此类比得出其它属性具有一定相似性的可能性更大，可靠度更高。线性代数教学中，除第1部分所举的7个例子外，可进行类比推理的知识点还是挺多的，但这给教师提出了较高要求，毕竟教无定法，教无止境，真正做到触类旁通不是一件简单的事情。

(二)类比推理所得结论应严格证明

由于类比推理与主体的知识内涵，教育背景，抽象概括能力以及类比对象的差异等因素关系密切，因而，类比推理往往具有复杂性和不可靠性。数学是崇真尚美的学科，追求真善美的统一，类比推理所得结论正确与否必须经过严格的推理证明。

总之，线性代数教学中，我们应潜心观察，灵活处理教材，熟练运用类比法以提高教学效率，培养学生的创造能力，实现“教学相长，教学双赢”的目标。

［1］史久一，朱梧槚．化归与归纳·类比·联想［M］．大连:大连理工大学出版社，2008．

［2］王儒芳，李 红．表面相似性类比推理问题解决中的情感效应［J］．宁波大学学报(教育科学版)，2005(2)．

［3］刘金旺，夏学全．线性代数［M］．第3版．上海:复旦大学出版社，2009．

［4］袁希娟，龚 耘．浅谈类比法［J］．河北理工学院学报(社会科学版)，2003(1):84 －88．

G642．0

A

1674－5884(2011)10－0076－03

2011－07－18

湖南省教育科学“十一五”规划重点项目(XJK08AGD004);湖南省教育厅教改项目(20083263);湖南省教育厅《线性代数》精品课程资助项目(湘教通［2009］252);湖南工业大学教学改革研究基金资助项目(2010D31)

张启明(1974－)，女，湖南涟源人，副教授，博士研究生，主要从事微分方程及动力系统、图论及其应用、高等数学教学与研究。

(责任编校 谢宜辰)