基于多小波变换的图像编码算法研究*

柳 薇,陈冬丽

(1.华南师范大学计算机学院,广东 广州 510631;2.中山大学图书馆,广东 广州 510275)

图像的压缩编码是存储、处理和传输图像信息的基础，提高图像的压缩效率一直是人们不断追求的目标。对图像进行压缩编码，目前研究的热点的是变换域压缩编码和分形压缩编码。分形压缩编码计算复杂，编码时间过长，因而限制了它的应用；而变换域编码中，DFT、DCT、DWT、KL等都是常用的去相关变换算法。JPEG2000是当前用于静止图像编码最新的国际标准[1]，就是以小波变换结合EBCOT算法为核心的[2-3]，相对于JPEG国际标准，它具有很多很明显的优势。但在应用中，小波变换还存在着一些局限性：在实数域中，对称、正交、紧支的非平凡单小波是不存在的，这使人们不得不在正交性和对称性之间进行折衷。小波理论的新分支——多小波[4]，将传统的单小波拓展到矢量空间，从而得到的多小波包括了传统小波的全部优点，同时又克服了单小波的缺陷，将实际应用中十分重要的正交性、对称性、紧支性、光滑性完美地结合在一起[5]。随着多小波理论的不断丰富和完善，更多具有优秀性质的多小波被提出，多小波在图像处理方面的应用也显示出巨大的潜力。本文提出了基于EBCOT算法的多小波图像编码。采用各种常用的多小波基，结合EBCOT算法，对标准灰度图像进行实验，对比JPEG2000和多小波变换下的图像压缩效果。阐述了结合多小波变换与EBCOT变换的图像编码算法，并给出了实验结果与分析。

1 多小波基础

1.1 图像的多小波变换

设F(n)=[f1(n),f0(n),…,fr(n)]Τ表示一个离散矢量信号，它的多小波分解和重构如图1所示。在图中，H(z)和G(z)分别表示低通矢量滤波器和高通矢量滤波器。滤波器的参数由多尺度函数和多小波函数通过内积运算得到，即

(1)

(2)

图1 多小波分解和重构示意图

注意，当r=1时，也即多小波变为单小波时，图1中所表示的算法就是计算单小波变换和逆变换的Mallat算法，图1中C1为低频分量，D1为高频分量。与单小波不同的是，多小波变换进入Mallat算法的初步尺度系数矢量，因而必须先对信号进行预处理。

1.2 实验中用到的多小波

多小波滤波器组Hk和Gk都是r×r的矩阵，分别由多尺度函数和多小波函数确定。不同的多小波产生不同的Hk和Gk，r是多小波所包含的(单)小波个数。在各种多小波中，GHM多小波和CL[0,2]多小波都是r=2的多小波。下面对常用的多小波及其滤波器组进行介绍。

1.2.1 GHM多小波 GHM多小波由Geronimo、Hardin和Massopust基于分形插值构造[6]，其尺度函数φ0，φ1的支撑分别为[0,1]，[0,2]；两小波函数ψ0，ψ1的支撑均为[0,2]。紧支撑，具有良好的局部性。尺度函数是对称的，小波函数分别是对称和反对称的，因而变换具有线性相位，同时GHM多小波作为正交小波保证了多小波系数之间冗余较小，这种紧支、对称、正交性质是单小波(除Haar小波外)所不具备的。GHM多小波滤波器组为

1.2.2 CL多小波 CL多小波是Chui-Lian等人在强化了双尺度系数具有中心对称、正交性以及逼近阶固定等约束条件下构造的[7]。CL多尺度函数有两种：在区间[0,2]的CL多小波，两个尺度函数φ0，φ1和两个小波函数ψ0，ψ1的支撑均为[0,2]；在区间[0,3]的CL多小波，两个尺度函数φ0，φ1和两个小波函数ψ0，ψ1的支撑均为[0,3]。这里只介绍前者，其多小波滤波器组为[8]

1.2.3 平衡多小波 多小波的预滤波的设计要求能够保持多小波好的性质，但是大多数的预处理方法达不到应有的效果[9]，因为它破坏了多小波自身固有的特性，若预滤波器不是正交的，则会丢失多小波变换系统中的正交性[10]；预滤波器如果不对称则会破坏多小波的对称性。而避免预滤波器的方法是采用平衡多小波[11]。平衡多小波的定义通俗的来讲，就是信号没有经过预/后滤波，直接由平衡多小波分解重构，但信号不会发生高低频混叠现象。平衡多小波的构造比较复杂，也不是我们讨论的重点，这里只对本文所应用到的CARDBAL系列多小波的滤波器做介绍。以CARDBAL2平衡多小波为例，CARDBAL2的多小波滤波器为[12]

2 基于EBCOT的多小波图像编码系统

我们将JPEG2000中的最佳截断嵌入码块编码 (embedded block coding with optimized truncation，EBCOT)和多路量化(Multiple Quantization，MQ)技术应用到多小波系数的压缩编码，重新组织码流，可以得到压缩效率很好的嵌入式码流，具体编码步骤如下：

1)选用不同的多小波，对原图(分辨率512×512)进行4级多小波变换，得到13个子带，每个子带又分别有4个向量组成，共52个向量。

2)对得到的多小波系数根据子带和向量的不同，进行量化(可以取量化步长为1)。

3)将各个向量划分成32×32大小的码块，用EBCOT和MQ技术依次对每个码块按照位平面的次序进行熵编码。

4)按照对图像失真的影响程度，对码流进行裁剪，重新组织，得到嵌入式的码流。

3 实验结果与分析

我们采用512×512的标准图像进行试验，表1-表4给出了“Lena”、“Barbara”、“Peppers”、“Zelda”的编码结果。

表1 Lena压缩编码的PSNR值

表2 Barbara压缩编码的PSNR值

表3 Peppers压缩编码的PSNR值

表4 Zelda压缩编码的PSNR值

在实验采用的几个多小波中，经典的GHM多小波的压缩效果比CL多小波、CARDBAL系列平衡多小波的压缩效果略逊，GHM是第一个被提出的多小波，是多小波理论的基础，随着不同的多小波被提出，多小波理论也在不断地成熟和发展。CL多小波相对来说就比GHM多小波具有更好的能量集中效果，特别在对一些纹理不太复杂的图像(如Peppers图、Zelda图)进行压缩时，得到是压缩效果不论从主观上还是客观上多要比GHM多小波的效果好。CARDBAL系列平衡多小波的压缩效果接近于D9/7单小波的压缩效果，不管对细节复杂的还是线条简单的图像，CARDBAL系列平衡多小波都达到了很好的压缩效果。平衡多小波避免了丢失小波正交性的可能，使小波系数的能量能够更好地集中，在对多不同的图像进行压缩实验得到的PSNR值都取得了较好的压缩效果。

本文提出的的压缩编码算法运算复杂度与Jpeg2000相当。实验结果显示，我们提出的结合多小波变换与EBOCT算法的图像编码压缩，能够达到比较好的压缩效果。尽管就目前来说，CARDBAL系列平衡多小波的压缩效果还是不及基于D9/7单小波，但是不能说明多小波在图像编码方面的应用不如单小波。单小波理论经过多年的发展，D9/7单小波也是在众多的单小波中挑选出来专门应用于图像编码的，它的成熟度是其它多小波无法比拟的。另外，EBCOT算法虽然是目前最优秀的小波图像编码方法，但是其本身是针对单小波变换系数提出的，对多小波来说EBCOT算法不一定是最优的编码算法。进一步的深入研究中，我们可以尝试寻找或构造更适合图像编码的多小波，也可以分析图像的多小波系数特点，进行更有效的系数组织和熵编码。使多小波的优点在图像编码领域发挥更大的优势。

参考文献：

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[10]LEBRUN J,VETTERLI M. Balanced multiwavelets theory and design[J]. IEEE Trans SP,1998,46(4): 1119-1125.

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