基于零化曲率变化率的微分几何制导律研究①

叶继坤，雷虎民，薛东风，李 炯，邵 雷

(1.空军工程大学导弹学院，三原 713800;2.空军工程大学理学院，西安 710051)

0 引言

随着非线性微分几何理论的发展［1］，尤其是Frenet坐标系的引入，基于弧长系的微分几何理论成为制导领域研究热点。文献［2－4］基于Frenet坐标系和虚拟导弹速度分别给出了弧长系下二维平面的微分几何制导曲率指令，相对于比例导引，微分几何制导律克服了比例导引［5－7］末端视线角速率发散的问题，末端过载变化平稳，但由于制导指令的获得是基于Frenet坐标，实际应用时需要将弧长域中得出的制导指令转换到时域中，不便于在现实拦截场景中应用。文献［8－10］利用微分几何理论得到系统模型，根据跟踪角度建立微分几何导引系统，并引入牛顿迭代算法对系统进行分析，最终得到了基于微分几何的广义比例导引，但该方法需要已知目标加速度及其方位的确切信息，在拦截机动目标时，这一要求不易达到。文献［11］提出一种新颖的基于目标运动轨迹渐开线的新的微分几何算法，该算法仅需要知道目标的轨迹信息，利用虚拟目标概念来决定导弹的轨迹渐开线，并以此跟踪目标的轨迹渐开线，从而实现拦截，但该制导律形式复杂，现实中目标轨迹渐开线求取也是一大难点。文献［12－13］基于Frenet坐标系将微分几何理论与李亚普诺夫稳定定理结合得到一种修正的鲁棒几何制导算法，该方法克服了传统比例导引律末段过载饱和缺陷，对机动目标拦截有较好的鲁棒性，但该制导律的形式过于复杂，需要信息量较大，在工程应用中受到限制。

为克服以往文献微分几何制导律推导过程的复杂性和实际应用的受限性，本文将针对有效打击机动目标，设计导弹制导律。首先根据导弹、目标位置及两者速度方向构成的空间拦截三角形，分析飞行器运动轨迹的切向量与弹道弧长的关系，基于零化导弹弹道曲率变化率的思想设计一种微分几何制导律，并给出制导指令的迭代算法;其次结合Lyapunov稳定性定理对微分几何制导律的稳定性进行证明推导;最后通过仿真验证分析所设计制导律的有效性。

1 弹目相对运动几何分析及制导律设计

弹目拦截的场景如图1所示。其中，M点代表导弹;T点表示目标;tt、nt分别表示目标运动的单位切向量和单位法向量;θt表示目标切向量与X轴的夹角;θts表示目标切向量与弹目视线的夹角;tm、nm表示导弹的单位切向量和法向量;θm表示导弹切向量与水平X的夹角;θms表示导弹切向量与弹目视线的夹角;ts、ns表示沿弹目视线的单位切向量和单位法向量;st、sm分别为目标和导弹运动的弧长量。将导弹运动的单位曲线弧长s作为自然参数，为方便分析，将图1中关系用图2表示。

图1 弹目几何关系示意图Fig.1 Geometry diagram of missile and target

导弹在运动的过程中，tm、nm构成导弹运动的Frenet标架，假设导弹和目标的速度为定值，导弹运动的曲线弧长sm与目标运动的曲线弧长st成一定的比例关系，即

式中 γ表示导弹与目标速度比。

根据图1中几何关系可知:

其中，弧长向量tLt可由基向量tt旋转θtα/2得到，即

其中，R为旋转矩阵，其具体表达式如下:

图2 弹目拦截几何关系图Fig.2 Geometry diagram of missile intercepting target

目标运动曲线弧长可表示为

式中 rt、θtα分别表示弧长st对应的曲率半径和目标单位切向量旋转角。

弧长Lt可表示为

当目标曲率趋近于零时满足式(9):

根据式(6)可知，弧长向量tLt的长度Lt是角度θtα的函数，当导弹M和目标T接近拦截点I的过程中，θtα接近于零，当目标的曲率接近零时可知:

根据图2中几何关系可得

在△TIM中，应用三角形几何知识有式(12)成立:

将式(12)变形可表示为式(13):

考虑到 γ ＞0，r＞0，st＞0，则，方程(13)的解如下:

其中，弧长st和θtα的关系可表示为

即

由式(16)可知，(r/st)是 θtα的函数，因此不能从式(4)得到精确解。将(r/st)取最大值，可由式(16)计算出θtα，以此来计算α。因此，通过式(17)迭代可计算出(r/st)的值:

将式(17)代入式(18)可求得导弹速度切向量表达式:

式(18)表明了导弹的飞行方向与目标速度运动方向和弹目视线方向的关系，根据式(17)、式(18)迭代计算可求出导弹每个时刻的速度切向量。由式(18)可保证每个时刻导弹的速度方向都调整指向拦截点I，随着弹目距离的接近，即r→0，导弹切向量的变化率趋于零值，从而使导弹的弹道轨迹曲率变化率趋近于零。

2 制导律稳定性证明

根据式(18)得到的方向可使导弹零化曲率变化率拦截目标，其表达式中向量关系可表示为图3。

图3 弹目切向量间关系图Fig.3 Geometry diagram of missile and target tangential relation

图3中，tm为导弹速度实际的向量为设计的导弹速度向量。OAC1表示当前时刻的拦截三角，OAC2表示根据设计的制导律，导弹与目标速度向量构成的拦截三角，在图3中导弹弹道倾角速度方向由C1向C2方向进行调整，以满足设计速度切向量变化的要求。

为验证该制导律的稳定性，取Lyapunov函数如式(19):

其中，θδ是导弹速度的切向量tm与制导律设计的理想速度切向量之间的夹角，即

式(22)中第一项可从下式进行求取:

微分式(23)可得

目标运动弧长对应的中心角度变化率可表示为式(25):

其中:

根据图1和图3中的角度关系可知:

将式(27)变形可得

将式(28)代入式(24)可得

因此，如果(r/st)已知，将其代入式(23)中，可根据式(30)求得(r/st)和 θtα的变化率:

其中:

式(30)变形可表示为

式(22)中，最后一项可表示为

因此，制导律曲率可设计为

此时 K ＞0，结合式(21)、式(30)、式(33)，能够使得，满足Lyapunov稳定定理，从而可保证设计制导律的稳定性。

3 仿真结果及分析

为验证所设计制导律的有效性，以某地空弹为仿真对象展开实验，将微分几何制导律(GN)、比例导引［6］(PN)和比例导引导弹制导控制一体化方法［14］(GC)进行仿真对比。考虑到实际自动驾驶仪存在延迟环节［14－15］，为与文献［14］参数保持一致采用一阶自驾模型，时间常数 τ=0.1 s。

设定导弹的初始位置为(0 m，0 m)，目标的初始位置为(0 m，10 000 m)，导弹初始速度为1 000 m/s，目标初始速度为400 m/s。导弹的初始弹道倾角为θm=95°，最大可用过载为25gn，目标的弹道倾角为θt=135°，目标机动的曲率 kt=0.000 645，其中 K=1，导弹采用GN、PN和GC分别进行仿真，比例导引系数取为3，结果如表1及图4～图7所示。

表1 拦截性能比较Table 1 Comparision of intercept proporties

图4 导弹攻击目标曲线图Fig.4 Simulation curve of missile attacking target

由表1可看出，面对大机动目标时，微分几何制导律的性能优于传统的比例导引法和制导控制一体化设计方法。由图4弹目拦截曲线可看出，在相同的初始条件下，相对于PN制导和GC一体化设计，微分几何制导律的弹道曲率较小，弹道弧长较短，缩短了拦截时间，能更早地对目标实施拦截。由图5和图6可知，对机动目标的拦截过程中，PN制导和GC一体化设计方法在命中点附近过载达到最大值，出现过载的激增现象，大大影响拦截性能，这主要是由于末端视线角速率发散引起的，而采用GN制导时，在初始拦截阶段，导弹过载调整较大，积极补偿目标机动对视线角速率带来的影响，随着拦截的进行，导弹过载变化平稳，末端视线角速率趋于零值，在命中点附近过载明显小于PN和GC一体化设计方法，这就避免了拦截末端出现过载激增现象。由图7弹道曲率随时间的变化曲线可知，相对于PN和GC一体化设计方法，GN制导弹道曲率幅值变化较小，末端曲率趋于常值，主要是因为导弹在飞行过程中，GN制导力求使空中的拦截三角几何形状保持不变，这使得视线角速率趋于零值变化，因此导弹末端视线角速率变化趋于平稳。

图5 导弹加速度随时间变化曲线Fig.5 Time history of missile acceleration

图6 视线角速率随时间变化曲线Fig.6 Time history of sight line rate

图7 导弹曲率随时间变化曲线Fig.7 Time history of missile curvature

4 结束语

(1)相对于比例导引和制导控制一体化设计方法，本文设计的微分几何制导律表现出良好的制导性能，其弹道曲率变化小、制导精度高、拦截时间短，克服了由于视线角速率发散导致的过载快速增大现象。

(2)本文制导律的研究基于导弹速度大于目标速度，且制导律中含有目标曲率项，当考虑现实防空反导中导弹速度小于目标速度，目标信息获取不精确等因素时，基于零化曲率和挠率变化率的思想，设计拦截高速高机动目标的三维制导律，是下一步研究的重点。

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