基于间谐波泄漏估算的谐波间谐波分离检测法

惠 锦 杨洪耕

（四川大学电气信息学院 成都 610065）

1 引言

间谐波和闪变的研究在电能质量领域已引起广泛关注[1-8]，变频装置及高压直流输电的使用导致大量间谐波注入电力系统。间谐波频率与基频的不同步会使信号峰值和有效值发生周期性波动，从而引发信号闪变。在闪变的成因上，研究表明，由间谐波引起的电压闪变已逐步占据主导地位[7-8]。目前对间谐波分析的研究重点主要为：①如何判定间谐波是否存在；②若间谐波存在，如何准确检测出主导间谐波成分。

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform,DFT）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform,FFT）是目前分析谐波、间谐波的最常用工具。但是观测数据的有限性和采样的非同步性会使信号在频域出现频谱泄漏。抑制泄漏影响最简单的方法就是加长采样窗口或者选取合适的窗口长度，使信号中各个频率成分近似相互同步[9]。但是当信号中含有间谐波时，满足同步条件的采样窗口往往非常长，不能满足IEC61000−4−7 的推荐标准[10]（对于60Hz和50Hz 系统分别为十二个周波和十个周波），在信号非平稳的情况下也是不适用的。现有的同步锁相技术或软件插值方法已可使采样频率同步跟踪信号基频，此时由谐波间干扰引发的检测误差已占据次要地位或接近于零。由于间谐波频率的不可预见性，采样在十个周波内很难做到对间谐波同步，此时谐波和间谐波之间的频谱干扰必然存在。而引起闪变的间谐波往往与谐波非常接近，它们的相互干扰成了检测误差的主要来源。

文献[11]根据IEC61000−4−7，提出了一种同步采样下（以下的同步采样均是指采样对基频的同步）基于时域平均（Time Domain Averaging，TDA）的检测方法，该方法在一定程度上抑制了谐波和间谐波间的频谱干扰[11-12]。但其计算所得谐波参数与对信号直接进行DFT 所得参数完全相等，间谐波对谐波的干扰仍然存在[12]。当某一间谐波频率与谐波频率非常接近（小于一个频率分辨率）时，主瓣发生重叠，上述方法和以往的加窗插值方法[13-21]在此情况下对于区分谐波和间谐波成分是无能为力的。

本文同样以 IEC 推荐的采样窗口长度和形状（矩形窗）为前提，提出了一种谐波、间谐波分离检测法。其关键在于利用非谐波频点的离散频谱，估算间谐波在谐波频点上的泄漏值，从而准确提取出信号中的谐波成分，实现谐波、间谐波的分离。在计算泄漏值时，通过变量重组，把非线性方程组转化为线性方程组来求解，提高了计算速度和精度。仿真和现场实测算例证明了此方法即使在谐波和间谐波发生主瓣重叠的情况下，依然可以得到满意的结果。

2 间谐波引起闪变

间谐波频率和基频的不同步，使信号峰值和有效值发生周期性波动，引起信号闪变。如图1 所示为一含有间谐波的波动信号。波动频率为

式中，if 为间谐波频率；hf 为离间谐波最近的谐波频率。对应图1，。

图1 含47Hz 间谐波的信号波形 Fig.1 Waveform of a signal containing 47Hz interharmonic

3 谐波间谐波之间的频谱干扰

3.1 间谐波对谐波频谱的干扰

令谐波信号：

表1 谐波信号参数 Tab.1 Harmonic signal parameters

DFT/FFT 是对信号连续频谱 DTFT（Discrete Time Fourier Transform）的采样。当信号中只含谐波成分且采样同步时，DFT/FFT 所得谐波参数完全准确，各谐波成分在离散频谱上不存在相互干扰，如图2 所示。

图2 谐波信号的幅值频谱图 Fig.2 Amplitude spectra of a signal without interharmonic

当信号中含有间谐波时

采样对间谐波而言是非同步的，其连续频谱DTFT 在谐波对应频点上不为零，通过DFT/FFT 检测到的谐波参数会有误差，如图3 所示。根据时域频域的相互关系，可以通过加长采样窗口的长度以减小间谐波对谐波的干扰，但是，这正是矛盾所在，IEC 标准规定为10 个周波，因此如何在10 个周波条件下作准谐波和间谐波检测是本文要讨论的。

图3 含间谐波信号的幅值频谱图 Fig.3 Amplitude spectra of a signal with interharmonic

3.2 谐波对间谐波频谱的干扰

图3 看出谐波对间谐波在连续频谱DTFT 上存在干扰；但对于离散频谱DFT/FFT 而言，由于谐波频谱在除了各自对应频点外的其他频点上为零，以5Hz 为频率分辨率的离散频谱（去除谐波对应频点）为间谐波单独作用的结果。但对于目前的频域双峰谱线插值而言，当谐波与间谐波的频率差大于半个主瓣宽度时（对应矩形窗为5Hz），谐波在DFT/FFT结果上对间谐波的两根峰值谱线没有影响，间谐波检测的误差主要是由栅栏效应和各个间谐波之间的频谱干扰所引起。但当间谐波的频率与某一谐波频率之差小于半个主瓣宽度时，谐波在DFT/FFT 结果上就会对间谐波的两根峰值谱线产生较大影响。

4 基于TDA 的谐波间谐波检测法[11]

同步采样下抑制谐波和间谐波间频谱干扰的研究始于文献[11]。其通过时域平均提取拟谐波信号，原始采样信号 [ ]s k 减har[ ]s k′ 得到差分信号，对应拟间谐波信号，通过对差分信号做CZT 或补零DFT 分析得到间谐波参数。

差分信号与真实间谐波信号之间差异的大小主要取决于拟谐波信号的准确程度。真实的间谐波信号为

与差分信号相差一个偏差量har[ ]s kΔ ，称之为拟谐波偏差信号，这是由间谐波对谐波频谱的干扰所引起的。它可以作为度量谐波、间谐波分离水平或误差的标志。

通过基于TDA 方法检测到的谐波参数与信号直接做DFT 所得结果完全相同[12]，其本质只是把采样窗口从一个周波扩展到M（M＞1）个周波，通过加长采样窗口长度来使各信号在频域接近脉冲信号以减少频谱干扰而已。间谐波和谐波之间的干扰依然存在，在其频率非常接近时尤为明显。

5 谐波间谐波分离检测法

5.1 DFT 的理论分析

设某一电力信号包含多个频率成分，其中某一成分

式中，A 为其幅值；ϕ 为其相角；f 为其频率。以sT为采样周期对信号采样得到

其离散傅里叶变换（DFT）为 转换形式得到

当sT 足够小的时候，可以认为

把信号的频率写成

则

根据IEC61000−4−7，以50Hz 系统为例，推荐的采样基波周期数 10M = 。下面分别讨论Mh 为整数和非整数两种情况。

Mh l= 为整数，则 /10h l= （l 为整数），对应信号频率。此时很容易得出

信号DFT 结果在除了其对应频点外的其他频点上为零。若信号中各成分的频率都是5Hz 的整数倍，那么各个成分之间不存在频谱干扰。同步采样下，各个谐波成分正是如此。

由此得出，采样对谐波同步时，信号DFT 结果如果在除了谐波对应频点以外的其他频点出现了非零值，说明间谐波必然存在，并且这些非零值由间谐波单独产生。若能够准确估算出间谐波在谐波频点上的泄漏值，那么谐波参数就可以得到准确估计。而本文方法估算的核心就在于，利用谐波频点左右的DFT 值（由间谐波单独产生）估算得到间谐波在谐波频点的泄漏值。

5.2 间谐波泄漏估算

令 h ma 为所有间谐波成分在h 次谐波附近m 个频 点的泄漏值（m＞0 表示在谐波频点右边，m＜0 表示在左边）。

任一频率为f 的间谐波频域表达式如式（10）所示。在h 次谐波频点右边m 个频点的泄漏值为

简化式（14），得

5.2.1 计及谐波附近的一个主导间谐波成分

设计及的主导间谐波频率为1f ，则

求得系数 1fC 、1fD ，估算得到间谐波在此谐波频点上的泄漏值：

5.2.2 计及谐波附近的两个主导间谐波成分

设计及的主导间谐波频率分别为1f 和2f ，则

重组变量：

得到线性方程组

估算得到间谐波在此谐波频点上的泄漏值

用泄漏值修正原始频谱得到真实的h 次谐波参数

若考虑负频率成分或者多个间谐波成分，同样可以通过变量重组把非线性方程转换为线性方程，从而估算得到所有间谐波在各个谐波频点的泄漏值。

5.3 谐波间谐波分离法的步骤

本方法的思想在于把谐波信号从原始信号中准确分离出来，由此去除谐波和间谐波之间的频谱干扰。具体步骤如下：

图4 算法流程 Fig.4 Flow chart of the proposed method

6 算例分析

6.1 计算机仿真算例

采用文献[11]中的两个仿真信号进行分析，具体参数见表2。分别对应间谐波、谐波之间频率差小于和大于5Hz 两种情况：

采样频率对应 200N = ， 10M = 。

表2 仿真信号参数 Tab.2 Signal parameters

分别采用四种方法对各成分参数进行计算，方法1 为加矩形窗的双谱线插值法[17]，方法2 为加Nuttall 窗的双谱线插值法[18]，方法3 为基于TDA的方法[11]，方法4 为本文方法。

对于信号1，由于间谐波信号频率和二次谐波频率只相差3.5Hz，对于IEC61000−4−7 的频率分辨率而言，在频域其主瓣会和谐波主瓣发生干扰。对采样信号进行DFT 计算，得到离散频谱和补零后的拟DTFT 连续频谱图如图5 所示，从中可以看出间谐波和二次谐波无法准确分离，采用以往的频域插值算法得到的结果显然是不可信的。对于信号2，间谐波信号频率和基频差 12.5Hz， 这对于IEC61000−4−7 推荐的加矩形窗的频谱分析而言，不存在谐波和间谐波的主瓣干扰。但是对于文献[18]所提方法而言，它们存在主瓣的相互干扰，因为加窗的目的只是抑制了旁瓣泄漏，而在10 个周波这么 短的窗口内，各频率成分间主瓣之间干扰的可能性会随着加窗而增大。一般加窗插值的方法的采样窗口长度都不能满足IEC 的要求。

图5 幅值频谱图 Fig.5 Amplitude spectra of the signals with interharmonics

图6 拟间谐波信号的幅值频谱图 Fig.6 Amplitude spectra of the interharmonic

通过表3 和表4 可以看出，本文方法可以很好地区分谐波和间谐波，计算精度上也有明显的优势。虽然基于TDA 的方法也可以分辨出谐波和间谐波，但从图7 所示的拟谐波偏差信号可看出，基于TDA的方法得到的分离误差要远远大于本文方法。

图7 拟谐波偏差信号的时域图 Fig.7 Waveforms of the harmonic error signal

表3 间谐波频率计算结果误差对比 Tab.3 Calculation errors of interharmonic frequency

表4 各成分幅值相角误差 Tab.4 Calculation errors of magnitudes and phase angles

6.2 实测数据分析算例

实测数据来自浙江某金属制品厂的中频电炉。采用横河 DL750 为数据采集装置，采样频率为1000Hz，测得基波频率在49.99～50Hz，认为采样对谐波同步。测得某相电压电流波形如图8 所示。

从电流波形看出，负荷的波动导致电流峰值和有效值发生波动。根据这种波动特点，可以判定信号中含有间谐波成分。电流中的间谐波成分流经系统阻抗，形成间谐波电压；因此测得的电压波形也是波动的。从波形看出，波动频率为3Hz 左右。

分别对电压电流信号进行分析，采样窗口为IEC 推荐的十个周波，得到的DFT 离散幅值频谱如图9 所示。发现在200Hz 和300Hz 附近存在导致信号波动的主导间谐波成分，但是由于频谱泄漏及频率分辨率（5Hz）的限制，无法准确提取出真实的间谐波参数。

图9 采样信号DFT 离散幅值频谱 Fig.9 Discrete DFT amplitude spectra of the sampled signal

对于谐波，采用基于TDA 的方法与直接对信号做DFT 得到的结果完全一致，间谐波在谐波频点的 泄漏没有考虑。对于200Hz 和300Hz 的偶数次谐波而言，由于其本身含量很小，间谐波在这两个频点的泄漏造成的影响较大，因此检测误差较大。若采用双谱线插值，由于两根谱线大部分是间谐波泄漏引起的，插值得到谐波参数显然是完全不准确的。

对于间谐波，分别采用第6.1 节中方法3 和方法4 对其进行分析得到的补零DFT 结果如图10 所示（图中深色线为方法4，浅色线为方法3），两个主导间谐波和各自对应的谐波之间频率差小于5Hz。此时若采用插值的方法计算间谐波参数，计算得到的间谐波成分是不可信的。

基于TDA 的方法在本质上忽略了间谐波在谐波频点的泄漏，把泄漏值包含在谐波成分里面，因此差分信号里面含有和泄漏值相对应的拟谐波偏差信号；此偏差信号对间谐波的干扰没有考虑，而实际上，若间谐波和对应谐波的频率差小于5Hz 时，拟谐波偏差信号对间谐波的干扰是非常大的。从频域图10 上看，就是把间谐波的一部分主瓣归并到了谐波频点的另一侧，出现两个虚拟主瓣，所测间谐波频率发生右偏。这和6.1 节的仿真结果是一致的。

图10 通过补零得到间谐波密集频谱 Fig.10 Intensive amplitude spectra of interharmonics by zero-padding

为了进一步验证本文方法的有效性，把采样窗口长度扩大10 倍以减小频谱干扰，并通过补零峰值搜索法求得间谐波参数如图11 所示，得到的波动频率都为3.2Hz；对比图10 结果，本文方法得到间谐波频率较为准确，而基于TDA 的方法所测的频率发生右偏约1Hz。其中幅值的差异是由信号的非平稳性引起的，但是实际情况下，在测量的十个周波内信号完全可以认为是稳态的。测量结果也表明了这点。

图11 采样窗口加长后的DFT 离散频谱 Fig.11 Discrete DFT amplitude spectra after lengthening the sampling window

7 结论

（1）同步采样下，间谐波和谐波之间的频谱干扰是形成检测误差的根本原因。信号非谐波频点的DFT/FFT 值完全由间谐波产生。

（2）在IEC 推荐的检测条件下，采用基于TDA的方法时，间谐波在谐波频点的泄漏影响依然存在，特别是在间谐波和谐波频率非常接近时尤为明显。以往的插值方法，同步采样下计算得到的谐波参数中混入了间谐波泄漏带来了误差；在谐波和间谐波主瓣发生干扰时，无法准确分离出间谐波成分。复杂窗函数的使用会大大增加谐波和间谐波间主瓣干扰的可能性。

（3）本文的思想在于准确提取信号对应谐波频点DFT 值中包含的间谐波泄漏成分。利用单一频率信号DFT 近似结果的特点，变量重组，把非线性方程组转化为线性方程组求解间谐波泄漏值。即使间谐波和谐波频率差小于一个频率分辨率，所提方法仍能实现谐波和间谐波成功分离。

（4）如何精确检测多个邻近间谐波成分，考虑间谐波之间的频谱干扰是下一步研究的重点。

[1] Mombauer W.Flicker caused by interharmonics[J].Etz.Archiv.Bd.,1990,12(12):391-396.

[2] Gallo D,Landi C,Pasquino N.Design and calibration of an objective flickermeter[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2006,55(6):2118- 2125.

[3] Kim T,Powers E J,Grady W M,et al.Detection of flicker caused by interharmonics[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2009,58(1):152-160.

[4] 朱珂,雍静,泰亚萨内特.间谐波对闪变影响的量化分析[J].中国电机工程学报,2008,28(28):113-118.

Zhu Ke,Yong Jing,Tayjasanant T.Quantifying flicker impact of interharmonics[J].Proceedings of the CSEE,2008,28(28):113-118.

[5] 刘阳,杨洪耕.盲信号分离在电压闪变分析中的应用[J].电工技术学报,2007,22(3):138-142.

Liu Yang,Yang Honggeng.Application of blind signal separation method in analysis of voltage flicker[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2007,22(3):138-142.

[6] 钱昊,赵荣祥.基于插值FFT 算法的间谐波分析[J].中国电机工程学报,2005,25(21):87-91.

Qian Hao,Zhao Rongxiang.Interharmonics analysis based on interpolation FFT algorithm[J].Proceedings of the CSEE,2005,25(21):87-91.

[7] Tayjasanant T,Wang W,Li C,et al.Interharmonic- flicker curves[J].IEEE Transactions on Power Delivery,2005,20(2):1017-1024.

[8] Li C,Xu W,Tayjasanant T.Interharmonics:basic concepts and techniques for their detection and measurement[J].Electric Power Systems Research,2003,66(1):39-48.

[9] Zhu T X.Exact harmonics/interharmonics calculation using adaptive window width[J].IEEE Transactions on Power Delivery,2007,22(4):2279-2288.

[10] IEC61000−4−7.General guide on harmonics and interharmonics measurements for power supply systems and equipment connected thereto[S].2002.

[11] Liu Z,Himmel J,Bonfig K W.Improved processing of harmonics and interharmonics by time-domain averaging[J].IEEE Transactions on Power Delivery,2005,20(4):2370-2380.

[12] 惠锦,杨洪耕.改进的时域同步插值算法在基于TDA 谐波和间谐波测量中的应用[J].电工技术学报,2008,23(7):124-129.

Hui Jin,Yang Honggeng.Application of improved time-domain interpolated synchronous algorithm in harmonic and interharmonic measurement based on TDA[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2008,23(7):124-129.

[13] 温和,滕召胜,卿柏元.Hanning 自卷积窗及其在谐波分析中的应用[J].电工技术学报,2009,24(2):164-169.

Wen He,Teng Zhaosheng,Qing Baiyuan.Hanning self-convolution windows and its application to harmonic analysis[J]. Transactions of China Electrotechnical Society,2009,24(2):164-169.

[14] 赵黎丽.基于相关Hanning 窗插值的间谐波分析算法[J].电工技术学报,2008,23(11):153-158.

Zhao Lili.Inter-harmonics analysis based on correlation Hanning window and interpolation algorithm[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2008,23(11):153-158.

[15] 钱昊,赵荣祥.基于插值FFT 算法的间谐波分析[J].中国电机工程学报,2005,25(21):87-91.

Qian Hao,Zhao Rongxiang.Interharmonics analysis based on interpolation FFT algorithm[J].Proceedings of the CSEE,2005,25(21):87-91.

[16] 吴静,赵伟.一种用于分析电网谐波的多谱线插值算法[J].中国电机工程学报,2006,26(8):55-60.

Wu Jing,Zhao Wei.An algorithm of MICA for analyzing harmonics in power system[J].Proceedings of the CSEE,2006,26(8):55-60.

[17] 庞浩,李东霞,俎云霄,等.应用 FFT 进行电力系统谐波分析的改进算法[J].中国电机工程学报,2003,23(6):50-54.

Pang Hao,Li Dongxia,Zu Yunxiao,et a1.An improved algorithm for harmonic analysis of power system using FFT technique[J].Proceedings of the CSEE,2003,23(6):50-54.

[18] 卿柏元,滕召胜,高云鹏,等.基于 Nuttall 窗双谱线插值FFT 的电力谐波分析方法[J].中国电机工程学报,2008,28(25):153-158.

Qing Baiyuan,Teng Zhaosheng,Gao Yunpeng,et a1.An approach for electrical harmonic analysis based on Nuttall window double-spectrum-line interpolation FFT[J].Proceedings of the CSEE,2008,28(25):153-158.

[19] 祁才君,王小海.基于插值FFT 算法的间谐波参数估计[J].电工技术学报,2003,18(3):92-95.

Qi Caijun,Wang Xiaohai.Interharmonic estimation based on interpolating FFT algorithm[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2003,18(3):92-95.

[20] 薛蕙,杨仁刚.基于 FFT 的高精度谐波检测算法[J].中国电机工程学报,2002,22(12):106-110.

Xue Hui,Yang Rengang.Precise algorithms for harmonic analysis based on FFT algorithm[J].Proceedings of the CSEE,2002,22(12):106-110.

[21] 王楠,肖先勇,曾颂崎,等.基于插值线性调频 Z变换的间谐波分析方法[J].电网技术,2007,31(18):43-47.

Wang Nan,Xiao Xianyong,Zeng Songqi,et al.An interharmonic estimation method based on interpolation chirp Z transform[J].Power System Technology,2007,31(18):43-47.

[22] 布赖母.快速傅立叶变换[M].柳群，译.上海:上海科学技术出版社,1979.

[23] 程佩青.数字信号处理教程[M].北京:清华大学出版社，2001.