赋予标准高斯测度的有限维空间的平均宽度

韩永杰，陈广贵，李 超

（西华大学 数学与计算机学院，四川 成都 610039）

赋予标准高斯测度的有限维空间的平均宽度

韩永杰，陈广贵，李 超

（西华大学 数学与计算机学院，四川 成都 610039）

本文讨论了赋予标准高斯测度的有限维空间Rm在lmq空间上的p-平均Kolmogorov n宽度，并得到了其精确阶.

平均宽度；高斯测度；有限维空间

1 引言

设X是赋范线性空间，W是X的子集，如果L是X的子空间，则称

为集合W到L的偏差，其中

是x到集合L的距离.对于自然数n，我们称

为集合W在空间X中的Kolmogorov n-宽度，其中Fn是取遍空间X中所有维数不超过n的子空间.关于Kolmogorov n-宽度的有关详细信息，可见文献[1].

假设W中所有的开集构成一个Borel域B，并赋予B一个概率测度μ，即：μ是定义在B上的c-可加非负的集函数，且μ(W)=1.令ζ∈[0,1]，n=1,2,……，0＜P＜∝，则分别称

为Kolmogorov(n,ζ)-宽度和p-平均Kolmogorov n-宽度.其中Gδ取遍B中所有测度不超过ζ的集合，而Fn是取遍空间X中所有维数不超过n的子空间.

Maiorov在[2]中讨论了有限维空间Kolmogorov (n,ζ)-宽度.本文继续Maiorov的工作，讨论赋予标准Gaussian测度的有限维空间的p-平均Kolmogorov n-宽度.为了叙述我们的结果，我们首先介绍一些概念和记号.

对于1:q:∝，在Rm上赋予范数

则它是个Banach空间，记为lmq.我们用v=vm表示空间Rm上的标准Gaussian测度，其定义如下：

其中G是Rm中的Borel集，并且满足v(Rm)=1.

定理A([2])当1≤q≤2时，对m≥2n和δ∈(0,1/2]，有

且上界估计只需要条件m≥n.

定理B([2])对m≥n和δ∈(0,1/2]，有

定理C([3])当2≤q＜∞时，对m≥n和δ∈(0,1/2]，有

2 主要结果

在本文中，我们用ci表示和q有关的正的常数，i=1,2,…….对正函数a(y)和b(y)，y∈D，当存在正的常数c1,c2，使得c1:a(y)/b(y):c2，我们记做a(y)≈b (y)；当存在正的常数c1，使得a(y):c1b(y)，我们记做a (y)≤b(y).本文的主要结果如下：

定理11＜P＜∝,m≥n

(1)若1:q:2,m≥2n，则

(2)若2:q＜∝，则

(3)若q=∝，则

证 先证(1).首先，我们给出dn(a)(Rm,v,lmq)p，1≤q≤2的上界估计的证明.根据Kolmogorov n-宽度的定义和定理A，对任意δ∈(0,1/2]，存在集合Gδ⊂Rm以及lmq中一个维数不超过n的线性空间L，满足v(Gδ)≤δ，且

我们得到了定理1中结论(1)的上界估计.

下面我们给出定理1中结论(1)的下界估计.当1≤q≤2，m≥2n时，根据Kolmogorov n-宽度的定义和定理A，对lmq空间中任意维数不超过n的子空间l，一定存在子集G⊂Rm,且v(G)≥1/2，使得对∀x∈G有

这样我们就得到了定理1中结论(1)的下界估计.

利用定理B和定理C，仿照结论(1)上方估计的证明，可以证明结论(2)和(3).定理1证毕.

〔1〕Allan pinkus,n-widths in approximation theory, Springer-Verlag,Berlin,1985.

〔2〕V.E.Maiorov,Kolmogorv's-widthsofthe spaces of the smooth functions,Russian Acad. Sci.Sb.Math.79(1994):265-279.

〔3〕Chen Guanggui and Fang Gensun,Probabilistic and average widthsofmultivariate Sobolev spaceswithmixed derivativeequipped with the Gaussian measure,J.Complexity 20(2004): 858-875.

O114

A

1673-260X（2011）05-0004-02