高考数学复习方法与应试技巧透视

●马茂年 (杭州市第十四中学 浙江杭州 310003)

高考数学复习方法与应试技巧透视

●马茂年 (杭州市第十四中学 浙江杭州 310003)

众所周知,高考数学的复习面广、量大,使不少考生感到畏惧、无从下手.在高考数学复习的最后阶段,如何科学、合理、高效率地安排好数学复习,对高考成绩的提高将起到很大的作用.如何才能提高数学复习的针对性和实效性呢?需要“三问”:第一要问“学懂了没有”,即解决是什么的问题,学了什么知识;第二要问“领悟了没有”,即解决为什么的问题,用了什么方法;第三要问“会用了没有”,即解决做什么的问题,解决了什么问题.下面具体说说高考数学复习方法和应试技巧指导.

1 高考数学复习方法指导

1.1 梳理知识,形成网络

高考数学复习的最后阶段,要仔细推敲《考试说明》,分清哪些内容只需一般理解,哪些内容应重点掌握,哪些知识要求灵活运用和综合运用.然后结合课本,把知识点从整体上再理一遍.譬如:函数内容可分为概念、性质、特殊函数、抽象函数这 4大主线,每条主线又有若干支线,一条支线又可分为若干分线,最后形成网络.当梳理过程遇到不明了的问题时应翻书对照.具体地说就是,在学习中要驾驭好 3条线:知识(结构)是明线(要清晰、明了,编成一张知识的网络);方法(能力)是暗线(要提炼、领悟);思维(训练)是主线(要重视、加强).通过研究《考试说明》应明确“考什么”、“考多难”、“怎样考”这 3个问题.纵观近几年浙江省的数学高考,我们发现命题的试题都比较新颖、活泼.因此在最后复习阶段要加强对新题型的练习,揭示问题的本质,创造性地解决问题.

1.2 重视课本,注重方法

数学高考复习的最后阶段应注重“看”:把课本内容包括正文和习题完整地看一遍,将知识要点用框图的形式勾勒出来,在理解知识的发生、发展过程的基础上,熟记数学概念、定义、公式、定理等,巩固并完善自身的知识结构.还应注重“想”:对课本中的每道题不必一一做一遍,要多想想本题解决的关键是什么?涉及哪些知识点?涉及哪些思想方法?尝试变更条件(或结论),会有怎样的结论或需要补充什么条件?更应注重“练”:挑选部分有代表性的习题演练一遍,体会如何运用基础知识解决问题,提炼具有普遍性的解题方法,以不变应万变.

掌握数学思想方法可从 2个方面入手:一是归纳重要的数学思想方法;二是归纳重要题型的解题方法.在数列求和时,常用公式法、错位相减法、裂项相消法以及迭代法、归纳证明法、待定系数法等.还要注意典型方法的适用范围和使用条件,防止形式套用时导致错误.深入理解一个概念的多种内涵,对一道典型题应尽力做到从多条思路用多种方法处理,即一题多解;对具有共性的问题要努力摸索规律,即多题一解;不断改变题目的条件,从各个侧面去检验自己的知识,即一题多变.

1.3 查漏补缺,对症下药

相当一部分考生因为会做的题做错而得分不高.究其原因,有知识方面的,也有方法方面的.因此,要加强对以往错题的研究,找出错误的原因,对易错知识点进行列举、易误用的方法进行归纳.每天必须坚持做适量的练习,特别是重点和热点题型,保持思维的灵活和流畅.

每次考试或多或少会发生错误,这并不可怕,重要的是避免类似的错误重现.因此平时注意把错题记下来,做错题笔记包括 3个方面:(1)记下错误是什么,最好用红笔划出;(2)错误原因是什么,从审题、题目归类、重现知识和找出答案这 4个环节来分析;(3)错误纠正方法及注意事项.

1.4 研究考题,总结经验

数学能力的提高离不开做题.要通过一题联想到多题,要着重研究解题的思维过程,弄清基本数学知识和基本数学思想在解题中的意义和作用,研究运用不同的思维方法解决同一数学问题,在分析解决问题的过程中既构建知识的横向联系又养成多角度思考问题的习惯.要重视和加强选择题的训练和研究.不能仅仅满足于答案正确,还要学会优化解题过程,以赢得足够的时间思考和解答高档题.要不断积累解选择题的经验,尽可能小题小做,除了运用直接法解题外,还要灵活运用特殊值法、排除法、检验法、数形结合法、估计法等来解题.在做解答题时,书写要简明、扼要、规范,只要写出“得分点”即可.

1.5 吃透评分,沉着应战

一些学生在考试时,题题被扣分,原因大多是答题不规范,抓不住得分要点,思维不严谨.这与平时不善于归纳、总结有关.建议在临考前做一做近2年的高考试题(或有标准答案和评分标准的综合卷),精心研究并吃透评分标准,力争减少无谓的失分.

2 高考数学选择题和填空题求解策略

要想确保在有限的时间内,对 10道选择题和7道填空题作出有效的抉择和求解,明晰解题思路是十分必要的.一般说来,数学选择题和填空题有着特定的解题思路.

2.1 仔细审题,吃透题意

审题是正确解题的前题条件.通过审题,可以掌握用于解题的第一手资料——已知条件,弄清题目要求.

审题的关键在于:(1)将有关概念、公式、定理等基础知识加以集中整理.凡在题中出现的概念、公式、性质等内容都是平时理解、记忆、运用的重点,也是解选择题和填空题首先需要回忆的对象.

(2)发现题材中的“机关”— —题目中的一些隐含条件,往往是该题“价值”之所在,也是失分的“隐患”.

除此而外,审题的过程还是一个解题方法的抉择过程,开拓的解题思路能使我们心涌如潮,适宜的解题方法则帮助我们事半功倍.

2.2 反复析题,去伪存真

析题就是剖析题意.在认真审题的基础上,对全题进行反复的分析和解剖,从而为正确解题寻得路径.因此,析题的过程就是根据题意,联系知识,形成思路的过程.对于选择题中一些似是而非的选项,可以结合题目将选项逐一比较,用一些“虚拟式”的“如果”,加以分析与验证,从而提高解题的正确率.

2.3 抓往关键,全面分析

在解题过程中,通过审题、析题后找到题目的关键所在是十分重要的.从关键处入手,找到突破口,联系相关知识进行全面的分析并形成正确的解题思路,从而可以化难为易、化繁为简,解出正确的答案.

2.4 反复检查,认真核对

在审题、析题的过程中,由于思考问题不全面,往往会导致“失根”、“增根”等错误,因此反复地检查、认真地进行核对,也是解选择题和填空题必不可少的步骤之一.

当然,仅仅有思路还是不够的,“解题思路”在某种程度上来说,属于理论上的“定性”,要想解具体的题目,还得有科学、合理、简便的方法.

(1)直接计算法

有些选择题和填空题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的.这类题型可直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则,通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,从而确定选择支的方法.

例 1将 5名志愿者分配到 3个不同的奥运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配 1名志愿者的方案种数为＿＿.

(2)利用特值法

有些选择题和填空题用常规方法直接求解比较困难,若根据答案中提供的信息,选择某些特殊情况进行分析,或选择某些特殊值进行计算,或将字母参数换成具体数值代入,把一般形式变为特殊形式,再进行判断,则十分简单.

(4)分析试探法

对于综合性较强、选择对象比较多的试题,可以根据题意建立一个几何模型、代数构造,然后通过试探法来选择,并注意灵活运用上述方法.

例 4在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱 A A1,C C1的中点,则在空间中与 3条直线A1D1,E F,CD都相交的直线 ( )

A.不存在 B.有且只有 2条

C.有且只有 3条 D.有无数条

分析在 E F上任意取一点 M,直线 A1D1与M确定一个平面,这个平面与 CD有且仅有 1个交点 N,当 M取不同的位置确定不同的平面,从而与CD有不同的交点 N,而直线 M N与这 3条异面直线都有交点.故选 D.

3 高考数学中档题解题思路突破

对于数学高考中的中档题,有人顺水推舟,水到渠成;有人冥思苦想,难以入门.其实,这一切都缘于数学解题时的解题思路是否正确.下面笔者从以下几个侧面出发谈点认识,供大家参考.

3.1 从数学的概念和性质中挖掘解题思路

3.2 从数学形式的转化和过程中明晰解题思路

分析在已知的函数表达式中,由于 2个根号内的函数单调性不一致,因此很难直接判断出该函数的单调区间.在一般情况下,研究函数的性质首先应考虑化简解析式,然后再对其简化的解析式进行分析、考查,这样可使得求解目标更集中、解答更简明.

3.3 从数学的等价变形和转换中破解解题思路

例 72 008个乒乓球(大小相同)分别放入编号为 1,2,3,…,10的盒子中,要求第 i个盒子至少放 i个乒乓球,那么不同的放法有多少种?

分析 先确保 i号盒子放有 i个乒乓球,则有1+2+… +10=55个;再考虑其余 2 008-55=1 953个乒乓球放入 10个盒子中的放法,相当于将这些球用 9块隔板隔开.由于留下来的这些球各个盒子可放可不放,因此可视隔板为特殊的球参与“组合”,球的不同放法等价于从 1 953+9=1 962个元素中选 9个元素(作为隔板),当这 9个元素位置确定了,隔板的位置也确定了,同时球的放法也就确定了.这 9个元素共有种选法,因此不同的放法有种.

3.4 从求解和求证的目标推理中击活解题思路

3.5 从探索和寻求数学解题规律中发现解题思路

3.6 从对特殊性的探究和证明中感悟解题思路

3.7 从数形结合的解题过程中品味解题思路

3.8 从数学题目的具体特点中思索解题思路

例 12 设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的 3条边长},则 A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 ( )

分析此题为选择题,按直接法求解,需先利用三角形两边之和大于第三边列出不等式组,进而画出相应的区域,从而确定相应的答案,这样解答十分繁琐.不如变通思路,用排除法进行求解.在第2个图形中取点 M(0.1,0.1),则 1-x-y=0.8,这样,三角形两边之和小于第三边,不可能,排除选项B;在第 3个图形中,点 N(0.4,0.7)在阴影部分内,而 1-x-y＜0,不合题意,故排除选项 C;以同样的方法可排除选项 D.故应选 A.

4 高考数学压轴题预测和类型归析

压轴题是高考试题的主要表现形式,其特点是考查考生对高中数学各组块知识的交汇、综合能力、运算变形能力、信息整合能力、数学思想方法运用能力及创新思维能力.解答压轴题的关键是做好审题和探究解题思路这 2个环节:审题时必须明确目的性、提高准确性、注意隐含性;探究解题思路时应力求从各个侧面、不同角度分析条件与结论之间的关系,充分挖掘隐含条件,破除定式化.解答压轴题还必须注意设计有效的解答步骤、完整的表达形式、清晰的辅助图形.解答压轴题还要注意:(1)语言转换能力.每道数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成.解综合题往往需要有较强的语言转换能力.(2)概念转换能力.综合题的转译常常需要有较强的数学概念的转换能力.(3)数形转换能力.解题中的数形结合就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义,力图在代数与几何的结合点上找出解题思路.运用数形转换策略解题时要注意特殊性,否则会出现漏洞.

4.1 涉及函数、数列、导数、不等式、二项式定理等知识的压轴题

评析本题是涉及函数、数列、导数、不等式、二项式定理等知识的综合题,其主要应用化归、讨论、归纳等数学思想解决问题.运用扎实的基本知识理解和转换综合题,只要基本知识点熟悉,知识交汇思路清晰,确定解题途径也将水到渠成.

4.2 借助导数方法解决函数单调性、最值问题的压轴题

例 14已知函数 f(x)=+l n x-a x.

(1)若 f(x)在(0,1)上是增函数,求 a的取值范围;

评析本题是借助导数方法解决函数单调性、最值问题的基本综合性问题.导数方法的引入给函数背景的高考试题增添了活力,也极大地拓展了试题的外延,增强了函数的应用功能.

4.3 涉及函数、方程、不等式与解析几何等综合问题的压轴题

评析本题是一道涉及函数、方程、不等式与解析几何的综合题,是一道考知识、考能力的好题.按步思维,层层递进,直逼目标,这是解答数学综合题的通法,尤其是借助函数图像、方程的曲线等有利于综合解题能力的提高.

4.4 涉及函数、解析几何、方程、恒成立等综合问题的压轴题

评析在解决第(1)小题时,根据题意勾画草图是正确解决问题的保证;在解答第(2)小题中,无理式的分子有理化是顺利证明不等式的关键所在;把第(3)小题转化为斜率的范围问题,巧妙地用具体的论证形式表达抽象的问题.

4.5 涉及方程、函数、导数、不等式等综合问题的压轴题

评析本题中 3个小题的 3种解题思路都很新:第(1)小题采用根与系数的关系含而不露地表达自己的意思,显得非常老道;第(2)小题用导数判断函数的单调性的思路是超前的和有力度的;第

(3)小题巧妙利用函数的单调性,并使右端自变量的绝对值与函数值的绝对值进行转化.

4.6 涉及解析几何、平面向量等综合问题的压轴题

图1

评析运算变形能力是成功解决综合题的保证,尤其是在解析几何问题中表现得比较突出.许多问题的思路方法的确定是建立在上一步骤的运算结果的基础上的.

4.7 涉及解析几何、不等式、最值等综合问题的压轴题

(3)在满足第(2)小题条件的椭圆上是否存在点 P,使得从 P向圆所引的 2条切线互相垂直,如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.

评析运算能力固然重要,但回避繁重的运算的数学思想方法的灵活性就显得更为重要.如果有比较扎实的数学思想方法功底,有较强的把握数学问题、剖析数学问题的能力,那么产生问题的妙解就不足为奇了.

4.8 涉及解析几何、函数、导数、数列、二项式定理等综合问题的压轴题

评析本题的解决可以搜寻“常用数列递归方法”和“an与 p n+q的大小比较的基本思路”的信息资源库,从而合理地选择问题的解决方法.