由“教材”到“学材”的创新构想

●甘 霖 (中峰镇中心学校 湖北竹溪 442300) ●魏祖成 (竹溪县教研室 湖北竹溪 442300)

数学例题、习题课教学是数学教学的重要组成部分，是学生理解、掌握和应用数学概念、法则、性质、定理的必要过程，是学生感悟数学思想方法、发展数学思维、培养创新意识和实践能力的必要过程.在初中数学例题、习题教学中，教师要根据学生需要，对教材中的“例题、习题资源”进行有效处理和二度开发，这好似大厨将“家常小炒”加工成“满汉全席”，色、香、味俱全才能让人吃得轻松、愉快.如何将“家常小炒”做成新鲜、可口、让学生爱不释手、垂涎欲滴的“满汉全席”?这就需要教师在钻研教材上下足功夫，充分理解教材例题、习题的设计意图，加以组合、整理、补充、延伸、拓展和变式，设计出学生喜欢的数学习题，培养学生内在的数学情感和智慧.

1 加一点“诱饵”，激发学习兴趣

人本主义教育家罗杰斯说过，真实的问题情境和活动是最能引起态度和个性情绪的学习方式.结合教材例题、习题的基本内容，配上一些符合学生特征的教学情景，使学生的情绪受到感染，利用情感对认知学习的引导作用，驱动、诱导学生的学习动机.

案例1 人教版数学七年级下册第26页第6题第(2)小题：如图1所示，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+ACE+∠CEF = ______度.

在教学时可创设情境，巧加“诱饵”——会跳舞的平行线，即将一根橡皮筋系在AB，EF同侧的2个端点上，手拿橡皮筋，改变手势和步伐，可得如下变式：

(1)勇往直前，势不可挡.如图2所示，AB∥EF，求证：∠ACE=∠A+∠E.

(2)平移一步，灵动跳跃.如图3所示，AB∥EF，求证：∠CAB=∠C+∠E.

(3)进而则移，婀娜多姿.如图4所示，AB∥EF，求证：∠E=∠A+∠C.

(4)前进两步，姿势优美.如图5所示，AB∥EF，求证：∠1+∠2=∠BCF-∠BDF.

(5)连续跳动，梦幻变化.

①如图6所示，AB∥EF，求证：∠1+∠2+……+∠n=(n-1)×180°;

②如图7所示，AB∥EF，求证：∠1+∠3=∠2+∠4;

③如图8所示，AB∥EF，根据②的证明猜想你发现了什么结论?

图1

图2

图3

图4

图5

图6

图7

图8

以上5个变式，通过创设问题情境，对课本习题进行创新再探，在保留原题设的前提下，重新创设问题情景，添加情景“诱饵”，将问题逐步引申、挖掘，深化题目的丰富内涵，对培养学生的学习兴趣大有裨益.

2 改一点“口味”，培养数学情感

蛋糕有香草、抹茶、红豆等多种口味，让人意犹味尽、回味无穷.同样地，在学习中学生喜欢多种不同“口味”的习题.教师在教学中要创造性地改编、引申教材中的例题、习题，给例题、习题换新颜，改口味，让学生在解题过程中体验挑战思维带来的喜悦，培养数学情感.

案例2 人教版数学九年级下册第32页第6题：如图9所示，用一段长30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，求矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

这是一道二次函数综合应用题，蕴涵了方程、函数及数学建模思想.从题目所给的条件、求解的结论、实际的情景、不同的方案等方面去归纳总结，可改编和设计出不同的问题，做到一题多变，既培养了学生运用各种思想方法解题的能力，又建立了知识之间的联系，有利于激发学生的学习兴趣和勇于探索的个性品质.对于该题可作如下“口味”的改变，编制出让学生“爱吃”的好题.

图9

图10

(1)墙长有无限制.

例1 如图10所示，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可利用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.

①求S与x的函数关系式.

②如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少.

③能围成面积比45 m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法;如果不能，请说明理由.

例2 利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地.①怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2;

②能否使所围矩形场地的面积为810 m2，为什么?

(2)中间有无隔栏.

例3 要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长足够长)，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆(长度为x m)的养鸡场.

①要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少;

②如果中间有n(n＞1)道篱笆隔墙，要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少;

③比较①②的结果，你能得到什么结论?

(3)面数是否变化.

例4 如图11所示，用长为18 m的篱笆(虚线部分)，2面靠墙围成矩形苗圃.

① 设矩形的一边长为x m，面积为y m2，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

②当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少?

(4)形状发生改变.

例5 如图12所示，某学校在绿化校园时计划利用矩形场地的一角，怎么利用边缘2边(不考虑第三边AB)才能使所建花圃的面积最大，并求出最大面积(精确到1 m2).

(5)设计最佳方案.

例6 某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60 cm的简易废纸箱，废纸箱的一面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其他的面用一张边长为60 cm的正方形硬纸板围成.经研究发现：由于废纸箱的高是确定的，所以废纸箱的横截面图形面积越大，则它的容积越大.

图11

图12

①该小组通过多次尝试，最终选定3个简便且易操作的截面图形(见表1)，根据这截面图形面积y cm2与x cm(见表1截面图形所示)的函数关系式绘制出图像，请你根据有关信息，在表1中空白处填上适当的数(式)，并完成y取最大值时的设计示意图.

②在研究性学习小组展示研究成果时，小华同学指出：图中“底角为60°的等腰梯形”的图像与其他2个图像比较，还缺少一部分，应该补画.你认为他的说法正确吗?请简要说明理由.

表1 横截面图形与函数关系式

(6)容积能否最大.

例7 某农户计划用现有的一面墙修4面墙，建造如图13所示的长方形水池，培育不同品种的鱼苗，他已备足可以修高为1.5 m、长为18 m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的3面墙的长度都为x m，即AD=EF=BC=x m(不考虑墙的厚度).

①若想水池的总容积为36 m3，x应等于多少;

②求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围;

③若想使水池的总容积V最大，x应为多少，最大容积是多少?

图13

3 变一点“花样”，发展思维品质

教学中，灵活多变的习题设计，能使学生在思维过程中不断接受智慧的挑战，思维的深度和广度得到提高.学生享受智慧带来的成功和愉悦的同时，思维的灵活性和敏捷性得到发展，思维品质得以提升和飞跃，变一点“花样”，设计出学生“跳一跳”就能摘得到的“桃子”.

案例3 人教版数学八年级下册第110页第7题：已知四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点且MB=MC.求证：四边形ABCD是等腰梯形.

此题是一道“条件不充分”的习题，可引导学生寻找“充分条件”的同时，变一点“花样”，作以下思维拓展：

思维拓展1将原题的条件改变，把“点M是上底的中点”变为“下底的中点”，挖掘内在联系.

思维拓展2将特殊条件一般化，把“点M是梯形底边上的中点”变为“梯形外部的点”，探究上述结论是否成立.

思维拓展3将特殊条件一般化，把“点M是梯形底边上的中点”变为“梯形内部的点”，探究上述结论是否成立.

思维拓展4将结论和条件互换位置，把要证明的结论“等腰梯形”作为条件，探究新的结论，从而提高学生的应变能力.

思维拓展5变换条件和结论，把“底边上的中点”变为“2个点”，2腰由“已知相等”变为“结论求证”，提高探索能力.

思维拓展6适当改变已知条件，探索新的结论，从而培养思维的发散性.

例8 已知梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，点E是MB的中点，点F是MC的中点，点N是BC的中点.

(1)求证：四边形MENF是菱形;

(2)当△MBC是什么三角形时，四边形MENF是正方形，并猜想梯形的高与下底之间的数量关系.

思维拓展7变换题型，将证明题改为探索题，探索新的结论是否成立，从而培养思维的发散性.

例9 已知梯形ABCD中，AD∥BC，M是底边AB上的点，给出下面3个论断：①AB=CD;②AM=DM;③BM=CM.请你以其中的2个论断作为条件，填入“已知”栏中，以一个论断作为结论，填入“求证”栏中，使之成为一个正确的命题，并证明之.

已知在梯形ABCD中，AD∥BC，M是底边BC上的点，_______________，求证：________________.

简析 该题从所给的论断入手，不断变换题目的条件与结论，由浅入深，循序渐进，层层深化，既沟通了知识之间的联系又训练了发散思维.

符合题意的情形有3种情况，即①，②→③;①，③→②;②，③→①.

在教学时，如能在例题、习题的解答后做进一步深入研究，便能发现一些很有趣的新知识或好方法，使解答数学问题的过程变成探究、发现的过程，将思维变成流动、活跃的过程，可使学生时时处在一种愉快的探索知识的状态中，从而充分调动学生的积极性，启发学生的思维，提高学生的解题能力和探索能力.

4 增一点“配料”，提升数学能力

在例题、习题教学中，要对学生解题过程中可能出现的困难做充分估计.对于较难理解的知识点，要有针对性地做好铺垫，使解题过程水到渠成.

案例4 人教版数学九年级上册“证明三角形的中位线定理”的教学.

师：如图14所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则DE是△ABC的中位线.你能发现哪些结论?

师：如果要证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”这个命题，能把文字语言转化为数学语言吗?

师：很好，能证明吗?

(一学生板演.)

师：还有不同的证法吗?

生3：利用△ADE∽△ABC可证.

师：谁能简述一下证明过程?

图14

师：很不错，还有不同的想法吗?

师：很精彩，连老师也没有想到用这种方法.

在以上的课堂教学中，教师不失时机地问了一下“还有不同的想法吗”，增加了解题的“配料”，学生的精彩发言为整个课堂增加了亮色，这种证明三角形中位线定理的方法连教师都没有想到!