用数值方法检验弹簧弹力的冲量模式

何崇荣 李红荣

(武汉市黄陂区第一中学,湖北武汉 430300)

有些初等物理问题的模型也须认真建模,决不能简单了事.当存在某些不易定性或定量的问题,可以用数值方法加以检验.

图1

题目.如图1所示,一轻质弹簧与质量为 m的物体组成的弹簧振子,物体在一条竖直线上的 A、B两点之间做简谐运动,点 O为平衡位置,C为O、B之间的一点,已知振子的周期为 T,某时刻物体恰好经过点 C且向上运动,则从该时刻起的半个周期内,以下说法正确的是

(A)物体的动能的变化量一定为零.

(B)弹簧的弹性势能的减小量一定等于物体重力势能的增加量.

参考答案给出的解析:

(A)、(B)选项的分析没有什么问题,但对(D)选项的分析,参考答案认为弹簧弹力冲量的方向是向上的,缺乏依据.

正确分析:设弹簧振子的振幅为 A,弹簧的劲度系数为k,C距平衡位置O的距离为x,弹簧原长处重力势能为零,某时刻物体恰好经过点C且向上运动的速度为v,在平衡位置O对物体有

物体由B到C,根据系统的机械能守恒得

整理得规定向下为正方向,在给定的半个周期内,对物体运用动量定理得

所以

弹簧振子给定,则它的周期是确定的,由动量定理知,重力的冲量是一定的,经过C点的速度大小取决于振幅及C点的位置,也就是说,如果振幅比较大,可以使得弹力的冲量有以下可能:

定量研究:令 m=0.1 kg,k=100 N/m,g=10 m/s2,A=0.05 m,0≤x＜A,则 x0=0.01 m,0≤x＜0.05.利用Mathcad软件作出弹力的冲量I弹随C点偏离平衡位置O的距离x的函数关系,如图2所示.

图2

图3

当弹簧振子在 A、B两点之间做简谐运动时,弹簧始终处于压缩状态,那么弹簧的弹力的冲量方向一定向上吗?

由图4可知,当振子的振幅逐渐减小时,弹簧的弹力冲量方向慢慢变得确定;即当振幅 A≤0.0155 m,在给定的半个周期内弹力的冲量方向始终是向上的.同时也说明,并不是当弹簧始终处于压缩状态时,弹簧弹力的冲量的方向才是向上的.

图4

图5

由图5可知,当振子的振幅逐渐减小时,弹簧弹力的冲量大小与T的关系慢慢变得确定,即当振幅0.0155 m＜A≤0.031 m时,尽管弹簧弹力的冲量的方向不确定,但大小始终小于T.当0＜A≤0.0155 m时,弹簧弹力的冲量方向确定始终向上且大小始终小于T.

由以上分析得出,弹簧弹力的冲量方向和大小既与振幅有关,还与C点位置有关.不是弹簧始终处于压缩状态时,弹簧弹力的冲量方向是向上的.