双筋矩形截面混凝土墩柱的开裂前沿简化计算

彭建中 叶 永

（1.东莞城建规划设计院，广东 东莞 400074；2.三峡大学 水利与环境学院，湖北 宜昌 443002）

自1971年美国San－Fernando地震爆发后，延性抗震设计理念越来越受到工程界的重视，延性抗震设计方法已被许多桥梁抗震规范采纳.1998年颁布的欧洲规范8第二部分结构抗震设计（EUROCODE 8，Design of structures for earthqua－ke resistance－Part II，Bridges）［1］、2006年6月颁布的美国加州运输部抗震设计标准v1.4版（CALTRANS Seismic Design Criteria，Version 1.4）［2］、2002年日本道路协会颁布的《道路桥示方书·同解书V抗震设计篇》［3］以及2008年我国交通运输部颁布的《公路桥梁抗震设计细则》（JTG／T B02－01－2008）［4］等桥梁抗震规范都是采用基于延性的抗震设计方法.

根据钢筋混凝土墩柱构件的受力特点，墩底截面的受力变形过程能够反映墩身各截面的受力变形情况，并且墩底截面属受力最不利位置，故计算中需要对此进行强度计算，国内外一般都采用墩底截面的弯矩曲率分析来对墩身有效截面抗弯刚度进行分析，从而对整个混凝土墩进行开裂机理研究.特别对于桥墩延性抗震计算，其抗弯刚度应按其有效截面抗弯刚度计算，即利用桥墩在某一固定轴压力作用下的墩底弯矩－曲率曲线变化来反映墩底截面受弯矩作用后的截面刚度变化情况.而目前有效截面抗弯刚度的计算主要通过桥墩的屈服弯矩和对应的等效屈服曲率的比值进行，显然与实际结果相差较大.

1 ΔP概念的提出

对实际结构进行分析和计算，往往需要根据研究对象提出力学模型［5－6］.例如，在弹性范围内，某一特定的矩形双筋混凝土墩柱构件，在已知水平力和已知轴压力共同作用下，考虑混凝土抗拉强度，墩柱构件中开裂截面的受拉区混凝土的开裂临界点为0，即开裂前沿的位置为0，建立图1所示力学模型.

图1 钢筋混凝土墩柱截面及受力模型

图1中截面高度为h；εt、εp与εc分别为截面受拉区的应变、受压区边缘的应变与受拉区混凝土的最大应变.受拉钢筋的拉力Nst、受压钢筋的压力Nsp、受拉区混凝土的拉力Nct以及受压区混凝土的压力Ncp分别为:c为截面中性轴至受压区边缘的距离，即混凝土受压区高度；c1为截面中性轴至受拉区混凝土开裂边缘的距离.

图1中a点为混凝土中性轴位置，0点为开裂前沿，也为混凝土开裂状态的临界点.在不考虑混凝土抗拉强度时，墩柱构件的中性轴和受拉区混凝土的开裂前沿曲线重合.

在弹性范围内，不考虑混凝土抗拉强度，在其他条件不变的情况下，增加墩顶轴压力ΔP，使中性轴的位置刚好在考虑混凝土抗拉强度时混凝土开裂状态的临界点0.如图2所示.

图2 不考虑混凝土抗拉强度增加轴力ΔP截面受力

图2中受压区混凝土的高度为c′，根据“三段式理论验证”［7］可知，增加轴压力ΔP可以有效的抑制截面的开裂、缓解刚度退化.因此，在与考虑混凝土抗拉强度的同等条件下，某一任意开裂截面总可以找到一个轴压力ΔP，使其中性轴的位置刚好在考虑混凝土抗拉强度时开裂截面受压区混凝土开裂状态时的临界点0，此时，ΔP的值等效为混凝土抗拉强度的值，其ΔP（z）沿墩身分布的函数表达式为混凝土抗力的等效表达式.因此，本文以三段式简化理论为依据，转化为寻求ΔP（z）沿墩身的分布函数表达式来等效混凝土抗拉强度的表达式.

根据不考虑混凝土抗拉强度时中性轴的分布，而假想出增加轴压力ΔP（z）后开裂截面中性轴沿墩身近似分布，如图3所示.

图3 受拉区混凝土开裂前沿分布

2 ΔP等效表达式的推导

在弹性范围内，双筋混凝土矩形桥墩构件在墩顶增加沿墩身分布函数ΔP（z），使不考虑混凝土抗拉强度开裂前沿函数曲线与考虑混凝土抗拉强度时开裂前沿的函数曲线重合或者接近，此时，函数ΔP（z）为混凝土抗拉力函数的等效表达式.本文运用三段式理论，把考虑混凝土抗拉强度时的开裂前沿函数曲线也分为3段，不断假设ΔP（z）的表达式，使ΔP（z）函数的表达式等效于混凝土抗拉力的函数表达式.

在同等条件下，不考虑考虑混凝土抗拉强度，按照三段式理论基础，在墩顶增加沿墩身分布的轴压力函数曲线ΔP（z），使得原来的构件全截面刚度段与开裂截面段的分界点z0增大到.此时到墩顶部分为全截面刚度段.

在弹性范围内，考虑混凝土抗拉强度，墩柱受到已知水平力F和墩顶轴压力P时，在某一高度H刚好为混凝土开裂状态的临界点.

图4 考虑混凝土抗拉强度墩柱受力

如图4，根据材料力学，可知此时临界点A的应力为混凝土抗拉强度的设计值［σ］，此处A点的应力为轴压力P和水平力F所产生的合应力，即

式中，Ic为横截面对中性轴c的惯性矩；y为所求应力点的横坐标.

在弹性范围内，不考虑混凝土抗拉强度，在混凝土抗拉强度水平力F和墩顶轴压力P＋ΔP的作用下，与考虑混凝土抗拉强度时的同一高度H处也恰好是混凝土开裂状态的临界点（如图5所示）.根据材料力学可知，该临界点A的合应力为0.

图5 增加等效ΔP时墩柱受力图

临界点A处的应力为轴压力P＋ΔP和水平力F所产生的合应力为0，即

联立式（1）、（2）可解得全截面不开裂段需增加的等效力:

通过式（3）可以看出，全截面不开裂所产生的ΔP与墩高无关，不随着墩高的变化而变化，对于给定截面尺寸、材料等基本属性的双筋混凝土墩柱构件，ΔP（z）为常数.

第二段混凝土构件开裂段，考虑混凝土抗拉强度与不考虑抗拉强度时各截面开裂前沿位置相差较大，此段的等效表达式可以用以下方式.

式中，不考虑混凝土抗拉强度时，z1为全截面受压段的高度坐标，z3为三段式中最小刚度段的高度坐标.

第三段最小刚度段，考虑混凝土抗拉强度与不考虑混凝土抗拉强度时混凝土开裂前沿位置相差比较接近，且相差变化值变化不大，且两者在此段的截面刚度相差值也较小，根据最小控制法，此段等效ΔP（z）为

由式（3）、（4）、（5）可得ΔP（z）等效表达式为

式中，ΔP（z1）、ΔP（z3）为上下两阶段的等效值.

3 计算实例

本文设计一个实例，根据本文内容介绍，墩柱不考虑混凝土保护层厚度对计算结果的影响.截面高度h为27cm，宽度b为45cm，保护层厚度hc＝2.5cm，墩高H为1.8m，设计轴压比μ为0.1，构件采用C30混凝土和HRB335钢筋，墩柱纵筋率ρ为1.27%，配箍率为0.7%，纵向钢筋采用Φ14带肋钢筋，箍筋为Φ8光圆钢筋.为便于分析计算本文假设墩底首次屈服发生在墩底受拉钢筋处，认为屈服应变ε为0.002，混凝土拉破坏应变为εc＝0.000046.

根据《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》（JTJ D62－2004），查出C30混凝土抗压强度设计值为fc＝13.8MPa，弹性模量Ec＝30000MPa；HRB335钢筋的弹性模量Es＝200000MPa，

根据轴压比定义，求解轴向压力P＝μfcbh＝167.67kN，根据纵筋率定义，求解与混凝土弹模相同的纵筋换算面积As＝ρbhEs／Ec＝0.0103m2.在不考虑混凝土抗拉力时，墩底首次屈服时墩底所能承受的最大弯矩值Mmax＝78.746kN·m和最大水平力Fmax＝43.748kN，计算简图如图6所示.

图6 墩身截面开裂前沿的分布曲线

在三段式计算原理上，在各段增加ΔP而得出各个截面的中性轴，如图7所示，考虑混凝土抗拉强度的双筋开裂截面墩柱的中性轴位置确定［8］的计算法与本文简化计算的方式对比可知两者相对误差较小.

图7 开裂前沿分布比较图

4 结 语

本文基于两个基本假设，以一个实际悬臂钢筋混凝土桥墩为例，运用材料力学的基本原理，依照三段式简化模型的思路，用ΔP等效简化式来求解考虑混凝土抗拉强度的桥梁墩柱截面中性轴位置和墩柱弯曲位移.通过对ΔP等效简化后计算出的曲线与本文通过迭代法计算出的曲线基本吻合.

本文推导是在“三段式”思想理论的基础上推导，本简化计算公式只是针对双筋矩形截面的墩柱，并不适用于四面布筋和圆形截面的墩柱整体刚度计算，需要今后进一步分析推导.在三段式的基础上运用本文理论能够得到对后期截面刚度的简化计算以及墩柱墩顶位移的简化计算.

［1］CEN.Eurcode8－Design Provisions for Earthquake Resistance of Structures，Part2:Bridges［M］.Committee European De Normalization（CEN），1998.

［2］California Department of Transportation（CALTRANS）［M］.Seismic Design Criteria，Version1.4.California，2006.

［3］日本道路协会.道路桥示方书·同解说，V耐震设计篇［M］.东京:平成14年3月.

［4］重庆交通科研设计院.JTG／T B02－01－2008.公路桥梁抗震设计细则［S］.北京:人民交通出版社，2008.

［5］Ye Yong，Yang Xinhua，Chen Chuanyao.Experimental Researches on Visco－elastoplastic Constitutive Model of Asphalt mastic［J］.Construction and Building Materials，2009，23:3161－3165.

［6］Ye Yong，Yang Xinhua，Chen Chuanyao.Viscoelastoplastic Constitutive Model for Creep Deformation Behavior of Asphalt Sand［J］.J.Cent.South Univ.Technol.，2008，15（s1）:13－16.

［7］苗 宇.钢筋混凝土矩形桥墩开裂刚度理论初探［D］.重庆:重庆交通大学，2009.

［8］彭建中，郑 罡.考虑混凝土抗拉强度的开裂截面墩柱的中性轴位置研究［J］.三峡大学学报:自然科学版，2011，33（2）:53－55.