变静为动促进学生动态思考——记多媒体教学“形变积不变”

☆ 王小林

（重庆市万州区鸡公岭小学，重庆 404100）

我等几位教师曾面对一道平面几何证明题，百思不得其解，于是搁置一边。偶然读到了一本《数学分析》，看到了一种“动态思考”的方法，受到极大启示——再拿原题来想，能否把其中的某部分转动一下呢？于是试着把其中一个三角形旋转，与另一个三角形组成新图，结果发现了全等关系，很快完成了证明，心中好生喜悦！不但破了一道难题，而且学到了一种非常规的思考方法，感悟到静态思考的局限性和动态思考在解决问题中的奇妙作用，于是激发起自己培养学生“动态思考”求解问题意识的教学激情。

过去受到教学设备的限制，对学生这方面的培养和训练难以展开。有了多媒体技术后，方显如鱼得水，更产生了兴趣。于是积极开展“多媒体技术在数学教学中的有效应用”的实验。力求根据教学内容合理使用多媒体技术，充分利用多媒体的动画功能，使静态的数学问题的解决思路实现动态呈现，不仅为强化“双基”，更想“冲击”小学生静止地看待、思考、解决问题的思维定势，建构“动态思考”模式。现结合人教版第九册“多边形的面积”的教学介绍如下。

一、教学过程回顾

1.等底等高等面积——新课孕伏

一层，初学“平行四边形面积”时，在引导学生通过数方格、割拼等方法探索面积计算方法的过程中，感受平行四边形的底、高与长方形的长、宽分别相等，则面积相等。

二层，在学生测量和计算的过程中体会等底等高的平行四边形面积相等，为渗透“动”的观点，教师用动画（如图1） 演示高h和平行四边形EFGH都沿着两条平行线滑动，在动态中强化这一关系。

图1

三层，结合“三角形面积”的学习，进一步突出“等底等高的三角形面积相等”。先让学生通过计算自己感受“规律”（如图2）。这两个三角形的面积怎样？你想到什么？”。再从动的角度领会规律（如图3），动画演示高h沿着两条平行线滑动,说明规律；再使△DBC的D点沿着所在直线滑动，在“咝咝”的伴音中△DBC逐渐变形并与其余三角形完全重合，此时学生确信只要底、高不变面积始终不变，并直观感受到了“动态变形”的过程形象。经过巩固练习，到“梯形面积”学习之前，平行四边形和三角形中的“等底等高，等面积”的规律形成了概念，为下一步教学筑好了“出发阵地”。

图2

图3

2.形状变化积不变——构建认知

一层，求平行四边形BCEF的面积（如图4）。学生利用等底等高的关系试算后，教师用动画使平行四边形BCEF平移变形、重合。突出了“形变积不变”的成象及成因。

图4

二层，求两个阴影三角形的面积和（如图5）。学生经过观察、作图、思考。有的想到了用分割的方法解答，教师用动画演示验证了分割法——空白部分与阴影部分的面积相同，则阴影面积是长方形面积的一半；追问：有别的想法吗？学生观察思考了好一会，终于有学生说：能不能向前面⑷题那样移动，把阴影三角形拼在一起呢？想得好！教师及时用动画（如图6）演示，学生们清楚地看到，一个三角形的一个顶点顺所在边移动，两个三角形“揉捏”成了一个大三角形，但是每个三角形的底和高始终未变，所以“揉捏”成的大三角形的面积就是原来的阴影面积，于是巧解:12×8÷2。

图5

图6

三层，结合“梯形面积”的学习深入训练。如图7，求阴影部分的面积。学生试解此题，多数学生用梯形面积减去三角形面积的方法（静态思维在头脑中根深蒂固,动态思考的构建尚需时日），只有极少数学生直接用“20×25÷2”，教师大加赞赏。在学生介绍思路后，用动画演示（如图8）。学生看着动画的演示，口中“啧、啧”有声，“动态思考”在学生头脑中开始扎根。

3.动态思考解问题——尝试应用

结合“多边形面积”的学习，在综合练习中进一步要求：观察思考，用不同的方法解题，方法巧妙者把图形画出来，如果做对，打A＋。学生在下面各题的解答中表现出灵活性，“动态思考”在学生的头脑中逐渐成长。

如图9题梯形中的A、B两部分的面积大小怎样？如图10、图11求图中的阴影面积。

这些题都可用不同思路解答，在肯定正确的基础上让学生着重说明“变形”的方法。图9列式为（80－2－3）×30；图 11列式为 6－1.5）×2÷2，是这一方法的直接表达式。

其中图9只需阴影部分顺平行线平移即可，图10需其中一个最大三角形的一个顶点沿梯形的上底移动揉捏变形，与另一个大三角形重合，反映出A、B面积相等；图11中的一个三角形既要整体平移，也要“揉捏变形”与另一个三角形合成一个大三角形，可见对这一类问题思维要求较高，由于多媒体的介入，教与学都觉较易。

再看思考题（如图12），直角梯形的面积是96平方厘米，E、F两点分别是两腰的中点，请算一算阴影部分的面积和。学生独立思考，困难极大，部分学生用割拼的方法解答，少数学生能用“旋转”的方法，于是教师用动画（如图13）验证，变形过程一目了然。

4.辛勤耕耘终结果——初见成效

“多边形的面积”学习结束，在单元质量检测时，我加了一道选作题（如图14）：已知两条平行线间的距离是3m，求平行四边形与三角形的面积和。结果两个班各有二十几位学生（如图 15）解答，巧列式为（1.2＋0.8＋1.2）×3÷2

图14

图15

无独有偶，在期末的质量检测中，出现一题（如图16），梯形中有一个最大的正方形，求图中阴影部分的面积。我班约56名学生动态思考，列式为：（6＋8）×12÷2。其余班级学生大多是常规思考，列式为：（12＋6＋8＋12）×12÷2－12×12。两种方法反映出计算的“简”与“繁”和思维的“动”与“静”的差别。

图16

二、反思其喜与忧

1.利于建构动态思维模式

世界是永恒运动着的物质世界。要反映物质运动的速度、方向、位置、相互关系，需要数学去研究。数学思维有其内在的逻辑的严谨性，必须引导学生学习、掌握、运用逻辑推理的方法，去进行环环相扣的思考。同时在研究、解决物体的运动问题——天体之谜、火箭之速、卫星之轨及物体内部的形变问题等，离不开动态地思考。需要从小对学生进行动态思考的教育。那么如何开展这方面的教育呢？笔者以为，可以充分利用多媒体技术直观演示——把静态材料加工、变式、变形、动态重组为简化的与原问题等值的新问题的过程，促使学生感知动态思考的形象、建立表象、不断调整认知结构、插补动态思考模式、逐渐丰富问题解决的策略系统。

“动态思考”属于形象思维，学生有了这种思维认知后，看到相关问题，自然会在脑中产生表象，“动态思考”加工图形，得以问题解决。如果从平面问题到立体问题坚持这样教学、训练，对培养、提高学生的空间想象力来讲，定会大有益处。

2.利于建构转化思想方法

转化思想是重要的数学思想之一。这种思想的建立，必须在长期的教学中、在各种教学材料中逐渐渗透，润物细无声。“形变积不变”的教学内容是极好的载体，便于教师充分发掘其中“动”的思维因素；多媒体技术是强有力的手段，动画的变形演示形象直观地凸显了“转化”的过程，不仅是化难为易解决数学问题，更重要的是通过“变形”、“重组”、“解决”的过程促使学生构建“转化”的思想。

3.是否与教改精神相悖呢

新“课标”要求教师积极引导学生自主学习、探究、发现、建构新知。这在大量的基础知识、基本规律的探索教学中是完全可行的。但对于有些知识难点、知识条理性的整理以及学生可借鉴的生活原型及知识储备缺乏的内容还得依靠教师及时介入。象这种“动态变形”来讲，学生确实难以搜索到可借鉴的生活原型及方法经验，不可能突发奇想，自主发现这种思维方式。

尽管学生已有了“平移”和“割拼”的经验（还未学“旋转”），但稍加分析即可发现，这些经验有很大的局限性——平移时，纯粹是整个图形位置移动；割拼时，往往是某个图形的部分被分割，这个部分也是整体移动，这些变化都不会把原图进行“揉捏”变形。对于揉捏式变形学生暂时没有直接借鉴的基点，必须教师发挥主导作用，以有效的手段，逐渐渗透这种动态思考模式。如前所述，从平行四边形的高沿顺底边滑动、整个图形在高不变的条件下揉捏变形开始，到用这种方法求阴影面积；学生通过首次感受、初步应用、问题解决，思维在波浪式推进。

首次出现这种变形过程，肯定要教师一边演示，一边启发学生观察、感受过程，那么，这时让学生听讲与看多媒体演示是否与教改精神相悖呢？笔者不免有些诚惶诚恐。

我想，目前依然存在着“接受式”与“发现式”等学习理论。在教学实践中，它们都应有“用武之地”。“教改”要求把学生置于学习的前台，旨在培养探究意识，也是对传统的“填鸭式”、“满堂灌”的矫正，但不会完全否认“接受式”学习方式，特别是那些无法通过探究发现的知识与方法，教师不教咋办？对于学生相对静止的思维定势不破则不立，多媒体岂不是“破”与“立”的快捷适用的工具？这样一想，便心中稍安！