无穷直线上的 Hilbert边值问题解的稳定性

王荟敬,林峰

(华侨大学数学科学学院,福建泉州 362021)

无穷直线上的 Hilbert边值问题解的稳定性

王荟敬,林峰

(华侨大学数学科学学院,福建泉州 362021)

利用共形映射理论,当无穷直线发生光滑摄动后,讨论 Hilbert边值问题的解及其存在性和稳定性问题,并给出相应的误差估计.当边值问题的指标κ≥0时,方程有一般解且是稳定的;当边值问题的指标κ<0时,引进摄动拟可解的概念,讨论拟解的稳定性.

Hilbert边值问题;无穷直线;光滑摄动曲线;稳定性

1 问题的提出

设Ex是以X轴为对称轴,且包含X轴在内的带宽为ρ0的带形域.其中:X为σ平面的实轴;ρ0是一充分小的正数.设R是一个充分大的正数,E1={z|z=x+iy∶-R≤x≤R,-ρ0≤y≤ρ0}.

定义1[1]设f是定义在带形域Ex上的复函数,若在E1上,f(x)∈Hμ;在ExE1上满足

设a(σ),b(σ),c(σ)∈Hμ(Ex)是定义在Ex上的实函数,无穷直线上的 Hilbert边值问题(Ⅰ):要求一个在Σ+内全纯,在=Σ++X上连续的函数Φ(σ),使得

记B(ρ0)={ω|ω∈‖ω‖2<ρ0}.X轴经光滑摄动ω(x)后,得到曲线Xω,即Xω={ξ|ξ=x+ω(x),x∈X,ω(x)∈B(ρ0)}⊂Ex.由此易知,Xω仍为过∞的光滑曲线.

Σ+(Σ-)为平面内曲线X的上侧(下侧)开区域为σ平面内Xω的上侧(下侧)开区域,记Ω+=∩Σ+,Ω-=∩Σ-,Ω=Ω+∪Ω-.当X轴发生摄动ω(x)后,得到新的 Hilbert边值问题(Ⅱ):求在内的全纯函数Φω(σ),连续到=+Xω上满足

,则Hilbert边值问题(Ⅰ)转化为 Hilbert边值问题(Ⅲ):求在D+(Γ所围的内部区域)内的全纯函数Φ＊(z),连续到=D++Γ上,满足边值条件Xω映射成z平面上的近似于单位圆的闭曲线Γ,则Hilbert边值问题(Ⅱ)转化为Hilbert边值问题(Ⅳ):求在所围的内部区域)内的全纯函数连续到=+Γω上,满足边值条件

记f(σ)=f＊(z)=f(T-1(z)))[2].在下面的证明中依然使用此记法.

2 Hilbert边值问题(Ⅱ)的解

引理2[3]Hilbert边值问题(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ),(Ⅳ)的指标κ,κ＊,κω均相等.

引理3 在 Hilbert边值问题(Ⅲ)和 Hilbert边值问题(Ⅳ)中,记ζ=t+ρ(t),则有‖ρ‖2≤Cρ0.其中:‖ρ‖2如式(1)定义;‖ω‖2如式(3)定义.

由‖ω‖2=‖ω‖0+‖ω‖01+‖ω‖02<ρ0,可得|ρ″(t)|≤C1ρ0.综上,有‖ρ‖2≤Cρ0.

由引理3可知,Γω满足文献[2]引理1的条件.记f＊(Ψ(·,Γ))=·)是以下讨论中形式为的函数,则由文献[2]可知∈Hμ(1-ε)(Γ);f(Ψ(·,X))=fΨ(·).由文献[4]中的引理1.5.1可得,fΨ∈Hμ(1-ε)(X).另外,记F(·,Γω)=F(T(,Xω),则下面定理成立.

定理1(1)当κ≥0时,Hilbert边值问题(Ⅱ)有一般解.即

3 Hilbert边值问题(Ⅱ)的稳定性

定义2 假设Φ(σ),Φω(σ)分别是 Hilbert边值问题(Ⅰ),(Ⅱ)的解.当摄动项‖ω‖2→0时,若有‖Φω-Φ‖Ω+→0成立,则称 Hilbert边值问题(Ⅱ)的解Φω(σ)在集Ex上时是稳定的.

(1)κ≥0时解的稳定性证明.

证明 由引理3和文献[3]定理1的证明,可得

因为G＊(z)=G(σ),所以‖G＊‖Γ=‖G‖X.另一方面,由文献[2]中的定义可知

同理,可证明A(B＊)≤CA(B),‖P＊‖Γ=‖P‖X.所以有

推论1 任给ω∈B(ρ0),a(σ),b(σ),c(σ)∈Hμ(E),当κ≥0且σ∈Ω+=∩Σ+时,Hilbert边值问题(Ⅰ)的解Φ(σ)与 Hilbert边值问题(Ⅱ)的解Φω(σ)满足

(2)κ≤-2时解的稳定性证明.

定义3 对于 Hilbert边值问题(Ⅱ),当κ≤-2时,若

成立时,摄动拟可解.此时,称式(8)为它的拟解.类似于文献[2]的定理2和推论2,有以下结论.

定理3 任给ω∈B(ρ0),a(σ),b(σ),c(σ)∈Hμ(Ex),v∈(0,1),当κ≤-2时,Hilbert边值问题(Ⅱ)当且仅当式(8)成立时,摄动拟可解,拟解为式(8).此时,Pκ(σ)=0,且此拟解与 Hilbert边值问题(Ⅰ)的解满足

推论2 任给ω∈B(ρ0),a(σ),b(σ),c(σ)∈Hμ(Ex),当κ≤-2且σ∈Ω+=∩Σ+时,Hilbert边值问题(Ⅰ)的解Φ(σ)与 Hilbert边值问题(Ⅱ)的拟解Φω(σ)满足

[1]章红梅.王传荣.Riemann边值问题的解关于边界曲线的稳定性[J].福州大学学报:自然科学版,2001,29(1):1-4.

[2]ZHANG Hong-mei,WANG Chuan-rong,ZHU Yuan-can.Stability of solutions to hilbert boundary value problem under perturbation of the boundary curve[J].J Math Anal App l,2003,284(2):601-617.

[3]章红梅.无穷直线上的Riemann边值问题解的稳定性[J].数学研究,2005,38(4):394-397.

[4]路见可.解析函数边值问题[M].上海:上海科学技术出版社,1987:56-58.

[5]林珍连.某些调和单叶函数的稳定性及系数估计[J].华侨大学学报:自然科学版,2009,30(6):718-719.

(责任编辑:陈志贤英文审校:张金顺,黄心中)

Stability of the Solution of Hilbert Boundary Value Problem on Infinite Line

WANG Hui-jing,L IN Feng
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

App lying the know ledge of quasiconformal mapping theorem,we discuss the stability and existence of the solution of Hilbert boundary value problem on the infinitely line w hen the smooth perturbation of the infinite line occurs, and give the correspording error estimates.If the index of this problem is non-negative,the probcems have general stable solutions.For negative index we give a conception of quasi-solution and discuss its stability correspondingly.

Hilbert boundary value problem;infinite line;smooth perturbation curve;stability

O 175.8

A

1000-5013(2011)03-0352-04

2010-05-23

林峰(1962-),男,副教授,主要从事解析函数边值问题的研究.E-mail:lfeng@hqu.edu.cn.

福建省自然科学基金资助项目(2007J0183)