常用隶属函数在图像处理中的对比研究

孟庆柏， 赖惠成， 唐晓强

（新疆大学 信息科学与工程学院，新疆 830046）

0 引言

在图像处理过程中，将一个三维物体映射成二维时，会丢失部分信息；在图像处理中存在着一些模棱两可或模糊不清的概念，如边缘、边界、纹理等；在低水平图像处理的结果转换过程中，图像中会出现模棱两可和模糊不清的地方，因而，图像所具有的不确定性往往是模糊性。所以，近年来模糊集与系统理论已经被许多学者应用于图像处理的研究中。

边缘检测是图像处理、计算机视觉中最基础的内容，也是至今仍没有得到圆满解决的一类问题。模糊集理论是L.A.Zadeh[1]于1965年给出的,它是描述不精确或不确定问题的一种计算工具,用于研究信息系统中认识的不完善、不准确问题。图像所具有的不确定性往往是模糊性,自从1981年Pal和King[2]开始将模糊度理论引入图像处理领域,模糊度理论就被广泛应用于图像增强、阈值选取、图像边缘检测和图像的质量评价等方面的研究。模糊边缘检测主要利用模糊增强技术来增强不同区域之间的对比,并使得边缘细化,有利于准确定位边缘,从而能够提取出模糊的边缘。其缺点是计算要涉及变换以及矩阵求逆等较为复杂的运算。在模糊边缘检测中隶属函数的选取是十分重要的，它关系到如何将一幅图像转换到模糊域中。这里利用4种不同的隶属函数去对图像进行模糊化，将数字图像转换到等效的模糊特征平面上，并提取图像的边缘信息。

1 算法原理

1.1 数字图像的模糊化

计算机中的数据都是以二进制数形式存储的，图像也不例外。图像在计算机中存储、读取、识别、处理也是采用整数矩阵的形式。图像中每一个像素点的亮暗程度都对应着整数矩阵的一个数值，即形成像素点的灰度值矩阵，整数矩阵的每一个行列对应扫描图像时采样点的两个坐标，即图像像素点的位置。如果用I[3-5]描述一幅灰度级数为L、大小为M×N的灰度图像，其矩阵表达式为：

图像的模糊化就是将图像灰度矩阵转换到模糊集中形成模糊特征矩阵，把图像每个像素点的灰度值转换成具有相对于某个特定灰度级的隶属程度，这样用一个模糊值就可代表图像中某一部分的明暗程度。因此,模糊集合特征函数的取值范围是在0和1之间,以便表示元素属于一个给定集合的程度。

定义： 论域U中的模糊子集A,是以隶属函数u为表征的集合。即由映射u：U →[0,1],确定论域U的一个模糊子集A。u称为模糊子集的隶属函数, u称为U对A的隶属度,它表示论域U中的元素u属于其模糊子集A的程度。它在[0,1]闭区间内可连续取值,隶属度也可简记为A(u)。利用隶属函数u对式(1)进行转换可形成如下的模糊矩阵：

其中umn表示点(m,n)的灰度级xmn相对于某特定灰度级的隶属度。

采用4种不同的隶属函数[6]对图像进行模糊化。用这4种不同的隶属函数将图像模糊化的过程分别为：

(1)直线型隶属函数

其中 xmn表示原始图像像素点(m，n)的灰度值， xmax表示最大灰度值， xmin表示最小灰度值， pmn表示像素用直线型隶属函数映射到模糊集中对应的值， pmn∈ [ 0,1]。 u1mn表示像素用S型隶属函数映射到模糊集中对应的值， u1mn∈ [ 0,1]，u2mn表示像素用Z型隶属函数映射到模糊集中对应的值，u2mn∈ [ 0,1]，umn表示像素用∏型隶属函数映射到模糊集中对应的值， umn∈ [ 0,1]， xT是选择的阈值。阈值参数 xT是通过Otsu算法计算所得。

1.2 图像的边缘检测

图像的边缘检测[7]方法很多，采用Canny算子法[8]进行图像的边缘检测，Canny算子具有较好的边缘检测性能和抗噪声性能，它能够得到单像素宽的边缘，且得到的图像边缘较完整，取得了令人满意的边缘检测结果。

2 实验结果及对比分析

2.1 实验结果

实验在Matlab7.0环境下实现，分别对经过4种不同的隶属函数进行模糊化后的房子图像、轮胎图像和Lena图像进行边缘检测,并且对各种方法进行对比分析。

其中图1(a)、图2(a)、图3(a)是用直线型隶属函数，图1(b)、图2(b)、图3(b)是用S型隶属函数，图1(c)、图2(c)、图3(c)是用Z型隶属函数，图1(d)、图2(d)、图3(d)是用∏型隶属函数对三幅图像分别进行模糊化后并进行边缘检测的结果。

图1 对房子图像进行对比分析

图2 对轮胎图像进行对比分析

2.2 实验结果分析

从上面的实验结果可以看出：图1是对房子图像进行对比，该图中水平方向，垂直方向和斜方向的边缘比较丰富。图1(a)的边缘检测效果较好，房子的窗户轮廓清晰，所检测到的边缘较细，边缘信息丰富。图1(b)能大体检测出图像的边缘信息，但是在窗户的细节上不如图1(a)效果明显。图1(c)中房子的烟囱的边缘没有能很好的检测出来，且窗户出现了一些伪边缘，检测效果不是很理想。图1(d)检测到的边缘很完整，但是在某些细节上不如图1(a)细腻如烟囱。从图1中各图可以看出，每一幅图都能较好地完成边缘检测，图1(a)检测的效果要比其它三幅图好。一幅图像中水平方向、垂直方向和斜方向的直线型的边缘较多，建议选用直线型的隶属函数模糊化。

图2是对轮胎图像进行对比，该图像中曲线型的边缘比较丰富。图2(a)能大体检测出图像的边缘，但是检测效果不是很理想，直线型边缘还是能很好地检测出来。图2(b)和图2(c)对弧线型的边缘检测效果特别好，很明显它们的检测效果要比图2(a)好，S型和Z型的隶属函数是相似的所以它们检测得到的边缘相似，只是在细节上有点区别，例如在轮胎的中轴上，图2(b)比图2(c)更细。图2(d)检测到的效果也很不错，但是它检测到的边缘不是很细致，出现很多的虚假边缘。图 2(b)和图 2(c)检测的效果最好。一幅图像中曲线型的边缘较多，建议选用S型或Z型的隶属函数模糊化。

图3是对Lena图像进行对比，该图像中边缘类型比较丰富，有直线型边缘也有曲线型边缘。图3(a)对Lena图像的帽沿检测的效果很好，相比之下图3(b)和图3(c)对Lena图像的头发和眼睛等曲线型的边缘处检测的效果更好，图 3(d)在整体上检测到的边缘很丰富，它既能很好的检测出直线型边缘如帽沿部分，又能检测出曲线型边缘如头发眼睛等部位，但是它检测到的虚假边缘也比较多。一幅图像中边缘比较复杂，边缘类型比较多，建议选用∏型隶属函数进行模糊化。

3 结语

通过利用 4种不同的隶属函数对同一幅图像进行模糊化，将模糊化后的图像用Canny算子法进行边缘检测。通过对实验结果对比分析可得：图像中对于水平方向、垂直方向和斜方向的直线型的边缘以上4种方法获得的边缘检测的效果都很好。而对于曲线型边缘S型、Z型和∏型都能取得满意的效果。如果一幅图像中水平方向、垂直方向和斜方向的直线型边缘较多，优先选取直线型的隶属函数对图像进行模糊化，如果图像中曲线型的边缘较多优先选取S型或Z型的隶属函数对图像进行模糊化。如果图像中边缘比较复杂，边缘类型比较丰富优先选取∏型隶属函数对图像进行模糊化。

[1] ZADCH L A.Fuzzy Sets[J].Information and Control,1965(08)：338-353.

[2] PALS K,KING R A.Image Enhancement Using Smoothing with Fuzzy Sets[J]. IEEE Trans.Syst.Man,Cybern,1981,11(07)：494-501.

[3] 杨帆，汪林林，王佐成.一种新的多方向模糊形态学边缘检测算法[J].微计算机信息，2009,25(03)：299-301.

[4] 杨帆，汪林林，王佐成.自适应多方向模糊形态学边缘检测算法[J].计算机应用研究，2009，26(03)：1177-1179.

[5] 杜亚琴，郭雷，高世伟.基于模糊集的图像边缘检测算法[J].电子测量与仪器学报，2007,21(06)：22-24.

[6] 梁保松，曹殿立.模糊数学及其应用[M].北京：科学出版社，2007.

[7] 唐晓强，赖惠成.形态学结构元素选取算法研究[J].通信技术，2010,43(07)：163-16,203.

[8] 余萍，崔少飞，赵振兵，等.图像配准中的边缘提取方法的研究[J].通信技术，2008,41(06)：161-163.