基于FDTD法等离子体光子晶体的禁带特性研究＊

郭 斌 曾进启 张焕德

（武汉理工大学理学院 武汉 430070）

0 引 言

光子晶体（photonic cr ystal，PC）的概念是1987年由 E.Yablonovitch［1］和 S.John［2］同时提出的，前者主要着眼于控制材料的自发辐射性质，而后者则侧重于研究无序介质对光局域化的影响，他们都提出了材料的介电函数周期性变化的结构能够影响材料中光子的状态模式，由此可以设计出能影响光子性质的材料.光子晶体迄今取得异常迅猛的发展，是一门正在蓬勃发展的有前途的新学科.近年来，光子晶体研究的新领域——一种等离子体／介质成周期性排列或者等离子体密度呈周期性分布的微纳米结构，称为等离体光子晶体（plasma photonic crystal，PPC）［3－5］的结构受到了广泛的关注，相关的研究工作也不断地展开.由于等离子体既是一种色散介质又是一种耗散介质，其等离子体的特性可由外加参数以及自身参数所影响，所以PPC不仅具有独特的光子禁带特性和光子局域态，还同时具有等离子体的特性.因此，可以通过改变等离子体的参数和磁场的大小和方向来人为的控制等离子体光子晶体的性质和参数，这在工程应用方面具有重大的实际意义.文中从时域有限差分法（finite－difference domain－time，FDTD）［6］出发，数值模拟了垂直入射电磁波在一维等离子体／介质所构成的PPC中传播的反射和透射特性，分析和研究了一维PPC的光子禁带特性，并讨论了诸如等离子体厚度，介质材料的介电常数等因素对其禁带特性的影响.

1 理论以及公式推导

为了简单起见，假设这种等离子体／介质组成的微纳结构是非磁性的，其结构示意图如图1所示.对于这种一维等离子体／介质组成的PPC结构，它的介电函数可由下面的公式给出

式中：ω 为入射电磁波的频率；ωp＝（nee2／ε0m）1／2为等离子体频率；ne为等离子体层中的电子密度；e为电子的电量，m为电子的质量；ε0为真空中的介电常数；εb为介质材料的介电常数.

图1 一维PPC示意图

在这里，假设等离子体／介质PPC被分割成许多小单元，每个单元有2种介质组成：一种是厚度为a的等离子体层；一种是厚度为b的介质材料层.Λ＝a＋b为单元的周期.

电磁波在一维PPC中传播时，满足麦克斯韦方程组［7］

式中：μ0为真空中的磁导率；E和H 分别为电场强度和磁场强度.在一维的情况下，6个电磁场分量以及介电常数只与电磁波传播方向z有关，而与x和y无关.则式（2）和式（3）可以化简为

利用中心差分的方法，可将式（4）或式（5）离散化成迭代的形式.这里，仅将式（4）离散成迭代的方程.则有如下形式

式中：l和n都为整数，分别为沿电磁波传播z方向的空间步长Δz的个数和时间步长Δt的个数.应用一维FDTD方法的稳定性条件为

式中：c为光在真空当中传播的速度.

2 计算结果及讨论

通过Matlab编写FDTD代码数值模拟了时域高斯脉冲exp（－（t－5τ）2／2τ2）在一维PPC中传播的反射和透射波形，式中τ＝10为常量，跟入射电磁波的频率相关.其他一些重要的参数如下：等离子体频率ωp＝2π×2×1011rad／s，周期Λ＝10－3m，FDTD计算的空间步长Δz＝1.0 mm，时间步长Δt＝2 ps，计算空间的两端采用PML吸收边界条件，FDTD模拟的空间为8个周期的PPC.等离子体厚度的填充因子定义为f＝a／Λ，入射电磁波频率ω用等离子体频率ωp来归一化，定义为ω＝ω／ωp，介质材料的介电常数εb用真空中的介电常数ε0来归一化，定义为εb＝εb／ε0.

图2和图3为介质材料的介电常数为εb＝1（真空）时不同等离子体厚度时的反射（实线）和透射（虚线）波形.图2对应f＝0.1，图3对应f＝0.3.从图中可见看出此时的反射波形和透射波形是具有一定频率禁带特性的能带结构，并且存在截止频率；而且很明显，随着等离子体厚度的增加，光子禁带结构的宽度变得更大.

图2 反射（实线）和透射（虚线）波形（f＝0.1）

图3 反射（实线）和透射（虚线）波形（f＝0.3）

图4 反射（实线）和透射（虚线）波形（εb＝1）

图4 和图5为等离子体厚度为f＝0.1时不同介质材料的介电常数的反射（实线）和透射（虚线）波形.图4对应εb＝1（真空），图5对应εb＝2（二氧化硅）.从图中可以看到：当等离子体密度及等离子厚度这2个参数固定时，介质材料的介电常数εb越大，光子禁带特性结构的宽度越小；并且随着介质材料的介电常数的增大，在低频率的区域会形成一个新的禁带特性结构，即，增加介质材料的介电常数εb会产生更多的光子禁带特性结构.

图5 反射（实线）和透射（虚线）波形（εb＝2）

3 结束语

本文研究了垂直入射的电磁波在一维PPC中的传播特性，采用FDTD数值模拟的方法讨论了等离子体厚度和介质材料的介电常数对电磁波在PPC中传播特性的影响.结果表明：随着等离子体厚度的增大，光子禁带特性结构也随之增大，而介质材料的介电常数的增加会产生更多的光子禁带特性结构.本文中，忽略了等离子体中的碰撞对电磁波在PPC中传播特性的影响.如果考虑到等离子体中电子与中性气体分子的碰撞的话，电磁波在PPC中传播的将存在吸收，其光子禁带特性结构将变得更加复杂.相关工作有待做进一步深入的研究.

［1］Yablonovitch E.Inhibited spontaneous emission in solid－state physics and electronics［J］.Phys.Rev.Lett.，1987，58（20）：2059－2062.

［2］John S.Strong localization of photons in certain disor dered dielectric superlattices［J］.Phys.Rev.Lett.，1987，58（23）：2486－2489.

［3］Hojo H，Mase A.Dispersion relation of electro magnetic waves in one－di mensional plas ma photonic cr ystals［J］.J.Plas ma Fusion Res.，2004，80（4）：89－90.

［4］Guo B.Transfer matrix for obliquely electromagnetic waves pr opagation in one di mension plas ma photonic crystals［J］.Plasma Sci.Technol.，2009，11（1）：18－22.

［5］Guo B.Photonic band gap str uctures of obliquely incident electro magnetic waves propagation in one－dimension absor ptive plas ma photonic cr ystal［J］.Phys.Plasmas，2009，16（4）：043508－1－6.

［6］Taflove A，Susan C H.Co mputational electrodynamics：the finite－difference time－domain method［M］.3r d ed.Artech House Publishers，2005.

［7］郭硕鸿.电动力学［M］.北京：高等教育出版社，2002.