郭彩霞
(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009)
特殊情形下线性模型异方差性的LM检验
郭彩霞
(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009)
考虑了特殊情形下具有异方差性的线性模型。首先导出了在模型中当异方差为线性函数时异方差检验的LM检验统计量及其性质,然后举例说明其有效性。
回归分析;异方差性;LM检验
通常的回归模型[1-3]都假设随机误差变量是独立同分布的。对参数进行假设检验通常的方法有:Wald方法,似然比方法,拉格朗日乘子法[4-10]。本文提出了当异方差为线性函数时异方差性检验的LM检验统计量,检验法,即拉格朗日乘子法。它的应用面很广。最后举例说明该方法的功效。
考虑如下线性回归模型:
响应变量Y=(y1,…,yn)T协变量Xi=(1,Xi1,…,Xip-1)T待估参数β=(β0,β1,…,βp-1)T随机误差ε=(ε1,…,εn)T协方差阵Σ的主对角元素(i=1,…,n)都大于零且不全相等,其余元素全为零。称模型(1)具有异方差性。
模型(1)是否具有异方差性即为如下统计假设检验:
σ2为误差独立同分布时的方差。假定具有如下形式:
其中σ(·)是一个可微函数,σ(α0)>0且σ′(α0)>0,α0和α=(α1,…,αq)T为待估参数,Zi=(zi1,…,ziq)T,q=1,…p-1为影响方差εi变化的因素。
此时对于模型(1),假设检验(2)又可表述为:
LM检验法是将零假设条件看成一个约束条件,通过对有约束的极大似然函数的一阶偏导数进行检验,对参数假设作出判断,记θ=(α0,α1,…,αq)T,=(θT,νT)T,ν=(β0,β1,…,βp-1)T,
考虑假设检验问题
H0∶hj()=0,j=1,…,k,k<p。
由(1)式可知,在备择假设H1下,Y关于参数的对数似然函数
定理1 记参数ν=(β0,β1,…,βp-1)′的极大似然估计为
若零假设H0成立,则的有约束极大似然估计H0近似于的无约束极大似然估计。令
即可得所求的LM检验统计量
根据王松桂[6]可以证明,当H0成立时,
模型:yi=β0+β1xi+ei,ei~N(0,)。其中xi由如下方式生成:xi=εi;ln(εi)~N(3,1),i=1,…,n.。具有形式:=σ2xi,i=1,…,n。选择样本容量n=20,30,40,50,60,70,80,每种不同的样本容量选择模拟重复1000次,由于异方差结构中仅含有一个未知参数,故由(7)可知,LM检验统计量的渐进分布为分布。对显著性水平10%,每次模拟计算相应的LM检验统计量的值,并与给定的显著性水平下的临界值相比,若该值大于临界值,则拒绝零假设H0,记录下1000次模拟中拒绝H0的次数的百分比。结果如表1:
表1 异方差结构的模拟结果
结果表明,当样本容量n≥40时,H0被拒绝的百分比大于或接近0.9。
故LM检验对n≥40是有效的。
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〔编辑 高海〕
LM Tests for Heteroscedasticity of Some Linear Models
GUO Cai-xia
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)
A general heteroscedastic regression model is considered in a special setting.In this model,the heteroscedastic function is a linear function.A LM test for heteroscedasticity is established at first.An example is presented to show the efficiency of the method.
regression analysis;heteroscedasticlty;LM tests
O212
A
1674-0874(2011)01-0005-02
2010-09-11
郭彩霞(1980-),女,山西左云人,硕士,助教,研究方向:泛函分析。