一类二阶中立型动力方程振动性分析

2011-04-11 02:10王权

山西大同大学学报(自然科学版) 2011年5期

关键词：时标二阶单调

王权

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009)

时标是测度链的一种特殊情形，我们通常用符号T来表示一个时标，如果T是实数集R上的一个非空的闭子集，我们称T是一个时标。

时标上动力方程振动理论是动力方程定性理论的一个重要分支，近年来受到国内外学者的广泛关注，见参考文献[1-5]，关于时标的基本理论可见文献[6-7]，在文献[8]中，赵建军，赵爱民讨论了时标上二阶中立型动力方程

的振动性，得到了方程所有解振动的充分条件。本文主要基于现有文献[8]基础上讨论时标上二阶中立型动力方程的振动性并进行分析证明，从而推广现有的结论。

本文讨论的问题,需要一些特定的背景,为此给出如下一些定义：

定义 1 任一时标 T，对 t∈T,设 infø:=supT,定义前跳算子 σ:T→T 为 σ(t)=inf{τ∈T:τ＞t}对 t∈T,设 supø:=infT,定义后跳算子 ρ∶T→T 为 ρ(t)=sup{τ∈T:τ＜t}。当 σ(t)=t时，称 t是右稠密的；当 σ(t)＞t时，称t是右分散的。同样，当ρ(t)=t,ρ(t)＜t时，分别称t是左稠密的和左分散的。如果T有右分散那的最小值点m,则Tk＝T{m}。否则，Tk＝T。如果T存在左分散的最大值点M，则Tk＝T{M}。否则，Tk＝T。

定义2 定义μ(t):=σ(t)-t为时标上的链函数。对此我们还可以从微分方程的未知函数定义域R和差分方程未知函数定义域Z来理解，当T＝R时，μ(t)=0,σ(t)=t，ρ(t)=t，定义域内每一点既是左稠密点又是右稠密点，即稠密点；当T＝Z时，μ(t)=1,σ(t)=t＋1，ρ(t)=t－1，定义域内每一个点都既是左分散点又是右分散点，即分散点。

定义3 如果a，b∈T，则我们定义[a,b]={t∈T∶a≤t≤b}。如果 b是左稠密点，则有[a,b]k=[a,b]，如果是左分散点，则有[a,b]k=[a,b)。

定义4 函数f:T→R,t∈T(如果t=supT,则认为t不是左分散的)，如果对于∀ε＞0,存在t的某个领域U,使得对于所有的s∈U,有

则称函数f在点t处是△可导的，记作f△(t)(如果极限存在)。

定义5 函数f:T→R,t∈TK,如果有实数f▽(t),使得对∀ε＞0,存在 t的一个开领域 U(即 U＝(t－δ,tδ)∩T, δ＞0 为某一实数)，对所有的 s∈U,都有

成立，则称f▽(t)为f在t点的▽－导数。

定义6 函数f是右稠密连续的是指f在右稠密点连续且在左稠密点左极限存在。也称f为连续的。记为f∈Crd(T,R)。

如果函数f是右稠密连续的，则存在一个函数F(t)满足 F▽(t)=f(t),这时，有

考虑时间尺度上的二阶中立型动力方程

解的振动性，其中 pi∈Crd(T,R＋),τ,δi∈(0,∞)，使得对所有 t∈T，有 t－τ,t－δi∈T，fi∈C(T×R,R)，i＝1,2,…，n，并得到方程所有解振动的充分条件，推广了文献[8]中的相关结果。

我们先给出所需条件：

(H1)存在 P∈(0,1)，使对充分大的 t∈T，成立。

(H2)对 i＝ 1，2，…，n，存在∈(CR,R)，qi∈Crd(T,R＋),单调不减，使当 u≠0 时有(u)＞0 且