应用型背景下的《常微分方程》课程改革研究

乔宗敏

（合肥师范学院 数学系，安徽 合肥 230039）

应用型背景下的《常微分方程》课程改革研究

乔宗敏

（合肥师范学院 数学系，安徽 合肥 230039）

应用型人才培养模式下，传统课程体系、教学方法和手段都要进行深刻的改革。常微分方程理论具有较强的应用性，对培养学生实践能力和创新意识有很大的帮助，因此研究常微分方程课程改革有重要的意义。本文从六个方面对常微分方程课程改革的内容及教学方法进行了一些实践与探索。

常微分方程；改革；应用能力

按照学院应用型人才培养目标的要求，新的人才培养方案已经实施，为了把应用型的理念落到课程，应用型的课程体系和课程内容的改革势在必行。如何用新的思路去改进教学方法，如何将新知识新方法注入教学中成为“常微分方程”课程教学面临的新课题。围绕培养“应用型人才”的需要，我们拟对常微分方程课程进行教学改革，以重视学生在学习中的主体地位为前提，努力培养学生的创新意识和实践创新能力。坚持“精讲基础，注重应用，提高能力”的教育改革模式，培养具有良好数学基础，能应用微分方程研究和解决一些基本的实际问题。

目前教学中存在的问题［1］：面临学时普遍压缩的局面，在教学内容的处理方面，只注重讲授微分方程的基本概念、基本理论及其解法，而不讲或略讲常微分方程模型的建立方法及方程的实际意义。事实上，很多的常微分方程反映的是物理、力学、生物、化学及气象中的关系模型等，弄清楚这些具体问题对于培养学生对常微分方程的学习兴趣是极其重要的。课堂教学上往往呈现 “老师在上面讲，学生在下面记”的情形．这样的教学完全忽视了学生学习的积极性，扼杀了学生的创新意识和创新能力；在习题的解答上也是老师代替学生独立思考问题使学生形成“为了考试和学分而读书”的不良局面．灵活性不够，授课方式单一，忽略了课堂教学应以学生为中心。也面临着学时减少与教学内容不变的矛盾．也有一个观点认为，按给的学时来上课，讲到哪里就算哪里，其余的让学生自学．然而，根据以往的经验，如果老师没有讲的内容，绝大多数学生不会自己去看，何况很多内容如果没有教师的指导，学生自己是看不懂。教学内容的处理不太合理，有些定理的证明过程往往是很重要的，但是由于时间关系，教师往往会略去一些复杂的证明，导致学生的掌握一知半解。

常微分方程课程改革与建设的主要目标为制定课程标准和课程大纲，修订教学计划，优化课程体系结构，整合、更新教学内容，全面进行课程建设，改进教学方法，整体提高教学质量。课堂教学将始终贯穿知识的应用，不再是完全理论的学习，而是与现实生活紧密联系，把方程在数学模型中的应用充分的体现出来，调动学生的学习热情。同时完善课程的课件，改进教学手段。课程改革和建设的基本思路和主要措施有：

1 课程标准和教学大纲的制定

新的教学大纲，在教学大纲中要贯彻保证三基（基本理论、基本方法、基本技能），培养学生的能力，增强学生的数学应用意识，努力提高学生的素质。以能力培养为导向，与培养目标完善关于教材的使用意见、课程体系的理论框架。主要围绕该课程各知识之间的紧密联系进行重新整合，使得各个知识点形成一个有机整体。新课程标准中突出以应用为目的，以“够用”为度的教学原则，在内容上和教学时数上主要体现在以下几个方面：适当压缩教学课时、突出应用设计理念、优化组合内容。教学大纲按照“基础理论＋应用模块”的设计思路，打破原有的理论知识体系，按照能力取向和知识的特点设计组织课程单元，每个单元按照“问题的提出－问题的分析－问题解决－程序实现”编排，充分融入数学建模思想，提高课程的学习效果。

2 更新教学内容

根据教学大纲确定的理论体系和知识单元，合理组织教学内容，对传统教材内容作适当的编排、增减，保证课程体系更科学，在内容选择上更适合学生的能力应用能力的培养。对常微分方程教材的内容进行优化，大体上应包含下列主要内容［2］：求通解的各种方法——初等积分法；线性方程、线性方程组的基本理论和初等解法；初值问题解的一般基础理论；一般非线性方程（组）的定性方法初步介绍（包括稳定性理论初步）。在教学中适当删减理论性偏强，过程烦琐的定理证明，多增加应用性的例题和题目，例如利用微分方程建立数学模型方面的例题，利用现代计算机数学软件去解微分方程及方程组等方面的知识，引导是学生通过学习 Matlab、Mathematic、Maple等数学软件来验证一些微分方程的理论上的求解方法，使学生在的理论水平和实践能力都得到了提高。根据具体章节内容还可以选择适当的案例，细菌增长模型、生物种群生态模型、SIR传染病模型、悬链线问题、战争模型、数学摆的稳定性问题等。由于课程的应用面越来越广泛，与其他课程之间的联系日益紧密，组织教学内容始终贯穿知识的应用，不再是完全理论的学习，而是与现实生活紧密联系。同时，在教学中贯穿知识关联，了解微分方程与各课程之间的紧密联系，为后继课程（如数学建模、微分几何、数学方程、泛函分析等）的学习服务。

3 倡导问题解决的教学模式

不少学生在学习微分方程时，不知道有什么用途，缺乏学习的动力和兴趣，导致学生认为数学是一门非常枯燥的学科。数学建模的思想为我们提供了一种对常微分方程改革的思路，就是要把常微分方程的教学与数学建模结合起来，在常微分方程教学中渗透建模思想，这样不但可以使学生了解常微分方程建立的背景、方法和实际意义，而且还能提高学生将常微分方程、计算机等方面的知识应用于实践的能力，提高学生数学建模的能力。课堂教学中贯穿微分方程知识在现实生活中的应用，结合典型的微分方程模型，让学生初步掌握用微分方程建立数学模型。从实际问题出发建立具体微分方程模型，然后抽象为一般微分方程模型；从实例的求解方法分析到一般求解方法的提炼，进一步分析解的性质；从数学思想的直观理解到严密的数学推理、论证；抽象数学理论体系与实际应用的关系；这些是课堂教学的改革方向。纯粹的理论分析与计算机辅助教学和学习相结合的关系，实现课程与技术的完美融合。课堂讲授采用计算机多媒体进行教学，从问题的提出入手，重点在于对问题进行理论分析，建立微分方程模型，在过程中展示理论知识的巨大作用，利用网络积极采用“教学模拟”、“教学游戏”、“智能导师”、“微型世界”、“情景化学习”、“探究性学习”等现代教学方法［3］。在课堂教学中，讲解理论和方法时，尽可能选取实例加以分析。如对物体冷却过程的数学模型建立，完整的讲解从实际背景出发，建立微分方程，然后运用所学的知识来解方程，讨论解的各种情形，并做出关于背景的解释，从而掌握常微分方程的基本方法。

4 开设讨论课，提高自主学习和和研究能力

加强讨论课的教学以培养学生的自主学习能力，拿出部分内容让学生走上讲台，让学生开始实现从“听众”到 “演员”的角色转换，培养他们对问题的报告能力、讲解能力和快速反应能力，对于师范专业的学生，以后他们无论是继续攻读研究生还是到学校任教，都需要这样的能力。教师给予一定的指导，有较好效果的给予一定的鼓励，成绩以附加分的形式记入期末总评成绩，让学生参与讨论课的教学全过程，相互之间通过分析、讨论去寻求解决问题的方法，这样才能体现学生在学习中主体地位，同时培养了学生分析问题，运用所学的知识解决问题的能力，从而提高学生的素质。根据内容特点，在理论难度较大的部分，如存在唯一性及其解的延拓、解对初值连续性定理等，组织课堂讨论，除概念本身外，用典型求解的最大存在区间例题让学生讨论、总结，使学生能更好地理解定理内容。以专题形式，让学生进行创新性学习，以小组的形式体验解决问题的全过程，提高学习的乐趣和学生的积极性。

5 指导学生撰写小论文，重视学生的主体作用

学生参与分析解决问题的动态过程，重视学生主动探索、获取知识的主体能动作用。例如在讲解积分因子这一节内容时，向学生阐明，只要有解的一阶显式微分方程都存在积分因子，那么变量分离方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程的积分因子能否求出来？如果能用积分因子法解此类方程则与原有的方法之间又有什么联系与区别？提出思路让学生动手去撰写小论文，这样培养了学生独立思考、寻求事物之间的相互联系的能力，同时也培养了学生的数学研究能力。小论文可以独立完成，也可以小组合作完成，从而可以培养学生的团队合作精神［4］。

6 开放数学建模实验室，开发利用网络资源

为了进一步提高学生的应用和动手能力，以数学建模实验室为依托，定期向学生开放。一方面可以完成规定的实验项目和实验作业，另一方面学生可利用提供的设备，自己设立题目，教师的作用是指导和审核学生提出的方案与题目，从而培养学生的创新能力。同时可以把制作的电子课件上传到校园网上，方便学生进行自主学习，打破了学生在学习时间上的限制和教师在辅导教学中的被动性，使教和学互动起来，真正达到教学相长的目的，同时也增加了学生自我学习的积极性，有效改善了传统教学手段的单一性，一定程度上可以弥补课堂教学学时的不足。网络资源平台可以给学生提供微分方程学习资源，促进学生自主学习能力的提高［5］。

对常微分方程课程内容的整合和教学方式的改革，还必须有配套的考核机制的改革，实现考核形式多元化，重视过程性考核，学生出勤、上课表现、作业完成情况、讨论课和小论文撰等都可以作为考核评价项目，同时尝试开展双语教学、采用英语板书可以扩大学生视野，培养学生的综合能力。学生应用能力的培养才能培养出基础知识扎实，专业知识面宽，实践能力强的应用型人才。

［1］ 王高雄等．常微分方程（第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2007．

［2］ 张伟年．本科数学专业常微分方程教学改革与实践［J］．高等理科教育，2003，1：19-21．

［3］ 李大潜．将数学建模思想融入数学类主干课程［J］．中国大学数学，2006，1：9-11．

［4］ 刘会民，那文忠等．常微分方程课程教学模式的改革与探索［J］．数学教育学报，2006．2．

［5］ 徐胜林．常微分方程学习指导［J］．高等函授学报，2004．2：19-21．

The Research of Curriculum Reform in Ordinary Differential Equations under the Applied Environment

QIAO Zong-min（Department of Mathematics，Hefei Normal University，Hefei Anhui 230061）

Under the training model of the application-oriented，the traditional curriculum，teaching methods and means should be reformed in depth．Ordinary differential equation theory has a strong application，which is a great help to students in practical ability and innovation．Therefore the reform study of ordinary differential equations curriculum has important significance．In this paper，from six aspects some practice and exploration of curriculum reform content and teaching methods are given for ordinary differential equations．

ordinary differential equation；reforming；application ability

O175．1

A

1674-2273（2011）06-0020-03

2011－07－10

安徽省高等学校教学研究项目（2010J248A）

乔宗敏（1975－）男，山东无棣人，博士，合肥师范学院数学系副教授。