一类T－S模糊双线性系统的鲁棒控制

马进峰，俞纯权

（山东协和学院经济管理学院，山东济南250107）

近年来，双线性系统及其研究被广泛地应用于许多领域，如生物工程、生化工程、社会经济学等方面．双线性系统是一类比较特殊的非线性系统，介于线性系统和非线性系统之间，其数学模型的非线性部分通常为系统的状态和输入的双线性函数．一般而言，双线性系统模型比一般的非线性系统结构简单、动态特性简单，同时描述对象的近似程度往往比线性系统要高的多［4]．

非线性是工业控制中普遍存在的的现象，对于非线性系统的研究是控制理论中一个十分重要的课题．基于T－S模型的模糊控制是研究非线性系统比较成功的方法之一，应用T－S模型对非线性系统进行稳定性分析和控制器设计方面，已有很多成果面世．同时，由于不确定的存在，鲁棒性问题也成为带有不确定模糊系统所研究的热点问题．但是目前很多T－S模糊模型中，模糊规则的后件部分多是一个线性函数．文［1] 研究了一类模糊双线性系统的鲁棒稳定性问题，其模糊规则的后件部分是一个双线性模型，但是在其给出的系统稳定LMI条件中，要求已知控制器的增益，很显然这个条件约束性太强．

综上分析，本文研究一类用T－S模型表示的模糊双线性系统鲁棒H∞控制问题．针对模糊双线性模型，研究其鲁棒稳定的条件，并且根据并行分布补偿算法给出了鲁棒控制器的设计，控制器可由一组线性矩阵不等式的解给出．本文和文［11] 相比，其不同之处在于：①控制器的增益可以通过线性矩阵不等式直接解出；②研究了系统的性能鲁棒性．最后，由数例仿真验证了结果的有效性．

注1：在本文中，Rn表示n维Euclidean空间，P＞0（P≥0）表示是一个正定（正半定）实对称矩阵．在矩阵表达式中，用“＊”来表示对称项，用diag｛…｝来表示对角阵．如果不做特别说明，矩阵均表示合适维数的矩阵．‖‖2表示欧氏范数．用来表示用来“I”来表示单位阵．如果不做特别说明，矩阵均表示合适维数的矩阵．

以下给出在证明中要用到的引理：

引理1［12]设M，N和F（t）是维数适合的实矩阵且满足FT（t）F（t）≤I，则对于标量ε＞0，有如下不等式成立：

MTF（t）N＋NTFT（t）M≤εMTM＋ε－1NTN．

引理2［13]设A，D，E，F是合适维数的实数矩阵，且FT（t）F（t）≤I，则有矩阵P＞0，对于标量ε＞0满足εI－HTH＞0时，有如下不等式成立：

（A＋DFE）TP（A＋DFE）≤ATPA＋ATPD（εIDTPD）－1DTPA＋εETE

1 系统的模型描述

由T－S模型描述的不确定模糊双线性系统，它的第i条规则可描述如下：

z（t）＝Cix（t） i∈I：＝｛1，2，…，s｝

假设：前提变量ξ（t）和控制变量及扰动变量无关；

通过单点模糊化，乘积推理和中心平均反模糊化方法，模糊控制系统的总体模型为

根据文［11] 的思想，根据并行分布补偿算法，考虑模糊控制器：

则整个系统的状态反馈控制律可表示为

这里

Di∈R1×n是待定的控制器增益，ρ＞0是待求的标量．

在控制律（4）的作用下，整个闭环系统的方程可表示为

定义1 对于给定的常数r＞0，以下条件满足：

①ω（t）≡0时，闭环系统（5）是渐近稳定的；

②在零初始条件下，对任意非零ω（t）∈L2［0，∞），满足‖z‖2＜r‖w‖2．

则称系统（5）在H∞性能指标r下鲁棒稳定．

本文目标：设计反馈控制律（4），使得系统（5）在H∞性能指标r下鲁棒稳定．

2 鲁棒稳定性分析和控制器设计

定理1 对于给定的r＞0，ρ＞0和常数ε1i，ε4i，εkij，k＝2，3；i，j∈I．如果存在着矩阵P＞0，Di，i∈I满足下面矩阵不等式（6），则闭环系统（5）是H∞性能指标r下鲁棒稳定的．

证明 选取如下Lyapunov函数：

其中：P＞0是待求的正定对称矩阵．

首先，考虑w（t）≡0时系统（5）的渐近稳定性．

在w（t）≡0时，系统（5）可改写为

沿着系统（9）的轨线，对V（t）求导，可得到

由引理1可知

把式（11）带入式（10），可得

由定理1中式（6）可知：˙V（t）＜0，所以可知系统（5）是渐近稳定的．

以下考虑零初始条件ω（t）≠0时的系统（5）的鲁棒H∞性能．沿着系统（5）的轨迹对V（t）求导，可得到

考虑

由引理2可知

式（15）和式（13）相结合，可以得到

由定理1中式（6）可知

对式（17）积分可得到

对式（18）取极限，令t→∞则可以得到：‖z‖2＜r‖w‖2．从而闭环系统（5）在H∞性能指标r下是鲁棒稳定的．

3 算例分析

为了进一步阐述前面的方法和结论，考虑如下双线性模糊系统：

其中：

则正定阵及模糊增益矩阵分别为

分别选取初始值为［－0．8 －1．5] ，［－1．1 1．2] ，w（t）＝e－0．2t（sint），利用MATLAB仿真，图1是系统变量x1和x2的状态响应，图2是控制律变化过程．由仿真结果可以看出，系统状态变量在22s后趋于平衡点．

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图1 系统分别在初始状态：［－1 1．6] （实线）、［－2－1．6] （长划线）下的状态响应曲线

图2 系统分别在初始状态：［－1 1．6] （实线）、［－2－1．6] （长划线）下的控制曲线

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