柔性机械臂动力学建模与控制方法研究进展

杨 敏， 刘克平

(长春工业大学电气与电子工程学院，吉林长春 130012)

0 引 言

近年来，随着宇航技术与机器人技术的快速发展，越来越多的由若干个柔性组件构成的多柔体系统应用到工业和航空航天领域中。柔性机械臂作为最简单的非平面多柔体系统，被广泛用作多柔体系统研究模型。然而，柔性机械臂的动力学系统非常复杂，其不仅是一个刚柔耦合的非线性系统，而且也是系统动力学特性与控制特性相互耦合的非线性系统。所以建立准确、实用的动力学模型，是设计柔性臂高性能控制器的重要前提条件。针对柔性机械臂建模理论与控制方法的综述性文章也有报道，但基本是十年前的研究成果总结[1-2]。文中旨在对近十年来柔性机械臂建模和控制问题的国内外发展现状及趋势做一个小结。

1 柔性机械臂的动力学建模理论研究

1.1 描述柔性体变形的常用方法

1.1.1 有限元法

有限元法是一类离散化的方法，是将具有无限自由度的连续体离散化为具有有限个自由度的单元集合体，从而将问题转化为结构型问题，便于采用数值解法。Tokhi[3-4]利用有限元法和有限差分法比较研究了受约束单连杆柔性机械臂的动态特性。和兴锁[5]利用有限元方法对空间柔性梁结构进行离散化，然后采用Lagrange方程建立了系统的动力学方程。Shaker[6]基于有限元法设计了具有旋转关节的平面双连杆柔性机械臂的非线性模型。Korayem[7]利用有限元法研究了柔性连杆移动机械臂的最大允许动态载荷(maximum allowable dynamic load)。

1.1.2 假设模态法

假设模态法是广义坐标的一种，以Ray leigh-Ritz法为基础，通过模态截断方法，以系统中子结构的模态综合推导出系统整体模态。2003年，金国光[8]基于假设模态法和Kane方程建立了柔性机械臂的动力学模型。2006年，余跃庆[9]以柔性多体系统动力学理论为基础，采用假设模态方法，建立了具有柔性杆件的欠驱动机器人的动力学模型。2007年，Amer[10]利用假设模态法及 Lagrange方程对柔性负载进行建模，根据末端执行器与柔性负载的相互作用力关系，得到整个系统的动力学模型。其所设计的滑模控制器可以在跟踪期望轨迹的同时抑制柔性负载的弹性振动。2009年，M ills[11]基于假设模态法研究了刚体运动和具有3个柔性中间连杆的3-PRR并联机器人弹性运动的耦合特性。

1.1.3 有限段法

有限段法是将细长件分为有限刚段，将柔性引入到系统的各接点中，即把柔性系统描述为多个刚体，以含有弹簧和阻尼器的接点相连。该方法容易计入几何非线性的影响，理论推导程式化，便于数值计算，比较适合于含细长构件的系统。朱金钰[12]研究了由一个中心刚体、两个铰链接的柔性梁构成的展开系统模型，用有限段梁单元以及碰撞连续力模型的方法建立多体模型。董龙雷[13]针对具有中心刚体并带有柔性梁附件的刚柔耦合系统，介绍了基于Kane动力学方程的多体动力学理论，并应用有限段建模方法对这类刚柔耦合系统建立了动力学方程。何斌[14]提出了几何非线性柔性机械臂动力学有限段传递矩阵建模方法，该方法既保留了有限段法自动计入几何非线性和动力刚化的优势，又保留了传递矩阵法建模方便灵活的特性。

1.1.4 集中质量法

集中质量法是将柔性体的分布质量离散化于若干离散结点上[15]。杆系结构的离散化刚度矩阵可直接得出，系统动力学方程通过质量近似离散化处理得到。集中质量法适用于部件外形复杂的柔性体系统，在自由度相同的情况下，其模型精度低于有限元法。田霞[16]研究了梁的离散模型的模态反问题，采用集中质量法和有限差分法对梁进行离散化，得到横向振动梁的弹簧-质点-刚杆模型，其质量矩阵为对角矩阵，而刚度矩阵为对称的五对角矩阵。蔡国平[17]对带有末端集中质量的双连杆柔性机械臂的主动控制进行了研究，给出了系统的动力学方程。

其实他们潜意识里早就知道，从许多许多年前开始，他们就注定了是要互相陪伴的人，不然为什么这么多年来谁也没有跟其他人恋爱过，谁也没有遗忘过谁。

1.2 动力学方程的建立

1.2.1 Ham ilton原理

Ham ilton原理[18]是柔性臂动力学建模的理论基础。Hamilton原理采用能量方式建模，避免了动力学方程中包含内力项，适用于结构比较简单的柔性体系统。对于结构复杂的系统，Ham ilton函数的变分运算变得较为复杂。但变分运算原理是将系统实际运动应满足的约束条件表示为某一函数或泛函的极值，并以此确定系统的运动。因此，采用H amilton原理与控制系统的优化进行综合分析，便于动力学分析转化为系统控制模型。2005年，Cai[19]基于Hamilton原理，建立了末端带有集中质量的单连杆柔性臂的分布参数模型。2007年，Pratiher[20]从Hamilton原理出发，建立了单连杆柔性笛卡尔机械臂的非线性分布参数模型。Bolandi[21]基于Hamilton原理和假设模态法研究了具有旋转关节和柔性连杆的单连杆柔性机械臂完全非线性动力学模型。

1.2.2 Lagrange方程

Lagrange方程是柔性机械臂建立动力学模型的理论基础。Lagrange方程分别与有限元法、假设模态法和奇异摄动法等方法结合使用可得到不同形式的动力学方程。李元春[22-23]、刘克平[24]基于Lagrange方程采用假设模态法和奇异摄动法得到了双连杆柔性臂的双时标动力学模型。2009年，刘善增[25]基于Lagrange方程建立了空间三自由度并联机器人的动力学模型。王三民[26]利用Lagrange方程和变步长Runge-kutta法建立了空间RRRP机械臂的非线性动力学方程。

1.2.3 New ton-Euler公式

New ton-Euler公式应用质心动量矩定理推导出隔离体的动力学方程，方程中含有物理意义明确，并且能够表征系统完整受力关系的相邻体间的内力项。李英[27]基于New ton-Euler的几何方法，推导了N连杆可重构机械臂的动力学方程。Siciliano[28]利用New ton-Euler公式建立了受约束柔性机械臂的动力学模型。Hw ang[29]研究了开环机器人柔性制造系统动力学特性，应用广义New ton-Euler公式的递推原理得到的大型、松散耦合系统方程描述柔性系统的运动。A lessandro[30]提出一种改进的递推New ton-Euler方法，解决了常规方法难以计算机器人机械臂故障检测和控制问题中的动态参数问题。New ton-Euler公式方法也存在方程数量多、计算效率低等缺点。但该方法仍是目前动力学分析的主要手段之一。

1.2.4 Kane方法

Kane方程[31]引入偏速度与偏角速度的概念，从约束质点系的D'A lembert原理出发，将各体的主动力(或力矩)和惯性力(或力矩)乘以偏速度、偏角速度，通过对整个系统求和，得到与系统所含自由度数目相等的方程组。Kane方程的特点是内力项在方程中不出现，建立方程更加程式化，可实现动力学方程的计算机符号推导。贠今天[32]基于Kane方程推导建立了惯性参考坐标系中的刚-柔机械臂的非线性动力学模型。孙汉旭[33]在运动分析基础上，基于矢量运算的Kane方程建立了BYQ-3球形机器人的完整动力学模型。边宇枢[34]和金国光[8]利用Kane方程和假设模态法对柔性臂系统进行了建模。

2 柔性机械臂的控制策略研究

2.1 PD控制

2.2 力反馈控制

柔性机械臂的力反馈控制实质是基于逆动力学分析，根据机械臂末端的给定运动计算作用于驱动端的力矩，并利用运动或力检测对其进行反馈补偿。苏文敬[38]利用逆动力学控制算法实现了对空间柔性双臂机器人系统动力学模型轨迹跟踪控制。曾克俭[39]利用计算力矩法实现了液压柔性机械臂轨迹控制。H uang[40]针对柔性关节机械臂设计了虚拟分解法的笛卡尔阻抗控制、自适应关节动态补偿器、笛卡尔力反馈的实时路径规划三种控制方法相结合的基于碰撞检测的自适应阻抗控制器系统。

2.3 自适应控制

柔性机械臂动力学模型一般含有结构或参数不确定性以及外部扰动，可以采用自适应控制。自适应控制通过测量过程状态的连续信息、自动调整控制器参数以适应环境条件或过程参数的变化，使系统具有较强的鲁棒性。Bai[41]采用了自适应增大状态反馈控制方法，控制器的设计是依据稳态LQR技术，所设计的控制器具有很强的鲁棒性。2002年，刘克平[42]基于奇异摄动理论将柔性臂动力学模型分解为慢/快变两个子系统，并对慢/快变子系统分别设计了自适应控制器和最优控制器，实现了柔性臂的力/位置混合控制。Song[43]研究了基于神经网络的柔性机械臂自适应控制。

2.4 变结构控制

变结构控制是一种不连续的反馈控制，其中滑模控制是最普遍的变结构控制。其基本思想是根据系统所期望的动态特性来设计系统的切换超平面，通过滑动模态控制器使系统状态向切换超平面收敛。系统到达切换超平面后，控制作用将使系统沿切换超平面到达系统原点。在切换超平面上具有的滑动方式使系统的特性和参数只取决于所设计的切换超平面而与外界干扰没有关系，所以滑模变结构控制具有很强的鲁棒性。变结构控制器的设计不需要机械臂精确的动态模型，模型参数的边界就足以构造一个控制器。Elangovan[44]基于自适应模糊滑模控制研究了三连杆从动机器人的控制，该方法对于系统的结构和非结构不确定性具有较强的鲁棒性。Xu[45]基于变结构控制思想改进了模型参考自适应控制，有效抑制了柔性臂的弹性振动。张袅娜[46-48]通过重新定义柔性机械手的输出变量，设计逆动态终端滑模控制策略，解决了其非最小相位控制问题。李元春[49]等学者也对变结构滑模控制进行了深入的研究。

2.5 鲁棒控制

鲁棒控制的特点是设计一个结构和参数固定不变的控制器，却使系统模型的不确定性和参数摄动对系统性能的影响在要求范围内。Jee[50]研究了关于大量时变有效载荷参数不确定性柔性机械臂的鲁棒控制器设计方法。W ang[51]研究了多连杆柔性臂系统的H∞鲁棒控制问题。Ho[52]采用H∞结合PID控制研究了单连杆柔性机械臂的位置控制。李元春[53]研究了基于神经网络的准静态挠度补偿双连杆柔性机械臂的鲁棒控制。

2.6 智能控制

智能控制是在传统的控制方法中加入逻辑、推理以及启发式知识等环节的一种新型方法，其对于诸如柔性臂系统等具有参数不确定性、结构不确定性、高度非线性等特点的复杂系统具有良好的控制效果。近年来，许多学者将不基于系统模型的智能控制方法应用到柔性臂控制领域，并取得了很大的进展。李英[27]基于精确模型PD控制，提出了模糊神经控制算法辨识补偿结构、非结构不确定性，实现了可重构机械臂轨迹跟踪的有效的补偿控制。肖志权[54]针对包含结构参数、传感器参数和控制器参数的柔性机械臂系统模型进行整体优化设计，改进的遗传算法用于参数的全局寻优。优化后的机械臂系统，仅采用简单的控制器就能减小振动。Nguyen[55]提出了一种遗传算法和模糊控制相结合的双连杆柔性臂控制方法。Elangovan[44]，李元春[53]等学者利用智能控制对柔性机械臂控制做了相关研究。

2.7 预测控制

柔性机械臂的运动轨迹控制相当于已知下一步的预定位置，但未知弹性变形的影响，是部分已知部分未知的系统，可以采用预测控制进行研究。张奇志[56]采用预测控制结合I/O反馈线性化的控制策略，消除了柔性机械手的弹性振动。帅鑫[57]针对柔性机械臂末端轨迹跟踪的内动态不稳定和模型不精确问题，提出一种用于柔性臂末端轨迹跟踪的预测控制算法。张雪莲[58]利用Takagi-sugeno模糊模型对柔性臂进行了建模，在验证模型准确性的基础上，进行了广义预测控制方法的研究。

2.8 最优控制

蔡国平[59-60]利用最优跟踪控制策略，实现了一次近似模型的柔性机械臂运动跟踪的主动控制，并对柔性机械臂线性化主动控制中的时滞问题进行了研究。王从庆[61]针对一种自由浮动柔性双臂空间机器人协调操作刚性负载闭链系统，基于线性二次型最优控制方法对其进行振动的主动控制。陈文楷[36]将最优控制与模糊神经控制相结合，用于控制变负载柔性机械臂，较传统方法得到了更优的控制效果。

2.9 其它控制方法

近年来，利用输入成形技术和压电陶瓷等新型智能材料抑制弹性振动的方法得到了学者的广泛关注。输入成形是指将参考信号与一系列脉冲信号相卷积，形成的指令作为系统新的输入。该方法考虑了系统的物理特性和振动特性，使得振动模态在输入信号中不被激励，从而消除系统的振动。输入成形技术在柔性机械臂领域的研究取得了很多进展[62-66]。刘克平[67-68]针对鲁棒输入成形技术，提出了一种三阶段最优任意时延输入成形控制器的设计方法，克服了系统响应快速性和鲁棒性之间的矛盾;将鲁棒输入成形技术和闭环控制器结合，应用于柔性机械臂实验台的轨迹控制和振动控制研究，实现了柔性机械臂高速高精度控制[69-70]。压电陶瓷等智能材料在柔性机械臂弹性振动控制中的应用也得到了国内外众多学者的关注[71-75]。

3 结 语

从柔性机械臂的研究现状来看，具有以下热点及趋势:

1)基于柔性机械臂分布参数模型的Riesz基方法和动态边界反馈控制;

2)多柔性臂系统的协调控制;

3)受约束多连杆柔性机械臂协调运动系统的分布参数模型;

4)机械臂操作柔性负载系统的控制。

同时，柔性臂系统的研究仍然存在一些有待进一步解决的问题:

1)柔性臂集中参数模型简化带来的控制/溢出以及控制器难以工程实现等问题;

2)基于分布参数模型控制器的设计方法问题;

3)在参数摄动和干扰影响下的柔性臂系统的协调控制系统的鲁棒控制，仍有很多有待解决的问题。

尽管对于柔性机械臂系统的研究还存在很多问题，但在工业、航天以及核工业等某些危险的作业领域，涉及到越来越多的柔性机械臂控制问题，对于柔性机械臂控制难点问题的挑战和创新性研究仍值得广大学者广泛关注。

[1] 刘明智，刘春霞.柔性机械臂动力学建模和控制研究[J].力学进展，2001，31(1):1-8.

[2] 王树新，员今天，石菊荣，等.柔性机械臂建模理论与控制方法研究综述[J].机器人，2002，24(1):86-96.

[3] Tokhi M O，Mohamed Z.Finite difference and finite element app roaches to dynam ic modeling of a flexib lemanipu lator[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers.Part I，Journalof Systems&Contro l Engineering，1997，211(2):1-17.

[4] Martins JM，Mohamed Z，Tokhi M O，et al.App roaches for dynam ic modeling of flexib lemanipu lator systems[J].IEEE Proceedings:Control Theory and Applications，2003，150(4):401-411.

[5] 和兴锁，顾致平，邓峰岩.大型空间柔性梁的有限元动力学建模方法研究[J].机械科学与技术，2007，26 (9):1194-1197.

[6] Shaker M C，Ghosal A.Non linear modelling o f flexible manipulators using nondimensional variab les[J].Journal o f Computational and Non linear Dynam ics，2006(1):123-134.

[7] Korayem M H，H eidari A，Nikoobin A.Maximum sllow ab le dynamic load of flexiblemobilemanipu lators using finite element approach[J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2008，36:606-617.

[8] 孙占庚，金国光，常志，等.基于Kane法的柔性机械臂系统动力学建模及其模态截取研究[J].天津工业大学学报，2009，28(4):61-63.

[9] 陈炜，余跃庆，张绪平，等.欠驱动柔性机器人动力学建模及仿真[J].中国机械工程，2006，17(9):931-936.

[10] Amer S，A l-Yahmadi，Jam il Abdo T C，et al. Modelling and control o f tw o manipu lators hand ling a flexib le object[J].Journal o f the Frank lin Institute，2007，344(5):349-361.

[11] Zhang X P，M ills JK，Cleghorn W L.Coup ling characteristics of rigid body motion and elastic deformation o f a 3-PRR parallel manipulator with flexib le links[J].Mu ltibody System Dynam ics，2009，21:167-192.

[12] 朱金钰，程源，樊世超，等.空间展开机构模型动力学实验与计算[J].清华大学学报:自然科学版，2004，44(2):228-231.

[13] 董龙雷，闫桂荣，余建军，等.带中心刚体的旋转柔性件有限段建模[J].西安交通大学学报，2001，35 (9):977-981.

[14] 何斌，芮筱亭，于海龙，等.几何非线性机械臂有限段传递矩阵法[J].火力与指挥控制，2007，32(4): 14-1.

[15] Konno A，Uchiyama M.Modelling of a flexible manipu lator fynam ics based on the holzer'smethod [J].Journal of Japan Robot Institute，1994，12 (7):1021-1028.

[16] 田霞，戴华.梁的离散模型的模态反问题[J].振动与冲击，2005，24(6):29-31.

[17] 杜欣，蔡国平.带有末端集中质量的双连杆柔性机械臂主动控制[J].应用力学学报，2009，26(4): 672-678.

[18] 曹小涛.基于分布参数模型的柔性臂系统控制方法研究[D]:[硕士学位论文].长春:吉林大学，2008.

[19] CaiG P，Hong JZ，Yang SX.Dynam ic analysis of a flexib le hub-beam system with a tip mass[J]. M echanics Research Communications，2005，32: 173-190.

[20] Pratiher B，Dw ivedy S K.Non-linear dynam ics o f a f lexible single link cartesian manipulator[J].International Journal of Non-Linear Mechanics，2007，42:1062-1073.

[21] Bolandi H，Esmaeilzadeh S M.Analyticalmodeling and non linear strain feedback control of a flexible robotarm[J].Automatic Control and Computer Sciences，2008，42(5):236-248.

[22] 李元春，陆佑方，唐保健.双连杆柔性臂轨迹跟踪的鲁棒控制[J].自动化学报，1999，25(3):330-336.

[23] Li Y C，Tang B J，Shi Z X，et al.Experimental study for trajectory of a two-link flexib lemanipu lator[J].International Journal of System s Science， 2000，31(1):1-9.

[24] 林成文，陈庆，刘克平，等.受限双连杆柔性臂力/位置鲁棒控制[J].吉林大学学报:信息科学版，2002，20(3):81-84.

[25] 刘善增，余跃庆，佀国宁，等.3自由度并联机器人的运动学与动力学分析[J].机械工程学报，2009，45(8):11-17.

[26] 王磊，王三民，牛治永.空间 RRRP机械臂的刚柔耦合非线性动力学特性研究[J].振动与冲击，2009，28(7):169-174.

[27] 李英，朱明超，李元春.可重构机械臂模糊神经补偿控制[J].吉林大学学报:工学版，2007，37(1): 206-211.

[28] Siciliano B.Closed-loop inverse kinematics algorithm for constrained flexible manipu lators under gravity[J].Journal of Robotic Systems，1999，16 (6):353-362.

[29] Hw ang Y L.Recursive new ton-eu ler formu lation for f lexible dynam ic manufacturing analysis of open-loop robotic system s[J].International Journalof Advanced M anufacturing Technology，2006，29(5):598-604.

[30] Alessand ro De Luca，Lorenzo Ferrajoli.A modified new ton-euler method for dynam ic computations in robot fau lt detection and control[A].Proceedings of the 2009 IEEE International Conference on Robotics and Automation[C]//Piscataw ay.New Jersey:IEEE Press，2009:3359-3364.

[31] 郭秉华.六自由度空间柔性机械臂的动力学分析与控制[D]:[硕士学位论文].北京:北京邮电大学，2009.

[32] 贠今天，王树新，郭福新，等.计及环境特征的刚-柔机械臂动力学建模方法与理论研究[J].机器人，2004，26(5):448-453.

[33] 孙汉旭，王亮清，贾庆轩，等.BYQ-3球形机器人的动力学模型[J].机械工程学报，2009，45(10):8-14.

[34] 边宇枢，陆震.柔性机器人动力学建模的一种方法[J].北京航空航天大学学报，1999，25(4):486-490.

[35] Sun FC，Sun Z Q，Li L，et al.Neuro-fuzzy adaptive contro l based on dynam ic inversion for robotic manipu lators[J].Fuzzy Sets and Systems，2003，134(1):117-133.

[36] 陈文楷，石英，崔刚，等.基于模糊神经的柔性臂变负载控制方法[J].控制工程，2009，16(6):717-719，786.

[37] 余跃庆，周刚，方道星.基于模糊PID融合的柔性机械臂振动压电主动控制研究[J].中国机械工程，2008，19(15):1836-1841.

[38] 苏文敬，吴立成，孙富春，等.空间柔性双臂机器人系统建模、控制与仿真研究[J].系统仿真学报，2003，15(8):1098-1105.

[39] 曾克俭，李光.液压柔性机械臂奇异摄动法控制[J].中国机械工程，2006，17(11):1128-1131.

[40] Huang J B，Xie Z W，Jin M H，et al.Adap tive impedance controlled manipulator based on collision detec tion[J].Chinese Journalo f Aeronautics，2009，22(1):105-112.

[41] Bai M，Zhou D H.A dap tive averment state feedback control for an experimental p lanar tw o-link flexible manipulator[J].IEEE T ransactions on Robotics and Automation，1998，14(6):940-950.

[42] Liu K P，Li Y C，Chen Q A.Composite control strategy for a two-link constrained flexib lemanipulator[J].AM SE J，Advance in M odelling&Analysis，2002，57(1/2):21-34.

[43] Song Y M，Li J X，Wang S Y，et al.Adap tive control of flexible redundant manipulators using neural netw orks[J].T ransactions of Tian jin University，2006，12(6):429-433.

[44] Elangovan S，Woo P Y.Adaptive fuzzy sliding contro l for a three-link passive roboticmanipulator [J].Robotica，2005，23(5):635-644.

[45] Xu JX，Cao W J.Direct tip regulation of singlelink f lexib le manipulator by adap tive variable structure control[J].International Journal of System s Science，2001，32(1):121-135.

[46] 张袅娜，冯勇，孙黎霞.双臂柔性机械手的终端滑模控制[J].控制与决策，2004，19(10):1142-1146.

[47] 张袅娜，冯勇，王冬梅，等.柔性机械手的鲁棒控制器设计[J].控制与决策，2006，21(7):750-754.

[48] 张袅娜，张德江，尤文.基于鲁棒滑模观测器的两关节柔性机械手控制[J].控制理论与应用，2009，26(7):722-726.

[49] 曹小涛，李元春.基于分布参数模型的柔性臂变结构力控制[J].控制与决策，2008，23(9):1035-1039.

[50] Ryu JH，Kw on D S，Park Y J.A robust cContro ller design method for a flexible manipulator with a large time varying pay load and parameter uncertainties[J].Journalof Intelligentand Robotic Systems，2000(4):345-361.

[51] Wang Z D，Zeng H Q，Ho Daniel W C，et al. Mu ltiob jective contro l of a four-link flexib le manipulator:a robust H∞approach[J].IEEE Transactions on Control System Technology，2002，10(6):866-875.

[52] H o M T，Tu Y W.Position contro l of a singlelink flexiblemanipulator using H∞-based PID contro l[J].Control Theory and A pplications，2006，153(5):615-622.

[53] Li Y，Liu G，H ong T，et al.Robust control of a two-link flexiblemanipu lator with quasi-static deflection compensation using neural networks[J]. Journal o f Intelligent and Robotic Systems，2005，44:263-276.

[54] 肖志权，崔玲丽.基于遗传算法的柔性机械臂的同时优化设计[J].机器人，2004，26(2):170-175.

[55] Nguyen V B，Morris A S.Using a genetic algorithm to fully optim ise a fuzzy logic controller for a two-link-flexible robot arm[J].Robotic，2009，27 (5):677-687.

[56] 张奇志，孙增圻，孙富春.基于奇异摄动的柔性机械手预测控制[J].机械科学与技术，2001，20(2): 172-173.

[57] 帅 鑫，李艳君，吴铁军.一种柔性机械臂末端轨迹跟踪的预测控制算法[J].浙江大学学报:工学版，2010，44(2):259-263.

[58] 张雪莲，潘铁强，唐可洪，等.柔性机械臂T-S模糊模型的辨识及其分析[J].机电工程，2006，23(11): 36-38.

[59] 蔡国平，洪嘉振.柔性机械臂的位置主动控制[J].机械科学与技术，2005，24(10):1178-1180.

[60] 滕悠优，蔡国平.柔性机械臂的时滞最优跟踪控制[J].应用力学学报，2007，24(3):399-403.

[61] 王从庆，张承龙.自由浮动柔性双臂空间机器人系统动力学建模与抑振控制[J].机械科学与技术，2007，26(2):192-196.

[62] Zain M Z M，Tokhi M O，M ohamed Z.Hybrid learning control schemes w ith input shaping of a flexible manipulator system[J].Mechatronics，2006，16:209-219.

[63] 张兵，张洪华.柔性空间机械臂的闭环方波序列控制[J].控制理论与应用，2001，18(5):765-768.

[64] 胡庆雷，马广富.基于滑模输出反馈与输入成形控制相结合的挠性航天器主动振动抑制方法[J].振动与冲击，2007，26(6):133-138.

[65] Shan JJ，Liu H T，Sun D.Modified inputshaping for a rotating single-link flexible manipulator[J]. Journal o f Sound and Vibration，2005，285:187-207.

[66] Tzes A，Yurkovich S.An adap tive input shaping control scheme forvibration supp ression in slewing flexible structures[J].IEEE Transactions on Control System Techno logy，1993，1(2):114-121.

[67] M ao J，Liu K P，Li Y C.Oscillation supp ression for a class of flexible system with input shaping technique[A].Proceedings o f the 1st IEEE International Conference on Machine Learning and Cybernetics[C]//Beijing:[s.n.]，2002:2108-2111.

[68] Liu K P.Experimentalevaluation o f p reshaped inputs to reduce vibration for f lexible manipulator [J].Proceedings o f the 6th IEEE International Conference on Machine Learning and Cybernetics，2007，8:2411-2415.

[69] Liu K P，You W，Li Y C.Combining a feedback linearization approach w ith input shaping for flexib le manipulator contro l[A].Proceedings of the 2nd IEEE Internationa l Con ference on Machine Learning and Cybernetics[C]//Xi'an:[s.n.]，2003，11:561-565.

[70] Liu K P，Jiang C H，Li Y C.Input shaping techniques for vibration reduction of a tw o-link flexible manipu lator[A].Proceedings of the IEEE International Conference on Mechatronics and Automation [C]//Dalian:[s.n.]，2006(6):867-872.

[71] Wang X Y，M ills JK.FEM dynam icmodel foractive vibration control of flexible linkage and Its application to a p lanar parallelmanipulator[J].Applied A coustics，2005，66:1151-1161.

[72] Jnifene A，Andrew sW.Experimental study on active vibration control of a sing le-link flexib le manipulator using tools of fuzzy logic and neural netw orks[J].IEEE T ransactions on Instrumentation and Measurement，2005，54(3):1200-1208.

[73] Sun D，M ills JK，Shan JJ，et al.A PZT actuator control o f a sing le-link flexib le manipulator based on linear velocity feedback and actuator p lacement [J].Mechatronics，2004，14:381-401.

[74] Dadfarnia M，Jalili N，Liu Z，et al.An observerbased piezoelec tric control of f lexible cartesian robotarms:theory and experiment[J].Contro l Engineering Prac tice，2004，12:1041-1053.

[75] 邱成志，谢存禧，张洪华，等.压电柔性机械臂的主动振动控制研究[J].机器人，2004，26(1):45-48.