有限差分波动方程偏移波场特征定量分析

（成都理工大学地球物理学院，四川 成都610059）

有限差分波动方程偏移以波动方程式的数值解为基础，在速度变化比较平缓的情况下，能使绕射波、弯曲界面上的回转波和陡倾界面或断层面上的反射波收敛到正确位置，有助于提高解释的有效性与可靠性。该方法最初由J.F.Claerbout在70年代提出，他首先完成了15°有限差分偏移[1]。此后，有限差分偏移技术发展迅速，出现了很多能实现大倾角地层偏移的差分方法[2]。马在田提出的高阶有限差分偏移和张关泉提出的低阶大倾角有限差分偏移等都是该领域中有代表性的研究成果[3]。但是，应用有限差分偏移处理时，通常无法避免同相轴出现频散及振幅能量随倾角的增大而逐渐变化的现象，即波形畸变。因为在实际波场成像过程中，波的动力学参数是随倾角变化的，改变各偏移处理参数也无法避免这种变化，从而导致偏移剖面各倾角成像波场的特征不同，这对构造解释影响不大，但在提取地震波动力学参数进行储层研究时，这种影响就要引起足够的重视，否则会在解释时无法正确判别参数的可靠性。针对上述情况，笔者在前人研究的基础上，通过点脉冲模型有限差分波动方程偏移处理，定量分析偏移后各倾角波场主振幅、频率和相位等参数的相对变化特征，讨论了这种变化对波场的影响程度。

1 有限差分波动方程偏移原理

Claerbout[4]提出的有限差分波动方程偏移针对水平叠加时间剖面，这种剖面根据爆炸反射界面模型，可以认为是位于地下反射界面上的炮点零时刻产生的脉冲波，沿界面的法向以半速度上行到地面被记录到的上行波P（x，z＝0，t）。这样，地下任意一点任意时刻的波场P（x，z，t）都可以认为是上行波，都服从半速度的上行波方程。目前，在实际应用中较广泛的是45°的上行波方程，即：

式中，P表示波场函数；V表示地震波速度；t表示地震波旅行时间；z表示时间深度；x表示炮检距。

地面z＝0时的波场即为水平叠加剖面：

对于x方向，假定勘探区间离2个端点很远，2个端点接收到的反射波非常微弱，即可认为在2个端点波场为0。由于波在传播过程中能量逐渐衰减，因而当时间足够大时，波场也为0。利用上述边界条件和初始条件以及已知的水平叠加剖面和上行波方程，即可求出地下反射界面P（x，z，t＝0）。

2 点脉冲模型偏移试验

笔者使用的点脉冲子波模型共256道，每道256个采样点，道间隔为20m，采样时间间隔为0.004s，子波采用零相位子波。图1和图2分别为浅层点脉冲子波模型在速度为6000m／s时和4000m／s时的偏移响应。比较2图可以看出，两者有着共同之处，即在半圆的底部以及靠近半圆底部的部分，其振幅较大，频率高，可以清楚地看出界面的同相轴位置；而越接近半圆的两侧，其振幅越小，频率逐渐降低，波形受到拉伸，而且频散现象严重，很难确定界面的同相轴正确位置。两者的差异在于，速度为4000m／s的偏移响应半径较小，而速度为6000m／s的偏移响应半径较大，且在倾角较大时才出现较为严重的频散现象。

图1 速度为6000m／s时的浅层偏移响应

图2 速度为4000m／s时的浅层偏移响应

图3 速度为6000m／s时的深层偏移响应

图4 速度为4000m／s时的深层偏移响应

图3和图4分别为深层点脉冲子波模型在速度为6000m／s和4000m／s时的偏移响应。比较2图可以看出，两者的异同点和浅层点脉冲子波模型情况类似。在同一速度条件下，深层偏移响应的半径较浅层偏移响应的半径大，深层的偏移响应同样在其半圆的底部以及靠近半圆底部的部分振幅较大，频率高，可以清楚识别出界面的同相轴位置；而越接近半圆两侧的部分，振幅越小，频率逐渐降低，波形受到拉伸，而且频散现象也很严重，同样很难确定其真实地层界面的位置。

3 波场参数分析

在图1、图2、图3和图4的偏移剖面中，分别截取以各道波形最大值为中心的64个采样点作为提取波形参数的窗口数据，再通过窗口数据提取各剖面的振幅谱和相位谱。在振幅谱中，求出各道的总能量eT、最大能量值em及其所对应的频率，即主频fm。在相位谱中，找出主频所对应的相位φ。最后在各剖面中，将非零倾角道的上述4个参数与零倾角道对应的这4个参数求差，分别得到各剖面非零倾角道与零倾角道的最大能量值之差Δem、总能量之差ΔeT、主频之差Δfm和主频相位之差Δφ。

如果将各剖面中的零倾角道作为无波形畸变的道，那么，为了确定点脉冲子波模型经过偏移后波场的有效倾角范围，可以用非零倾角道与零倾角道的对应参数之差比去零倾角道的对应参数，从而得到能反映各非零倾角道畸变程度大小的4个比值，即Δem／em、ΔeT／eT、Δfm／fm和Δφ／φ。若上述比值都小于0.618，说明该非零倾角道的畸变在可接受范围内，可以真实反映反射界面；若出现大于0.618的比值，则说明该非零倾角道的畸变超过可接受范围，无法反映真实反射界面。最后，在各剖面中找出上述比值均小于0.618且倾角最大的道，该道所对应的倾角即为波场的最大有效倾角，从而确定出波场的有效倾角范围。

表1所示是速度为4000m／s时浅层点脉冲子波模型经过偏移后的波场，在倾角不超过29°时，各道的Δem／em、ΔeT／eT、Δfm／fm和Δφ／φ的比值均小于0.618，畸变程度在可接受范围内；当倾角达到30°或31°时，Δem／em、ΔeT／eT和Δfm／fm的比值依然小于0.618，但比值Δφ／φ分别达到了0.951和1.01，超过了可接受范围，因而这2个角度所对应道无法反映真实反射界面波场。浅层波场各倾角参数曲线如图5（a）所示。从图5（a）可以看出，当倾角超过31°且继续增大时，上述4个比值也继续逐渐增大，畸变越来越严重。此外，相位在倾角超过10°后，成为4个参数中畸变最严重的一个参数；频率在倾角不超过39°时，一直保持较小的畸变程度，其畸变程度远小于其他3个参数，当倾角超过39°时，其畸变程度陡然增大；最大能量和总能量随倾角变化而发生的畸变程度较为接近，当倾角小于31°时，两者畸变程度较小，当倾角超过31°时，两者的畸变程度迅速增大。

表2所示是速度为6000m／s时浅层点脉冲子波模型经过偏移后的波场，在倾角不超过37°时，各道的Δem／em、ΔeT／eT、Δfm／fm和Δφ／φ的比值均小于0.618，畸变程度在可接受范围内；当倾角达到38°或39°时，Δem／em和Δfm／fm的比值依然小于0.618，但比值ΔeT／eT和Δφ／φ超过了可接受范围，因此这2个角度所对应的道无法反映真实的反射界面。当倾角超过39°继续增大时，上述4个比值也继续逐渐增大，畸变越来越严重(见图5（b））。

表1 浅层波场各倾角参数值(4000m／s）

表2 浅层波场各倾角参数值(6000m／s）

综上所述，对浅层点脉冲子波模型进行波动方程有限差分偏移后，当速度为4000m／s时，其响应波场在29°倾角范围内是有效的；倾角超过29°的波场由于其畸变程度超出可接受范围，从而无法作为判断真实反射界面的依据。当速度为6000m／s时，其响应波场在37°倾角范围内是有效的；倾角超过37°的波场由于其畸变程度超出可接受范围，从而无法作为判断真实反射界面的依据。

表3所示是速度为4000m／s时深层点脉冲子波模型经过偏移后的波场，在倾角不超过32°时，各道的Δem／em、ΔeT／eT、Δfm／fm和Δφ／φ的比值均小于0.618，畸变程度在可接受范围内；当倾角达到33°时，Δem／em、ΔeT／eT和Δfm／fm的比值依然小于0.618，但比值Δφ／φ却超过了可接受范围，因此该角度所对应的道无法反映真实的反射界面。当倾角超过33°继续增大时，上述4个比值也继续逐渐增大，畸变也越来越严重。从整体上看，深层波场4个参数之间的相对畸变程度与浅层波场的类似，与浅层波场曲线不同的是，深层波场在倾角接近40°时，其最大能量和总能量的畸变程度较大(见图6（a））。

图5 浅层波场各倾角参数曲线

表4所示是速度为6000m／s时深层点脉冲子波模型经过偏移后的波场，在倾角不超过40°时，各道的Δem／em、ΔeT／eT、Δfm／fm和Δφ／φ的比值均小于0.618，畸变程度在可接受范围内；当倾角达到41°时，Δem／em和Δfm／fm的比值依然小于0.618，但比值ΔeT／eT和Δφ／φ超过了可接受范围，因此这2个角度所对应的道无法反映真实的反射界面。当倾角达到42°时，Δem／em、ΔeT／eT和Δφ／φ的比值都超过了可接受范围，因此该角度所对应的道也无法反映真实的反射界面。当倾角在30°至40°之间时，总能量和相位一直保持相近的畸变程度；当倾角超过40°时，两者的畸变程度又迅速增大(见图6（b））。

表3 深层波场各倾角参数值(4000m／s）

表4 深层波场各倾角参数值(6000m／s）

图6 深层波场各倾角参数曲线

综上所述，对点脉冲子波模型进行有限差分波动方程偏移后，当速度为4000m／s时，其深层波场在32°倾角范围内是有效的；倾角超过32°的波场由于其畸变程度超出可接受范围，从而无法作为判断真实反射界面的依据。当速度为6000m／s时，其深层波场在40°倾角范围内是有效的；倾角超过40°的波场由于其畸变程度超出可接受范围，从而无法作为判断真实反射界面的依据。

4 结 语

利用45°有限差分波动方程偏移对不同深度点脉冲子波模型进行试验处理，通过分析点脉冲子波模型偏移后的各波场参数，得到上述参数的有效倾角范围。当速度较低(约4000m／s）时，偏移后得到的浅层响应波场在29°倾角范围内是有效的；深层响应波场在32°倾角范围内是有效的。当速度较高(约6000m／s）时，偏移后得到的浅层响应波场在37°倾角范围内是有效的；深层响应波场在40°倾角范围内是有效的。研究结果表明，45°有限差分波动方程偏移对不同速度和不同深度波场影响的程度不同，当对叠加剖面进行大倾角偏移处理时，高角度、浅层和高速度偏移处理波场的动力学参数对储层预测的影响都是不可忽略的。笔者只进行了45°有限差分波动方程偏移波场特征的试验分析，对其他偏移成像处理方法这种波场的变化同样存在，因此各种偏移方法与各倾角、速度、深度及其他参数对波场成像精度的影响仍然有待进一步研究。

[1]张关泉 .Claerbout方程差分格式的能量估计与稳定性 [J].数值计算与计算机应用，1986，7（4）：193-194.

[2]金孟哲 .波动方程快速差分偏移方法 [J].石油地球物理勘探，1986，21（5）：477-485.

[3]马在田 .高阶方程便宜的分裂算法 [J].地球物理学报，1983，26（4）：377-388.

[4]贺振华 .反射地震资料的偏移处理与反演方法 [M].重庆：重庆大学出版社，1989.