S-仿Lindelof 空间

高绍娟，康素玲，唐永帅

(1. 成都理工大学 信息管理学院，四川 成都 610059；2. 合肥学院 数学与物理系，安徽 合肥 230601)

S-仿Lindelof 空间

高绍娟1，康素玲2，唐永帅1

(1. 成都理工大学 信息管理学院，四川 成都 610059；2. 合肥学院 数学与物理系，安徽 合肥 230601)

定义S-仿Lindelof空间，作为S-仿紧空间[1]的推广，并给出其部分基本性质. 研究了S-仿Lindelof空间与正则空间，T2空间，αS−仿Lindelof紧空间的关系：1)S-仿Lindelof，T2空间是半正则的；2)由(X,Τα)为S-仿Lindelof推出(X, Τ)也是S-仿Lindelof的.

局部可数；s-局部可数；半开加细；S-仿Lindelof

2006年K.Y.AL-ZOUBI引入了S-仿紧空间的概念，并研究了拓扑中的半开集. 很多空间都是由半开集定义的，比如S-closed空间，可数S-closed空间，S-仿紧空间，S-expandable空间等，下面引入了S-仿Lindelof空间的概念.

本文中用cl( A)，int(A)，ΤA分别表示集合A的闭包，内部和X中集合A的相对拓扑. 集合A称作是空间(X,Τ)的半开子集，如果存在一个开集U，使得 U ⊆ A ⊆ cl( U). 半开集也被称作为半闭集. 集合A的半闭包表示为scl( A)，即包含了A的最小半闭集. 若A=int(cl( A) ), A =cl( int(A) ),A ⊆int(cl( A))，则A是正则开集，正则闭集，完全开集. 空间X的所有半开子集簇(正则开子集簇，完全开子集簇)表示为SO( X,Τ) (R O( X,Τ) ,PO( X,Τ) ). 对空间X而言，如果有Τs⊆Τ，集簇 RO( X,Τ)是拓扑Τs的基. 空间(X, ΤS)是(X, Τ)的半正则化.

1 引言

定义1 空间(X, Τ)的子集簇F ={Fα: α∈I}是局部可数(s-局部可数)[2]的，若对∀x∈X，存在U∈Τ(U ∈SO( X,Τ))，使得x∈U且{α ∈ I: Fα∩ U ≠∅}是可数的.

引理1 F ={Fα: α∈I}为空间X的子集簇.

1)集簇F 是s-局部可数的当且仅当集簇{s cl( Fα) :α∈ I}是s-局部可数的.

2 S-仿Lindelof空间

定义2 1)空间X称为是仿-Lindelof的当且仅当X的每个开覆盖有局部可数的开加细；

2)空间X是极值断开[3]的当且仅当X中的每一个开集的闭包是开的.

引理2 若空间X是极值断开的，则对 ∀U ∈ SO(X ,Τ)我们都有 scl( U ) =cl( U).

定义3 空间X称为S-仿Linndelof的当且仅当X的任一开覆盖有局部可数的半开加细.

定理1 若(X, Τ)为S-仿Lindelof空间，T2空间，则对X的任意闭子集A，x∉A，存在U∈Τ，V∈SO( X,Τ)，使得x ∈ U, A ⊆ V且U∩V=∅. 等价于说对X的任一开子集U，x∈U，存在V∈Τ，使得x ∈V ⊆ scl( V )⊆ U .

证明： 对∀y∈A，任取开子集Wy，使得 y∈Wy，且 x∉cl( Wy). 因此，集簇W ={Wy:y∈A} ∪{ X−A}是X的一个开覆盖. 而X为S-仿Lindelof空间，故集簇W 存在一个局部可数的半开加细H.

令V ={H ∈H: H ∩ A ≠∅}，则A⊆V且V为半开集. 显然 cl( V ) = {c l( V ):H ∈ H, H ∩A ≠∅}为闭集，则U=X-cl(V)为开集. 所以x∈U且U∩V=∅.

推论1 任一个S-仿Lindelof，T2空间X是半正则的.

定理2 空间X为极值断开，正则空间，若X的任一开覆盖有s-局部可数的半开加细，则X的任一开覆盖有局部可数开加细(仿-Lindelof空间[4]).

证明：令 U 为X的任一开覆盖. ∀x∈X，∀UX∈U， 由正则性知，存在一个开集VX∈Τ使得x∈ Vx⊆ cl( VX)⊆ UX. 因此集簇V ={Vx:x∈X }为X的开覆盖. 由假设知，V 有 s-局部可数半开加细 W ={Wβ:β∈ B}. 则由Wβ半开有，对∀β∈B，存在开集Hβ，使得 Hβ⊆ Wβ⊆ cl( Hβ)，但对∀β∈B存在某个VX∈V和U∈U满足 cl( Hβ) = cl( Wβ) = cl( Vx)和cl( Hβ)⊆ U . 因为X为极值断开空间，所以对∀β∈B有cl( Hβ)∈Τ.

下面证明集簇H ={c l( Hβ):β∈ B}是局部可数的.

因为W 是局部可数的，所以集簇{s cl( Wβ) :β∈ B}为s-局部可数. 由于Wβ为半开集，X为极值断开空间，故∀β∈B有 cl( Hβ) = cl( Wβ) = scl( Wβ). 所以集簇H为s-局部可数的. 所以存在 Ox∈SO( X,Τ)，使得x∈Ox且{β ∈ B: Ox∩cl( Hβ)≠∅}为可数的. 而Ox为半开集，则存在开集Ax，使得 Ax⊆Ox⊆ cl( Ax)，x∈Ax. 又X为极值断开空间，故 cl( Ax)为包含x的开集，由性质 cl( Ax) ∩cl( Hβ)≠∅当且仅当

Ox∩cl( Hβ)≠∅，可以得到集簇H是局部可数的. 这就征得集簇H是U的局部可数加细.

推论2 若X为极值断开的，S-仿Lindelof，T2空间，则X是仿Lindelof空间.

3 αS-仿Lindelof子集

定义4 空间X的子集A称为α-集，若 A ⊆int(cl( int(A))). X的所有α-集簇表示为 Τα[5]. 形成了X上的一个拓扑，优于拓扑Τ，并且使得 Τ⊆Τα⊆ SO( X,Τ)且 SO( X ,Τα) = SO( X ,Τ).

定理3 若(X,Τα)为S-仿Lindelof空间，则(X, Τ)为S-仿Lindelof空间.

证明：令U为(X, Τ)的任一开覆盖，因为 Τ⊆Τα，所以U为S-仿Lindelof空间(X,Τα)的开覆盖. 因此U在(X,Τα)中有局部可数半开加细又 SO( X ,Τα) = SO( X ,Τ)，故只需证明集簇V 在(X, Τ)中局部可数.

因为V 为U在(X,Τα)中的局部可数半开加细，所以对x∈X，存在一个开子集G ∈Τα，使得x∈G且{λ ∈ I: G ∩ Vλ≠∅} 是可数的，把他们取出来记作{Vi: i∈Z+}. 对∀V∈ V ，存在WV∈Τ，使得WV⊆ V ⊆ cl( WV).

由性质，对∀V∈V -{Vi: i∈Z+}，假设int(cl( int(G )))∩V≠∅，则int(cli nt(G ))) ∩cl( WV)≠∅，显然已知有 G ⊆int(cl(int(G))),WV⊆V ，因此 G ∩ WV≠∅. 所以G∩V≠∅. 则 V ∈ {Vi: i∈ Z+}，产生矛盾. 所以int(cl( int(G )))∩V=∅，那么int(cl( int(G )))在(X, Τ)中为包含x的开集. 所以对∀x∈X，存在开集int(cl( int(G )))∈Τ，使得 x ∈int(cl( int(G)))且{i ∈Z+:int(cl(int(G ))) ∩ Vi≠∅}可数.

所以V为U在(X, Τ)中的局部可数半开加细. 即(X, Τ)为S-仿Lindelof空间.

定理4 若(X, Τ)为T2空间，S-仿Lindelof空间，则X的任一开覆盖有局部可数半闭加细.

证明：令 U为X的任一开覆盖. 对∀x∈X，任取Ux∈U，由定理 1知，存在开子集Vx∈Τ，使得x ∈ Vx⊆ scl( Vx)⊆ Ux，因此集簇V ={Vx:x∈X }为X的开覆盖. 所以集簇 V 有局部可数半开加细 W ={Wβ:β∈ B}.

下面来考虑集簇scl(W )={s cl( Wβ) :β∈ B}.

由引理1，集簇scl(W )是局部可数的. 所以scl(W )是(X, Τ)的局部可数半闭子集簇，使得，对∀β∈B，存在Ux∈U，使得 scl( Wβ) ⊆ scl( Vx)⊆ Ux. 因此，scl(W )加细U. 证毕.

定义5 空间(X, Τ)的子集A称作是X中的αS−仿Lindelof集，若(X, Τ)中任一个覆盖A的开子集在空间(X, Τ)有局部可数的半开加细.

定义6 空间(X, Τ)中的子集A称作是g-closed的，若无论对于A⊆U且U⊆Τ，都有cl( A)⊆U

定理5 S-仿Lindelof空间的每一个g-closed 子集是αS−仿Lindelof集.

证明：令(X, Τ)为S-仿Lindelof空间，A是(X, Τ)的一个g-closed子集. 令集簇U={Uα:α∈ I}是空间(X, Τ)中覆盖A的开子集簇. 因为 A⊆∪{Uα:α∈I }且A为g-closed的，所以cl(A)⊆ ∪{Uα:α∈I }. 对于任一个 x∉cl( A)，存在一个X中的开集Wx，使得 A∩Wx=∅. 下面令U'={Uα:α∈ I} ∪{Wx:x ∉cl( A)}.那么U'是S-仿Lindelof空间(X, Τ)的一个开覆盖. 所以U'存在局部可数的半开加细，记H ={Hβ:β∈B}是U'的局部可数半开加细，那么对∀β∈B，在α ( β)∈I时有 Hβ⊆ Uα(β)，或者在x(β)∈B时有 Hβ⊆ Wx(β).令B'={β ∈ B: Hβ⊆ Uα(β)}，那么H'={Hβ:β∈ B'}是U的局部可数半开加细，且 A⊆ {Hβ:β∈B'}.因此集合A是αS−仿Lindelof集.

[1] AL-ZOUBI KHALID Y. S-paracompact spaces[J]. Acta Mathematica Hungarica, 2006, 110 (1-2):165-174.

[2] AL-ZOUBI KHALID Y. s-expandable spaces[J]. Acta Mathematica Hungarica, 2004,102(3):203-212.

[3] JANKOVIC D S. A note on mappings of extremally disconnected spaces[J]. Acta Mathematica Hungarica, 1985, 46(1-2):83-92.

[4] 高国士, 林 寿. 拓扑空间论[M]. 2版. 北京:科学出版社, 2000.

[5] LI P Y, SONG Y K. Some remarks on S-paracompact spaces[J]. Acta Mathematica Hungarica, 2008,118(4): 345-355.

(责任编辑：饶 超)

S-para Lindelof Spaces

GAO Shao-juan1, KANG Su-ling2, TANG Yong-shuai1
(1. College of Information and Management, Chengdu University of Technology, Chengdu 610059, China; 2. Department of Mathematics and Physics, Hefei University, Hefei 230601, China)

We introduce the class of S-para Lindelif spaces as a generalization of S-paracompact spaces，and then we characterize S-para Lindelof spaces and study their basic properties.The relationships between S-para Lindelof spaces and regular spaces，S-para Lindelof spaces，αS-para Lindelof spaces are investigated.

Locally countably; S-locally countable; Semi-open refinement; S-para Lindelof

O189.11

A

1009-2854(2011)05-0008-03

2011-03-02

安徽省高等学校省级优秀青年人才基金项目(2010SQL158)

高绍娟(1987— ), 女, 湖北黄冈人, 成都理工大学信息管理学院硕士研究生;