模糊因子综合评价的研究与应用

燕明辉

(大庆师范学院,黑龙江 大庆 163712)

1 模糊因子综合评价法的数学模型

1.1 一级模糊多目标评价数学模型的建立

设有域U={u1，u2，…，un}，V={v1，v2，…，vn}，其中U代表综合评判的各种因素所组成的集合，V代表评价所组成的集合，作模糊变换：

B=A∘R=(b1,b2,…,bm)

(1)

式中：

R：m×n阶模糊矩阵。

A：U上的模糊子集，权重集。

B：评价结果，论域上的一个模糊子集。

具体的评判的步骤如下：

1)对U中诸因素，用各种可行的办法发表做出评语集V中的单因素评判，进而得到一个实际上表示U、V之间模糊关系的模糊矩阵。

2)对因素集U中的诸因素，确定它们在被评判事物中的重要程度，即权重，且要求各因素的权重之和等于1。

3)利用模糊变换公式B=A∘R=(b1,b2,…,bm)作模糊变换[1]。

1.2 多级模糊多目标评价数学模型的演绎

1)演绎条件。将因素集U={u1，u2，…un}，按某种属性分成S个子因素集x1，x2，…xs，其中

xi={ui1，ui2，…uin}(i=1,2,…s)

(2)

满足：①n1+n2+…+ns=n；②x1∪x2∪…∪xs=U；③对任意的i≠j,xi∩xj=φ。

2)对每一个子因素集合xi分别作出一级多目标评价。若设评语集V={v1，v2，…vn}，且xi中各因素相对于V的权重分配时A={ai1，ai2，…ain}，若Ri为单因素评判矩阵，则可得一级评判向量

B1=A1∘R1=(bi1,bi2,…bim)(i=1,2,…s)

(3)

3)将每个xi看作一个因素，记K=(x1，x2，…xn)，这样，K又构成一个因素集，K的单因素评价矩阵就由一级评价向量组成。

(4)

每个xi作为U的一部分，反映了U的某种属性，可以按它们的重要性给出权重分配：

A=(a1,a2,…am)

(5)

从而可得二级模糊多目标评价：

B=A∘R=(b1,b2,…,bm)

(6)

如果每个子因素xi(i=1,2,…s)还含有不同类型的或不同层次的子因素，则可将x1再进行划分，类似于二级评价过程可得三级评价模型，以此类推四级和五级等模型[2]。为了用分数表示评价的结果，可以对分等级因素赋值，设赋值矩阵为：

(7)

则综合评价的结果为：

(8)

最后对被评价对象综合评价得到的结果进行排序。

2 因子分析的数学模型

2.1 因子分析的基本原理

因子分析的模型为：

X=AF+ε

(9)

假设：

1)F～N(0,Iq)；2)ε～(0,ψp×p)；3)F与ε相互独立，其中

X：X=(x1,x2,…xp)表示每个样本的P个指标且每个指标已经标准化；

F：F=(F1,F2,…Fp)表示公共因子矩阵；

ε：ε=(ε1,ε2,…εm)表示特殊因子；

Fj：表示由标准化的可观测评价指标分解出来的相互独立的公共因子。

(10)

其中

1)aij表示第i个指标xi与第j个公共因子Fj的相关系数；

2) A中第i行元素的平方和，称为xi的共同度：

(11)

2.2 因子评价

因子模型原始P个指标表示为n个公共因子与特殊因子的线性组合，因而公共因子能反映原始指标的内部依赖关系。有时需要用公共因子代表原始指标反映本情况，而公共因子是不可观测的。因此，要反过来将m个公共因子表示成p个原始指标的线性组合，即

Fi=βj1x1+βj2x2+…+βjpxp,j=1,2,…m

(12)

由上式来计算各样本的公共因子取值，即因子评价，进而用公共因子研究样本情况。上式中如果方程的个数m小于指标个数p,因此无法精确的将因子表示为原始指标的线性组合，只能进行估计[3]。估计因子得分的方法较多，最常用的是Thomson回归估计法，通过假定m个公共因子可以对p个指标作回归，由最小二乘法估计得出因子评价：

F=AR-1

(13)

其中，R-1为原始指标相关矩阵的逆矩阵；为因子载荷矩阵[4]。

因此，利用因子得分不仅可以知道被评对象的排序，而且还知道被评价对象在各个指标上的情况。

3 结语

1)提出了模糊因子综合评价的方法，不仅可以得到被评价对象的排序情况，而且还可以分析出被评价对象在哪些方面有优势和劣势。

2)本文的指标体系的合理性研究方法是可以建立一个合理的指标体系，用概率统计知识，对指标体系进行合理性评价，具有广泛的实用性。

[参考文献]

[1] 肖辞源．工程模糊系统[M]．北京：科学出版社，2004:170-220.

[2] 赵焕臣．层次分析法一种简易的新决策方法[M]．北京：科学出版社，1986:20-30．

[3] T．L．Saaty.Anlytical Hierachy Process[M]．New York:MoGraw-Hill,1980:12-13．

[4] 张尧庭，方开泰．多元统计分析引论[M]．北京：科学出版社，1982:200-230．