幂等矩阵与秩幂等矩阵的充要条件

刘小川，何 美

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

幂等矩阵与秩幂等矩阵的充要条件

刘小川，何 美

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

满足A2=A的n阶方阵A称为幂等矩阵，它是矩阵环Mn（F）的一个幂等元；满足r（A）=r（A2）的n阶方阵A称为秩幂等矩阵。它们与空间的分解、不变子空间的研究有密切关系。利用线性空间的理论方法研究幂等矩阵与秩幂等矩阵的性质，分别得到与它们等价的一些充要条件。

幂等矩阵；秩幂等矩阵；矩阵的核；矩阵的列空间；矩阵的秩

1 预备知识

幂等矩阵及秩幂等矩阵与空间的分解、不变子空间的研究有密切关系，本文利用线性空间的理论方法研究幂等矩阵与秩幂等矩阵的性质，分别得到与它们等价的一些充要条件。

文中A表示数域F上的n阶矩阵，Fn表数域F上的n维列空间，E表示n阶单位矩阵，符号N（A），R（A），r（A）分别表示矩阵A的核空间，A的列空间，A的秩。若A2＝A，则称n阶方阵A为一个幂等矩阵，若r（A）＝r（A2），则称n阶方阵A为一个秩幂等矩阵。

引理1 Fn=R（A）+R（E-A）。

引理2 dim R（A）＝r（A）。

dim N（A）＝n-r（A）。

引理3 若A，E为n阶可逆矩阵，则存在n阶可逆矩阵P，使B=PA。

2 幂等矩阵的充要条件

定理1 设A是数域F上的n阶矩阵，则下列命题彼此等价：

（1）A2＝A （2）N（A）＝R（E-A）

（3）r（A）+r（E-A）＝n （4）Fn=R（A）⊕R（E-A）

证明 （1）⇒（2） ∀ξ∈N（A），Aξ＝0，

所以ξ=ξ-Aξ＝（E-A）ξ∈R（E-A）。

反之，∀ξ∈R（E-A），∃α∈Fn，使ξ＝（E-A）α，所以Aξ=A（E-A）α＝（A-A2）α＝0，故ξ∈N（A）。因此N（A）＝R（E-A）。

（2）⇒（3）由引理2得

r（E-A）＝dim R（E-A）＝dim N（A）＝n-r（A）。

故r（A）+r（E-A）＝n。

（3）⇒（4）由引理1，Fn=R（A）+R（E-A），又由于r（A）+r（E-A）＝n，得

n＝dim Fn＝dim（R（A）+R（E-A））＝

dimR（A）+dimR（E-A）-dim（R（A）∩R（E-A））＝

r（A）+r（E-A）-dim（R（A）∩R（E-A））＝

n-dim（R（A）∩R（E-A）），

故dim（R（A）∩R（E-A））＝0，

所以R（A）∩R（E-A）＝｛0｝，

从而有Fn=R（A）⊕R（E-A）。

（4）⇒（1）∀ξ∈Fn，A（E-A）ξ∈R（A），

（E-A）Aξ∈R（E-A），

而A（E-A）ξ＝（E-A）Aξ＝（A-A2）ξ，

所以（A-A2）ξ∈R（A）∩R（E-A）＝｛0｝，

故（A-A2）ξ＝0，因此A2＝A。

3 秩幂等矩阵的充要条件

定理2 设A是数域F上的n阶矩阵，则下列命题彼此等价：

（1）r（A）＝r（A2） （2）N（A）＝N（A2）

（3）Fn=R（A）⊕N（A）（4）A2＝PA（P为可逆矩阵）

证明 （1）⇒（2）显然N（A）⊆N（A2）。

又由于dimN（A）＝n-r（A）＝n-r（A2）＝dimN（A2），

所以N（A）＝N（A2）。

（2）⇒（3）显然R（A）+N（A）⊆Fn。

∀ξ∈R（A）∩N（A），则∃α∈Fn，使ξ＝Aα，且A ξ＝A2α＝0，所以α∈N（A2）＝N（A），故ξ＝Aα＝0，即R（A）∩N（A）＝｛0｝。

于是

dim（R（A）+N（A））＝dimR（A）+dimN（A）＝

n＝dimFn.所以Fn＝R（A）⊕N（A）。

（3）⇒（4）取R（A）的一个基η1，η2，…，ηr，N（A）的一个基ηr+1，…，ηn。则η1，η2，…，ηn为Fn的一个基，而且Aη1，Aη2，…，Aηr与A2η1，A2η2，…，A2ηr也是R（A）的两个基，并有Aηj＝A2ηj＝0，j＝r+1，…，n。

因为若k1Aη1+k2Aη2+…+krAηr＝0，

则A（k1η1+k2η2+…+krηr）＝0，

故有k1η1+k2η2+…+krηr∈N（A），

因此k1η1+k2η2+…+krηr＝kr+1ηr+1+…+knηn，

得k1＝…＝kn＝0，所以Aη1，Aη2，…，Aηr线性无关，从而是R（A）的一个基。

同理可证A2η1，A2η2，…，A2ηr也是R（A）的一个基。

现在分别任意添加n-r列Ar+1，…，An与Br+1，…，Bn，使n阶方阵

由此可得P（Aηi）＝PA（ηi）＝A2ηi，i＝1，…，r。

又PA（ηj）＝P（Aηj）＝0＝A2ηj，j＝r+1，…，n。

因此，对∀k，有PA（ηk）＝A2ηk，k＝1，…，n。

即PA（η1，η2，…，ηn）＝A2（η1，η2，…，ηn）。

令C＝（η1，η2，…，ηn），则C可逆，从而PAC＝A2C，因此A2＝PA。

（4）⇒（1）由于P可逆，故r（A）＝r（A2）。

定理3 设A是数域F上的n阶矩阵，λ1，λ2，…，λk是A的非零特征根。

则A是秩幂等矩阵⇔A的若当标准形为

Ji为对应于λi的若当块，即

证明 设A的若当标准形为J，则存在可逆矩阵P使P-1AP＝J.不妨设J中对应于非零特征根λ1，λ2，…，λk的子块分别为

从而有r（A）＝r（J）＝r（B）+r（C），r（A2）＝r（J2）＝r（B2）+r（C2）＝r（B）+r（C2）。因此，

若r（A）＝r（A2），可得r（C）＝r（C2），而由于C中的若

由以上证明可知，r（A）＝r（B）＝r（B2）＝r（A2）。

［1］张禾瑞，郝鈵新.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［3］张树青，王晓静.线性空间的幂等变换与对合变换的几个等价表示［J］.烟台师范学院学报：自然科学版，2004，20（1）：4-5.

［4］宿维军.幂等矩阵与幂等变换［J］.重庆文理学院学报：自然科学版，2008，27（2）：28-29.

［5］左可正.每个矩阵都能表成两个秩幂等矩阵之和［J］.湖北师范学院学报：自然科学版，2008，28（4）：19-21.

［6］卜长江，李娜，孙艳玲.矩阵线性组合幂等性及立方幂等性的一些结论［J］.哈尔滨工程大学学报，2009，20（12）：1458-1460.

〔编辑 高海〕

The Necessary and Sufficient Conditions for Idempotent Matrix and Rank-idempotent Matrix

LIU Xiao-chuan，HE Mei
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

A matrix of satisfying A＝A2is called idempotent matrix.It is an idempotent element of matrix ring Mn（F）.A matrix of satisfying r（A）＝r（A2）is called rank-idempotent matrix.They are closely related to decomposition of space and invariant subspace.Some properties of idempotent matrix and rank-idempotent matrix are discussed by using methods of linear space.The necessary and sufficient conditions for idempotent matrix and rank-idempotent matrix are given.

idempotent matrix；rank-idempotent matrix；kernel of matrix；column space of matrix；rank of matrix

O151.2

A

1674-0874（2011）01-0009-03

2010-11-26

刘小川（1964-），女，河北阳原人，副教授，研究方向：矩阵论。