三自由度永磁同步平面电机的控制策略

周赣， 黄学良

(东南大学 电气工程学院，江苏 南京 210096)

三自由度永磁同步平面电机的控制策略

周赣， 黄学良

(东南大学 电气工程学院，江苏 南京 210096)

在介绍三自由度平面电机的结构和工作原理之后，提出执行器的电磁力方程和平面电机的运动控制方程，推导合外力和执行器水平电磁力的转换方程，提出平面电机的三自由度解耦控制策略。设计三个自由度的位置伺服控制算法，进行单自由度定位和三自由度同时定位实验。平移运动的上升时间为0.1 s，稳态误差为10 μm，旋转运动的上升时间为0.07 s，稳态误差为0.1 mrad。实验结果表明:三自由度解耦控制策略可行，系统的动静态特性理想。

永磁;同步;平面电机;执行器;控制策略

0 引言

传统的平面定位装置多采用龙门架型、十字架型多层机械结构，由旋转电机配合传动机构驱动。现代平面电机常采用直线电机直接驱动的单层机械结构，具有如下特点:1)单层机械结构动子平台的动力学特性较简单，质量较轻，不存在多层机械结构的底层驱动电机负荷过大的问题;2)直线电机直接驱动不存在传动机构的齿隙、不确定的滚珠运动、粉尘、润滑等影响定位精度的难题，不存在传动机构的附加质量，响应更快;3)按驱动用直线电机执行器的种类，可将平面电机划分为变磁阻型、感应型、永磁同步型3类，其中永磁同步平面电机在结构设计及控制精确度等方面具有明显优势［1－3］。

永磁同步平面电机在精密定位装置中具有广阔的应用前景，受到了学术界和工业界的广泛关注，其电磁执行器一般由3组以上永磁同步直线电机构成，Kim、Gao、Cho分别研制了一种基于4组永磁同步直线电机的平面电机，Hu研制了一种基于3组永磁同步直线电机的平面电机，通过协控各个直线电机的电磁力来控制平面电机，但没有对解耦控制策略做详细说明［4－8］;Cao对基于4组永磁同步直线电机的平面电机进行了理论分析，并对其三自由度运动控制器进行了仿真研究，但没有进行相关实验［9］。

课题组正在开展一种基于4组永磁同步直线电机的平面电机的研究，该平面电机共有3个运动自由度，可进行沿水平方向的平移运动和绕垂直轴的微小旋转。本文介绍了三自由度平面电机的结构，提出了直线电机执行器的电磁力方程和平面电机的运动控制方程，推导了三个自由度的合外力和执行器水平电磁力的转换方程，提出了系统的三自由度解耦控制策略，设计了样机三个自由度的位置伺服控制算法，进行了单自由度定位和三自由度同时定位实验。

1 平面电机结构

如图1所示，平面电机系统中存在2套坐标系，其中:惯性坐标系XYZ原点O固定于空间一点，XY平面与水平面平行;体坐标系xyz固结在动子平台上，原点o位于动子平台质心。动子平台处于初始位置时2套坐标系重合。

图1 平面电机样机结构Fig.1 Structure of planar motor prototype

平面电机样机的动子平台采用单层机械结构，由铝合金动子基体和安装在其底部四角的4组海尔贝克(Halbach)永磁阵列构成，其中1号和3号永磁阵列沿x轴方向周期变化，2号和4号永磁阵列沿y轴方向周期变化，配套设计的1～4号铝合金心三相绕组安装在光学台上，对应编号的永磁阵列和绕组构成4组无铁永磁同步直线电机用于驱动动子平台运动。

平面电机工作时，动子平台由滚动轴承支撑，在导轨上做水平方向的平移运动和绕垂直轴的微小转动。动子平台位置用位置向量［dXdYdθ］T表示，其中，dX、dY为动子平台质心 o的X、Y轴坐标，dθ为动子平台绕体坐标z轴旋转的角度，样机dX、dY、dθ的行程分别为40 mm×40 mm×(±20)mrad。

2 平面电机控制策略分析

2.1 直线电机执行器的电磁力方程

如图1所示，直线电机的电磁力可等价作用在永磁阵列质心，因转角dθ为毫弧度数量级，可假设电磁力沿体坐标轴方向，其中:1、3号直线电机产生沿x轴的水平电磁力f1x、f3x和沿z轴的垂直电磁力f1z、f3z;2、4号直线电机产生沿y轴的水平电磁力f2y、f4y和沿 z 轴的垂直电磁力 f2z、f4z［4，9－10］。采用文献［4，10］中提到的直轴交轴(DQ)分解法，可推出直线电机执行器的电磁力方程为

式中:K为机电常数;ikQ、ikD为k号直线电机的交轴、直轴电流。

控制平面电机的dX、dY、dθ自由度运动时，施加的垂直电磁力恒为0，即施加到4组直线电机的直轴电流ikD恒为0。另外，设直线电机三相电流到交轴直轴电流的坐标变换矩阵为T23，交轴直轴电流到三相电流的坐标逆变矩阵为T32。

2.2 平面电机的运动控制方程

根据牛顿定律和欧拉运动方程可得到平面电机的运动控制方程［11］为

式中:FX、FY为动子平台受到的沿X轴、Y轴的合外力;Tz为动子平台受到的沿z轴的合外力矩;M为动子平台质量;Izz为动子平台关于z轴的转动惯量。

式(2)所示的三个自由度的动力学方程都为2阶线性微分方程，通过控制对应的合外力FX、FY、Tz即可控制 dX、dY、dθ。下面推导合外力 FX、FY、Tz和执行器提供的水平电磁力 f1x、f2y、f3x、f4y之间的转换关系。

对动子平台受力作如下假设:导轨和滚动轴承充分润滑，它们之间的水平摩擦力可忽略不计;角位移 dθ的行程为 ±20 mrad，可设 sin dθ=0和cos dθ=1。可推出水平电磁力 f1x、f2y、f3x、f4y到合外力 FX、FY、Tz的转换方程为

式中 l1y、l2x、l3y、l4x为1 ～4 号直线电机提供的水平电磁力到z轴的距离。

由式(3)可推出的合外力到水平电磁力的转换方程不止一种，设f1x、f3x产生的沿z轴的合外力矩为0，即

由式(3)和式(4)可推出合外力到水平电磁力的转换方程为

2.3 平面电机的控制策略

平面电机的控制策略框图如图2所示，对其说明如下:

1)下标r表示参考量。根据式(2)设计dX、dY、dθ自由度的位置伺服控制算法，根据位置误差计算参考合外力 FXr、FYr、Tzr。

2)通过式(5)计算对应的参考水平电磁力f1xr、f2yr、f3xr、f4yr。

3)根据式(1)计算参考交轴电流ikQr(k=1，2，…，4)。参考直轴电流ikDr恒为0，利用坐标逆变矩阵T32计算4组执行器的参考三相电流ikAr、ikBr、ikCr。

4)采用文献［12］中提出的电流控制器，执行器电流阶跃响应的上升时间约0.5 ms，远小于位置阶跃响应的上升时间约100 ms(见4.2节)，可设电流控制器理想，即电流控制器实时按照参考三相电流生成实际三相电流 ikA、ikB、ikC。

5)4组执行器的三相电流作用在平面电机模型上完成对动子平台的位置控制，平面电机模型包括3个逻辑部分:坐标变换T23及电磁力方程，产生交轴电流 ikQ及水平电磁力 f1x、f2y、f3x、f4y;水平电磁力到合外力的转换方程式(3)，产生合外力FX、FY、Tz;运动控制方程式(2)，合外力到三自由度位置dX、dY、dθ的输出。

图2 系统控制策略框图Fig.2 System control strategy block diagram

3 平面电机定位实验

3.1 位置伺服控制算法设计

图2中的位置伺服控制算法采用数字比例微分(PD)算法

式中:KXP、KYP、KθP为 dX、dY、dθ自由度 PD 控制器的比例参数;KXD、KYD、KθD为 dX、dY、dθ自由度 PD 控制器的微分参数;eXk、eYk、eθk为 dX、dY、dθ自由度第 k 个控制周期的位置误差;eX(k－1)、eY(k－1)、eθ(k－1)为第 k －1个控制周期的位置误差。

3.2 定位控制实验

样机的主要机电参数包括:K=1.84 N/A，M=3.75 kg，Izz=0.073 8 kg·m2。采用图2所示控制策略进行定位实验，在每个位置控制周期(5ms)中，位置传感器(Banner LG10型激光位移传感器)采集平面电机的位置信息并存储在数字信号处理器(型号为TMS320 F2812)中，实验完毕后将数据导入Matlab中绘制波形。

dX单自由度10 mm阶跃响应如图3所示，对其说明如下:1)dX自由度的上升时间约为0.1 s，超调量为25%，调节时间为0.75 s，稳态误差的平均值小于10 μm;2)dY自由度的最大受扰振幅为0.25 mm，0.5 s时达到稳态，dθ自由度的最大受扰振幅为2.5 mrad，0.65 s时达到稳态，产生受扰振动的主要原因包括:式(3)推导过程中进行的若干假设将引入模型偏差;制造和安装平面电机时引入的模型偏差;3)dY单自由度的响应特性和dX单自由度类似，不再给出。单自由度10 mrad阶跃响应如图4所示，其中:dθ自由度的上升时间为0.07 s，超调量为55%，调节时间为 0.75 s，稳态误差的平均值小于0.1 mrad;dX自由度的最大受扰振幅为0.2 mm，0.6s时达到稳态;dY自由度的最大受扰振幅为0.3 mm，0.6 s时达到稳态。

图3 dX单自由度10 mm阶跃响应Fig.3 10 mm step response in single dXDOF

图5为同时给出dX、dY自由度10 mm阶跃指令、dθ自由度10 mrad阶跃指令时平面电机的响应曲线，比较图3～图5可以看出，进行三自由度同时定位控制时，每个自由度的动静态特性和进行单自由度定位控制时的几乎一致。

图4 dθ单自由度10 mrad阶跃响应Fig.4 10 mrad step response in single dθDOF

图5 三自由度同时定位响应Fig.5 Simultaneous positioning response in 3-DOF

4 总结

本文介绍了三自由度永磁同步平面电机的结构，提出了平面电机的运动控制方程和对应的控制策略，设计了三个自由度的位置伺服控制算法，进行了单自由度定位和三自由度同时定位实验，实验结果表明:平面电机三自由度解耦控制策略可行，三个自由度的动静态性能理想。

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(编辑:刘素菊)

Control strategies of 3-degree-of-freedom synchronous permanent-magnet planar motors

ZHOU Gan，HUANG Xue-liang
(School of Electrical Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，China)

After the structure and working principle of the 3-degree-of-freedom(DOF)planar motor were introduced，the electromagnetic force equations of the actuators and the motion control equations of the planar motor were proposed.The transformation equations between the resultant forces and the horizontal electromagnetic forces of the actuators were derived.The decoupling control strategy of 3-DOF motions was proposed.After the position servo algorithms of 3-DOF motions were designed，the single-DOF positioning and 3-DOF simultaneous positioning experiments were conducted.In translational motions control the rise time was 0.1 s and steady-state error was 10 μm and in rotational motion control the rise time was 0.07 s and steady-state error was 0.1 mrad.The experimental results show that the control strategy of 3-DOF motions is feasible and the dynamic and static performances are satisfying.

permanent magnet;synchronous;planar motors;actuator;control strategy

TM 301.3;TM 35

A

1007－449X(2011)04－0041－05

2010－02－17

国家自然科学基金(50407008);南京市2010年高新技术产业化专项(201002009)

周 赣(1978—)，男，博士，讲师，研究方向为高性能永磁阵列应用、平面直接驱动技术;

黄学良(1969—)，男，教授，博士生导师，研究方向为新型能源转换装置、物理场分析等。