中职立体几何相关概念教学探新

习明（桐庐电大进修学校 浙江 杭州 311500）

中职立体几何相关概念教学探新

习明
（桐庐电大进修学校 浙江 杭州 311500）

在立体几何概念教学中，教师要引导中职生正确认识概念之间的逻辑联系，使知识系统化、条理化，可通过剖析知识结构、完善空间概念，类比转化、纵横开拓，由问题链生产新的认知结构等方式来实现。

中职；立体几何；概念；知识结构

所谓系统,就是处于相互作用中并与环境处于相互联系中的元素的复合体。数学是一门系统性很强的科学。美国教育心理学家布鲁纳指出：“学生学过的知识，如果没有圆满的结构把它联系在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。一连串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命。”

从概念的发展来看，概念建构活动就是一个学习者不断修正原有的概念系统的过程。概念发展的建构活动包括对概念的不断深化理解和对错误观念的纠正活动。

在立体几何概念教学中，教师要引导中职生正确认识有关概念之间的逻辑联系，认识它们的外延之间的关系，通过比较加深对概念的理解，使知识系统化、条理化。

剖析知识结构，完善空间概念

很多中职生对概念记忆不清，或是不能完整地叙述有关概念，总感到“似曾相识”，在教师的提示下才能回忆起来。这说明很大一部分中职生还没有形成自己的认知结构。怎样让学过的知识能清晰、迅速地反映在自己的脑海中，为己所用呢？这就是建立知识结构的问题。

立体几何研究的对象是空间图形。组成空间图形的基本元素是直线和平面。立体几何部分的知识结构是以直线、平面的位置关系和度量关系为主线。由直线、平面相互的位置关系可以引出三组关系：直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系，其中直线与直线的位置关系是本章的出发点和归宿点。每组关系可从定性与定量两方面进行研究。

直线与平面的三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交、直线与平面平行。从定性上研究，直线在平面内，直线在平面外；有无数个公共点、有1个公共点或没有公共点；每一种关系只列出一对具有代表性的判定定理、性质定理（直线在平面内是作为公理1出现的）。定量的研究是指如何在数量上描述各种不同的位置关系：对平行关系用距离来描述它，对相交关系用交角的大小来描述它。直线与直线的位置关系、平面与平面的位置关系的定性和定量的研究同理。

如果让中职生自己归纳知识结构，用图形或树形网络建立平行系统、垂直系统、平面公理系统、射影系统等，尽管归纳有些缺陷，但是与没有建立知识结构的学生相比，对这些知识的掌握就牢固得多，用得也更轻松。实践证明，用概念收缩和扩大的动态观点启发中职生建立概念的结构系统，告诉他们复习时多思考脑子里的知识结构，可以保持学生对已学知识认知上的熟练感，从而熟能生巧、巧能生辉。

类比转化，纵横开拓

思想是数学思维的“软件”，方法是数学思维的“硬件”。在解决立体几何的问题中，用到的主要数学思想方法就是类比和转化。

所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。所谓知识的迁移，是指已经掌握了的知识对学习新的知识发生的影响和作用。如果原有知识对于新知识的影响是积极的，则称为正迁移，反之是负迁移。

建构主义认为，数学学习活动是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动建构过程，学习者能否主动建构并形成良好的认知结构，取决于原有的认知结构是否具有清晰（可辨别的）、可同化新的知识的观念（固定点、生长点）以及这些观念的稳定情况。所以，教师在钻研教材、设计教法时不仅要从整体上把握教材知识结构，而且要从纵向考虑新旧知识是如何连接延伸的，从横向考虑新旧知识是如何沟通联系的，从而找准新旧知识的连接点、不同点和新知识的生长点。

抓住联系，促进正迁移 从平面问题到空间问题的发展，是立体几何知识发展的一条主脉络，抓住这种联系进行学习省时省力。例如在概念方面，平面的概念与直线的概念；二面角的概念与平面内角的概念；线面、面面平行的概念与两直线平行的概念；点面、线面、面面及两异面直线距离的概念与平面几何中点线、线线距离的概念等。

通过对比，排除负迁移 建构主义认为，要促进学生的主动建构，就要抓住新旧知识的不同点，引发认知冲突，为学习新知识创设情境，激发学生的学习兴趣，引发和保持学生的学习动机；帮助学生建构当前所学知识的意义；通过及时反馈，纠正错误的或模糊的认识，既能增强原有知识的清晰性，又能强化知识的固定点。由于平面几何中的基本概念在立体几何中未必正确，加上平面上的形象能用平面图形真实地反映，但空间上的形象则未必能。因此，在学习立体几何的概念时，中职生所受到的负迁移的影响比较大，而且时间较长，在教学中教师要加强对比教学，努力提高新的内容与原有平面几何概念系统的可辨别程度。图形对比：在平面内，AB∥CD则有∠1=∠2（内错角），但在空间中，∠1=∠2但AB不平行于CD（∠1、∠2分别是AB、CD与第三条直线MN所成的角）。性质对比：可将二面角与角的性质从引入、定义、构成、表示法等方面进行对比，异同点一目了然。

善于转化，融于一体 转化思想是理解与解决立体几何问题的最重要的数学思想方法，转化可将平面几何知识与立体几何知识融于一体。如教师在讲异面直线概念时，可引导中职生实验、思考，把平面内的两条相交（或平行）直线中的一条，平移离开平面一段距离（或旋转一定角度，不使它们相交），则这两条直线的位置关系如何呢？这种位置关系如何用图形语言表达出来呢？从运动变化的观念来阐述立体几何中的有关概念，中职生容易理解。对于立体几何问题，如果教师引导中职生作截面、作侧面展开图、平移、投影等，问题往往迎刃而解。立体几何概念的转化，也通常是“降维”处理。如“面面平行”转化为“线面平行”再转化为“线线平行”，“面面角”转化为“线面角”再转化为“线线角”等等。当然也可建立不同层次的（平行）垂直关系的转化图等。许多立体几何图形都是由平面几何图形平移、旋转、翻折得到的。平面图形与空间图形互相转化时，线线、线面、面面关系可能变化，也可能不变。教师要引导中职生对转化前后的情况作出比较，深刻理解二者的联系与区别。比如将矩形的纸片ABCD沿对角线对折成空间四边形ABCD。中职生根据自己折的纸片发现折叠形成的空间四边形ABCD中，原来的AB⊥BC，AD⊥CD的性质保持不变，但平行线AB、CD变成异面直线，AB与AD也不垂直了。

为进一步培养中职生的空间想象能力，可让中职生直接想象转化前后那些变了，那些没变，不过这对于他们有些困难，然后启发引导他们通过折纸来观察，使平面定势顺利过渡到空间。

由问题链生成新的认知结构

建构主义认为，为充分发挥学生学习的自主性，教师应尽量引导学生主动发现问题，主动搜集、分析有关信息和资料；教师应对协作学习过程进行引导，如提出适当的问题引导学生思考和讨论；让学生自己去纠正错误或片面的认识。

美国著名数学家哈尔莫斯指出：“我坚信问题是数学的心脏。我希望作为教师，无论在讲台上，在讨论班里，还是在我们写的书或文章里，要反复强调这一点，要训练学生成为比我们更强的问题提出者和问题解决者。”

几何概念的学习过程，实质上是数学认知结构的发展变化过程，那么正确认识概念、掌握概念并应用它解决数学问题，使原有的认知结构同化或顺应新知识，形成新的认知结构，就成为立体几何教学的一个重要组成部分。如何才能让中职生驾驭这些概念呢？为了处理好接受学习与发现学习的关系，教师应在教学中创设一系列具有内在联系的问题，形成一个螺旋上升的数学知识结构——问题链，通过逐层解决，最终达到解决问题的目的。

例如，在复习立体几何的概念时，可采用以下是非判断题，让中职生在较短的时间内通过类比、分析、归纳来正确回答，使他们对所学的概念系统化和整体化。

问题1：平面内，平行（或垂直）于同一直线的两直线平行？

变式1：空间中，平行（或垂直）于同一直线（同一平面）的两直线（两平面）平行（垂直）？

变式2：空间中，平行（或垂直）于同一直线（同一平面）的直线和平面平行？

问题2：平面内，一条直线垂直于两平行线中的一方，必垂直于另一方？

变式1：空间中，一条直线（一平面）垂直于两平行线 （两平行平面）中的一方，必垂直于另一方？

变式2：空间中，一直线（一平面）垂直于相互平行的直线和平面中的一方，必垂直于另一方？

问题3：平面内，若一个角的两边分别平行（或垂直）于另一个角的两边，则这两角相等或互补？

变式1：空间中，若一个角的两边分别平行（或垂直）于另一个角的两边，则这两角相等或互补？

变式2：空间中，若一个二面角的两个面分别平行（或垂直）于另一个二面角的两个面，则这两个二面角相等或互补？

变式3：空间中，若一个角的两边分别平行（或垂直）于另一个二面角的两个面，则这个角和这个二面角相等或互补？

上述问题链锁住整个立体几何的主要位置关系，问题与问题之间及每一问题的子问题之间紧紧联系在一起，抓住这种联系不仅有助于认知结构的建构，而且对于中职生立体几何概念学习能力的提高大有益处。例如，在“直线与平面的位置关系”一课中，引导学生提出问题：（1）直线与平面可能有几种位置关系？你能根据公共点的情况进行分类吗？（2）如何判定直线与平面平行？即由什么条件可以得出线面平行的结论？（3）如果直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的任意直线都平行？即这条直线与平面内的哪些直线平行？能否在平面内找出与这条直线平行的直线？

在教学中，教师要引导中职生独立面对问题，主动参与问题的提出和解决；当进行课堂教学的内容小结时，教师可回到教学过程中提到的如上几个主体问题。这样，留在中职生记忆中的还是问题，但这时的问题是带有问题解决的方法与过程的，当中职生遇到类似问题（结构）的时候，会还原记忆中的思想方法，而这正是数学教学的根本目标所在。

[1]付夕连，谭成波，梁家君.数学概念的系统分析[J].洛阳大学学报，2004，（4）：15.

[2]丁茂海.点击立体几何的教学[J].上海中学数学，2007，（11）：3.

[3]马丽梅.初中几何教学研究[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2004.

（本文责任编辑：张维佳）

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1672-5727（2011）08-0115-03

习明（1976—），女，湖北随州人，教育硕士，桐庐电大进修学校讲师，研究方向为中职数学。