一元二次方程整数根问题解题探析

435241 湖北省阳新县白沙中学 董才强

一元二次方程整数根问题解题探析

435241 湖北省阳新县白沙中学 董才强

含有字母参数的一元二次方程的整数根问题是一种常见的题型，但这类问题涉及的知识点较多，思维的要求较高，所以难度比较大，学生往往望而却步.本文通过一道中考试题来说明这类问题常用的几种解法.

原题 (2011年黄石)已知二次函数y=x2-2mx+4m-8.

(1)当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围;

(2)以抛物线y=x2-2mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN(M，N两点在抛物线上)，请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗?若是，请求出这个定值;若不是，请说明理由.

(3)若抛物线y=x2-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值.

解 (1)二次函数y=x2-2mx+4m-8的图象是开口向上，对称轴为直线x=m的抛物线，

∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，

∴ m≥2.

(2)如图1所示，设抛物线的对称轴与MN交于点B，根据抛物线和正三角形的对称性可知：MN∥x轴，且AB垂直平分MN.

设 M(a，b)，则点 B 的坐标为(m，b)，显然有 m＞a，

图1

即△AMN的面积是与m无关的定值.

(3)很明显，这一问的本质是一个含有字母参数的一元二次方程的整数根问题，下面对第(3)问的解法作重点探讨.

解法1 利用判别式

令y=0，即可得到关于x的一元二次方程：

由题意，(m-2)2+4必须为完全平方数，不妨设(m-2)2+4=n2(其中n为整数)，

经检验，当m=2时，关于x的一元二次方程x2-2mx+4m-8=0有整数根，∴m=2.

点评 本题解法的最后一步检验虽一语带过，但却是一个必不可少的步骤.因为整系数一元二次方程的判别式是完全平方数只是该方程有整数根的必要条件，但不是充分条件.也就是说，当△为完全平方数时，并不能保证方程一定有整数根，所以必须进行检验.

解法2 利用因式分解

对方程x2-2mx+4m-8=0稍作变形：

∴当方程有整数根时，x=4或0，这时m=2.

点评 这个解法只用到整式的变形(先配方，再因式分解)，解题的必要性和充分性同时实现，参数和未知数的值也同时求出，而且不需要代入检验，减少了出错的机会.

解法3 利用根与系数的关系

∴当方程有整数根时，m=2.

点评 这个解法没有用到“m为整数”的条件，更反映出本题的特殊结构，并且对学生来说，比上述各解法更容易想到.

解法4 构造恒等式

点评 这个解法同解法3形式上很相似，只是消去参数m的途径略有差异.而且，由于恒等式中的x可以任意取值，能为我们用于各种场合提供方便.同解法3一样，由于本题要求参数m为整数，所以必须对求出的x1，x2进行取舍.

解法5 变换主元，反客为主

点评 这个解法变换了思维角度，视m为主元x为参数，则易于求出m，再利用代数式的恒等变形和整除的性质来达到求解的目的.

由此可见：解答含有参数的一元二次方程的整数根的问题虽然技巧性强，但是有规律可循，要仔细观察所给方程的特征，综合运用所学知识，选择简便的解法.

20110925)