关于不定方程x3－8=3py2

余启港，王顺金，于新月，张梅娜

(中南民族大学数学与统计学学院，武汉430074)

1 问题背景

不定方程x3±8=Dy2(其中D为无平方因子的正整数)，是一类基本而重要的不定方程，对于它已有了不少的研究.1942年Ljunggren W［1］证明了当D不能被3或6k+1形的素因子整除时，方程最多只有一组正整数解.1981年，柯召和孙琦［2］进一步证明了如果D满足前提条件，并且如果D=0，1，2(mod 4)时，则方程x3－8=Dy2仅有整数解(x，y)=(2，0).1991 年，曹玉书［3］讨论了D含有6k+1 形的素因子的情况，给出了x3±8=Dy2仅有平凡解的情况.1995 年，罗明［4］证明了x3±8=7y2仅有整数解(x，y)=(2，0).2006 年，黄永庆［5］证明了x3－8=61y2仅有整数解(x，y)=(2，0).2007 年，黄永庆和廖江东［6］证明了x3+8=35y2仅有整数解(x，y)=( －2，0)，(3，±1);x3－8=35y2仅有整数解(x，y)=(2，0).2008 年，黄永庆［7］证明了x3－8=13y2仅有适合(x，y)=1 整数解(x，y)=(5，±3).2009 年，刘金［8］证明了x3－8=21y2仅有整数解(x，y)=(2，0).2009 年，谷杨华［9］证明了x3+8=133y2仅有整数解(x，y)=( －2，0)，(5，±1).

2 定理及其证明

本文利用Pell方程解递归数列的性质［10］来研究不定方程x3－8=3py2，证明了定理1.

定理1对于不定方程x3－8=3py2，在x为奇数条件下，对于p=5，13，29，37，53，61，都无整数解.

证明设f=(x－2，x2+2x+4)，则有f|x2+2x+4－(x－2)2=6x和f|x2+2x+4－x(x－2)=4x+4，又由x为奇数知f为奇数，所以有f|(3x，x+1)，从而f|3x－3(x+1)= －3，得f=1或3.

由于(x－2，x2+2x+4)=1或3及x2+2x+4=(x+1)2+3＞0，故不定方程x3－8=3py2得出下列4种可能的分解，其中a，b为互素的正整数.

情形Ⅰx－2=3pa2，x2+2x+4=b2，y=ab;

情形Ⅱx－2=3a2，x2+2x+4=pb2，y=ab;

情形Ⅲx－2=pa2，x2+2x+4=3b2，y=ab;

情形Ⅳx－2=a2，x2+2x+4=3pb2，y=ab.

以下分别讨论这4种情形.

情形Ⅰ由x2+2x+4=b2即(x+1)2+3=b2得(x+1+b)(x+1－b)=－3，于是又可有以下4种分解:

①x+1+b=3，x+1－b= －1得x=0，b=2;

②x+1+b= －3，x+1－b=1得x= －2，b=－2;

③x+1+b=1，x+1－b= －3得x= －2，b=2;

④x+1+b= －1，x+1－b=3得x=0，b= －2.

所以x=0或－2，与x为奇数不合，故该情形无解.

情形Ⅱ由x2+2x+4=pb2，得(x+1)2+3=pb2，把x=3a2+2 代入得 9(a2+1)2+3=pb2，再由p为素数p＞3得3|b，方程两边取mod 9知3=0(mod 9)，这是不可能的，故该情形无解.

情形Ⅲ由x2+2x+4=3b2，得(x+1)2+3=3b2，把x=pa2+2代入得(pa2+3)2+3=3b2及p为素数且p＞3知3|a，令a=3c，得3(3pc2+1)2+1=b2即有b2－3(3pc2+1)2=1及22－3×12=1，根据pell方程解的性质［10］知，所以有

于是xn=4xn－1－xn－2，x0=1，x1=2;yn=4yn－1－yn－2，y0=0，y1=1.

因为x为奇数及p为素数且p＞3，从x=pa2+2知a=1(mod 2)，再从a=3c得c=1(mod 2).又因为yn=3pc2+1，所以 2|yn.由yn=4yn－1－yn－2，y0=0，y1=1可知当n为偶数时，yn为偶数，当n为奇数时，yn为奇数.所以当x=1(mod 2)及p为素数且p＞3 时，有c=1(mod 2)，2|yn，2|n.

下面对yn的递归关系取mod3p.

(1)当p=5时，对yn的递归关系取mod15，得到周期为6 的剩余类序列{［y6n+d］:d=0，1，2，3，4，5}.这是因为①当n=0时yd(mod 15)=yd;②假设n=k时，y6k+d(mod 15)=yd成立，则当n=k+1时，y6(k+1)+d=y6k+6+d=4y6k+5+d－y6k+4+d=15y6k+4+d－4y6k+3+d=56y6k+3+d－15y6k+2+d=209y6k+2+d－56y6k+1+d=780y6k+1+d－209y6k+d(mod 15)=y6k+d(mod 15)=yd，所以y6n+d(mod 15)=yd(d=0，1，2，3，4，5)成立.所以在 2|n时，有yn≡y0，y2，y4≡0，4，－4(mod 15)，这与yn=(15c2+1)(mod 15)=1矛盾!故p=5时，情形Ⅲ原不定方程无整数解.

(2)当p=13时，同理可知，对yn的递归关系取mod 39，得到周期为12的剩余类序列.在2|n时，有yn=0，4，17，0，－17，－4(mod39)，这与yn=(39c2+1)(mod 39)=1矛盾!故p=13时，情形Ⅲ原不定方程无整数解.

(3)当p=29时，对yn的递归关系取mod 87，得到周期为30的剩余类序列.在2|n时，有yn=0，4，－31，－3，－11，23，－15，28，－28，15，－23，11，3，31，4(mod 87)，这与yn=(87c2+1)(mod 87)=1矛盾!故p=29时，情形Ⅲ原不定方程无整数解.

(4)当p=37时，对yn的递归关系取mod 111，得到周期为36的剩余类序列.在2|n时有yn=0，4，56，3，37，23，3，19，41，0，－ 41，－ 19，－ 3，－ 23，－97，－3，－56，－4(mod 111)，这与yn=(111c2+1)(mod 111)=1矛盾!故p=37时，情形Ⅲ原不定方程无整数解.

(5)当p=53时，对yn的递归关系取mod 159，得到周期为18的剩余类序列.在2|n时，有yn=0，4，56，－15，52，－52，15，－56，－4(mod 159)，这与yn=(159c2+1)(mod 159)=1矛盾!故p=53时，情形Ⅲ原不定方程无整数解.

(6)当p=61时，对yn的递归关系取mod 183，得到周期为60的剩余类序列.在2|n时yn=0，4，56，48，67，－ 25，－51，43，－ 79，－ 51，－ 86，－55，48，－5，65，0，－65，5，－ 48，55，－86，51，79，－43，51，25，－67，－48，－56，－4(mod 183)，这与yn=(183c2+1)(mod 183)=1矛盾!故p=61时，情形Ⅲ原不定方程无整数解.

所以由上面讨论可知p=5，13，29，37，53，61 在情形Ⅲ下原不定方程都无整数解.

情形Ⅳ因为x=1(mod2)，故a=1(mod2)，由式x－2=a2有x=3(mod8)代入x2+2x+4=3pb2中得3pb2=3(mod8)即pb2=1(mod8).我们分别把p=5，13，29，37，53，61 代入得 5b2=1(mod8)，显然这是不可能的.故p=5，13，29，37，53，61 在情形Ⅳ下无整数解.

综合上述可知，不定方程x3－8=3py2，在x为奇数条件下，对于p=5，13，29，37，53，61 时，都无整数解.

［1］Ljunggren W.Satzeber unbestimm te Gleichungen［J］.Skr Norske Vid Akad Oslo，1942(9):53.

［2］柯 召，孙 琦.关于不定方程x3±8=Dy2和x3±8=3py2［J］.四川大学学报:自然科学版，1981，18(4):1-5.

［3］曹玉书.关于不定方程x3±8=Dy2［J］.黑龙江大学学报:自然科学版，1991(1):22-25.

［4］罗 明.关于不定方程x3±8=7y2［J］.重庆师范学院学报:自然科学版，1995(3):29-31.

［5］黄永庆.关于不定方程x3－8=61y2［J］.重庆师范学院学报:自然科学版，2006(6):24-26.

［6］黄永庆，廖江东.关于不定方程x3±8=35y2［J］.重庆师范学院学报:自然科学版，2007(4):19-21.

［7］黄永庆.关于不定方程x3－8=13y2［J］.内蒙古师范大学学报:自然科学版，2008(1):42-44.

［8］刘 金.关于不定方程x3－8=21y2［J］.延安大学学报:自然科学版，2009(2):12-15.

［9］谷杨华.关于不定方程x3+8=133y2［J］.云南大学学报:自然科学版，2009(10):305-309.

［10］柯 召，孙 琦.谈谈不定方程［M］.北京:高等教育出版社，1987.