一个游离于考纲边缘的物理量——流量——习题教学中的流量教学

许冬保

(九江市第一中学 江西 九江 332000)

1 引言

流量是流体力学中描述流体运动的重要物理量.《普通高中物理课程标准(实验)》、高考《考试大纲》及竞赛大纲(即全国中学生物理竞赛内容提要)，均未将流量列入知识内容.因此，它既非教学目标，也非学习内容.但是在物理习题和试题中，往往出现与流量相关的问题，于是流量便成为一个游离于考纲边缘的物理量.在习题教学中，流量教学应依据学生的认知规律和物理学的特点进行设计.

2 由“电磁流量计”认识流量

首先看文献[1]第四章中的一道习题.

原题：图1是电磁流量计的示意图.圆管由非磁性材料制成，空间有匀强磁场.当管中的导电液体流过磁场区域时，测出管壁上MN两点间的电动势E，就可以知道管中液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体的体积.已知管的直径为d，磁感应强度为B，试推出Q与E的关系式.假定管中各处液体的流速相同.

电磁流量计的管道内没有任何阻碍流体流动的结构，所以常用来测量高黏度及强腐蚀性流体的流量.它的优点是测量范围宽、反应快、易与其他自动装置配套.

2.1 分析

当导电液体流过管道时，液体中的正、负离子由于受到洛伦兹力作用，分别向管道两侧壁迁移，于是产生动生电动势E.电荷的积累形成附加电场，该电场阻碍离子的定向迁移，当洛伦兹力和附加电场力大小相等时，达到动态平衡.于是有

由流量的定义，有

Q=Sv

圆管截面积S与直径d的关系为

联立解得

说明：原题中的流量用字母q表示，考虑到它与表示电荷量的符号q相同及流体力学中表示流量的通用符号Q的一致性，将字母q改为字母Q.

2.2 探究

上述分析自然、流畅，进一步提出下面两个探究性的问题.

(1)流量在国际单位制中是什么单位？

(2)流量的物理意义是什么？

2.3 总结

师生共同完成，通过该题的分析，认识了什么是流量(准确的说是体积流量).

(1)从定义式知道流量在国际单位制中的单位是m3·s-1.

(2)对于同一管道中的任意两个截面，单位时间内流进某一截面的液体的体积(或质量)等于从另一个截面流出的液体的体积(或质量).即液体在管道中稳定流动时质量守恒.这就是流量的物理意义.

3 流体力学中的流量

首先介绍两个概念：流线和流管.

物理学中常把某个物理量的时空分布叫做场，流体内各点流速分布可以看成速度场.描述场的几何方法是引入所谓的场线，就像静电场中引入电场线一样.在流速场中，将流体内的一条连续的有向曲线定义为流线.流线上每一点的切线方向代表流体内微粒经过该点时的速度方向.在稳定流动中，流线不随时间变化，此时流线表示流体中微粒运动的轨道(即行迹).在流体内作一微小的闭合曲线，通过其上各点的流线所围成的细管叫做流管.由于流线永远不会相交，因此流管内、外的流体都不具有穿过流管的速度，也就是说流管内部的流体不能流到流管外部，流管外部的流体也不能流入流管内[2].

为了定量描述流体的运动，流体力学中引入了流量的概念.单位时间通过流管截面的流体质量叫做质量流量.单位时间通过流管截面的体积叫做体积流量.质量流量及体积流量又泛称为流量[3].

如图2所示，表示流管的两个截面S1，S2，流体经过两个截面的速度分别为v1，v2.对于理想流体(没有黏性且不可压缩)的定常流动(稳定流动)，则有

S1v1=S2v2

该式称为定常流体的连续性方程.

图2 流速和流管截面的关系

上述方程表明：流管入口端的流量等于出口端的流量，流管周壁的流量为零，一流管的扩张处流速小，收缩处流速大，以保持流量为一常量.流量符号一般用Q表示，即

式中流体密度为ρ，通过截面ΔS的速度为v，在Δt时间内流体通过截面的质量为Δm.

在应用中，研究的往往是理想流体的定常流动，流管便为理想化模型，与该模型相伴随的一个物理量就是流量.

上述内容是否补充，应视学生实际情况而定.

4 流量在解题中的应用

认识流量，理解流量的意义，并不意味着学生就会应用流量分析问题，必须通过习题教学来完成.

4.1 流管中的流量分析

【例1】如图3所示为不可压缩流体在截面面积变化的管道中流动的示意图.在S1面以速度v1向前运动，在S2面以速度v2向前运动，若S1

A.v1>v2B.v1

C.v1=v2D.以上均有可能

图3 流管中流量分布

分析：由于流体不可压缩，因此在截面面积变化的管道中流量Q=Sv保持不变，即S1v1=S2v2.已知S1v2.选项A正确.

点评：不可压缩的流体即流体密度不随空间、时间发生变化.管道确定时，流体的运动是定常流动，S1v1=S2v2，即为流体的连续性方程.

4.2 气体中的流量分析

【例2】(2006年高考广东理综试题)风力发电是一种环保的电能获取方式.设计每台风力发电机的功率为40.0 kW.实验测得风的动能转化为电能的效率约为20%，空气的密度是1.29 kg/m3，当地水平风速约为10.0 m/s.问风力发电机的叶片长度约为多少才能满足设计要求？

图4 长为vΔt的流管

分析：设风力发电机的叶片长度为l，如图4所示，在Δt时间内作用于叶片的空气质量Δm；Δm即以发电机的叶片为半径的圆面积S和以vΔt为长度的体积内的空气质量

Δm=ρV=ρπl2vΔt

风的动能为

由能量转化及守恒定律知，发电机的功率

联立解得

代入已知数值，得

l≈10.0 m

点评：风是空气的流动形成的，大量空气微粒的定向运动使发电机叶片转动以带动发电机发电.在这一过程中，将“风”视为理想流体，微粒的运动视为定常流动，建立流管模型.表达式

Δm=ρπl2vΔt

即

表示质量流量保持不变.

继续探究的问题：假设某一固定竖直平面的面积和以发电机的叶片为半径的圆面积相等，从竖直平面返回的空气不影响后面的风吹向该平面，并设想竖直平面是完全弹性面.试求竖直平面受到风作用的平均压强.

师生共同分析：由动量定理，有

4.3 液体中的流量分析

【例3】在风景旖丽的公园，往往都有喷泉以增加观赏性.一喷泉的竖直水柱高达h.已知水的密度为ρ，喷泉出水口的面积为S，则空中水的质量为

A.ρhSB.2ρhS

C.3ρhSD.4ρhS

分析：如图5所示，喷泉出水口喷出的水做竖直上抛运动，空中水的质量取决于空中水的体积，如何计算这一体积，成为问题的难点.如果从流量的角度思考，则柳暗花明.

图5 水流的长抛运动

假定从出口处流出的水的速度v0相同，空中水的体积等于从喷泉出水口在一段时间内喷出的水的体积，这段时间就是水作上抛运动的总时间t，即

喷嘴喷出的水其体积流量

Q=Sv0

空中水的体积

V=Qt

空中水的质量

m=ρV

水柱高达h与速度v0的关系为

联立解得

m=4ρhS

因此选项D正确.

点评：解决本题的思路在于研究对象的转换，即空中水的体积转换为喷嘴在一段时间内喷出的水的体积，这一段时间即为上抛运动的时间.理解流量的意义则成为求解的关键.

2004年全国理综卷Ⅱ上有一道类似的试题：

一水平放置的水管，距地面高h=1.8 m，管内横截面积S=2.0 cm2.有水从管口处以不变的速度v=2.0 m/s源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上各处水的速度都相同，并假设水流在空中不散开.取重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力.求水流稳定后在空中有多少立方米的水?

该题可作为学生课外练习题(分析方法同上，解略).

4.4 电流中的流量分析

【例4】有一段通电导线，横截面积为S，导线每单位体积中含有的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q，定向移动的平均速率为v.试导出导线中电流的微观表达式.

图6 一段导线中的流管

分析：大量自由电荷的定向运动形成电流，自由电荷的定向运动可视为流体的运动，在Δt时间内自由电荷运动的位移大小为vΔt，如图6所示.在通电导线中取微小的一段，对应流管的长度vΔt，体积流量为Q=Sv，则流经某一截面的电荷量表示为

Δq=qnQΔt

由电流的定义式，有

联立解得

I=nqQ

即

I=nqSv

点评：本题的推导过程可以不用流量表达式；但是建立流管模型，用流量来分析问题比较自然.流体力学中的流管及流量，迁移到电学中，这有利于学生解题能力的提高.实际上电磁学中引入了“电流管”[4]，含义与流体力学中的流管类似.

4.5 复杂问题中的流量分析

图7 出口与喷气口间的流管

分析：于火箭燃烧室出口处与喷气口间的流管如图7所示，设经过极短时间Δt，有质量为Δm的气体从喷气口喷出，并假设流经截面S1的体积和流经截面S2的体积分别为ΔV1，ΔV2，两处气体密度分别为ρ1，ρ2，流速分别为v1，v2.气流定常流动时，流管内的气体质量与能量不变.

由理想气体的状态方程和绝热过程方程，有

(1)

(2)

联立(1)、(2)式解得，喷气口处气体的温度

(3)

流经截面S1的质量流量和流经截面S2的质量流量相等，即

ρ1S1v1=ρ2S2v2

(4)

或ρ1ΔV1=ρ2ΔV2

(5)

由(2)、(3)、(4)、(5)式解得

(6)

因为S2≪S1，p2≪p1，所以v1≪v2.

整个体系经Δt时间的总能量(包括宏观流动机械能与微观热运动内能)增量为ΔE.忽略重力势能变化，对理想气体并考虑到v1≪v2，有

(7)

体系移动过程中，外界做的总功为

W=p1ΔV1-p2ΔV2

(8)

根据能量守恒定律，绝热过程满足

ΔE=W

(9)

联立(7)、(8)、(9)式并利用(1)、(3)式，解得气体的喷射速率

点评：本题描述的是理想气体(理想流体)的定常流动.综合应用热力学中的状态方程及热力学第一定律求解，原参考解答未提及流量概念，但实际上应用流量来处理问题.文字说明多，给学生理解带来困惑.

5 结语

有关流量分析的实例还很多，限于篇幅仅举以上几例.流体是连续体，理想流体的定常流动遵循质量守恒定律.流体在流动中对物体的持续作用，产生的宏观效果是压强，或者是力.在习题教学中，引导学生应用流量分析流体问题，让学生领悟流量在解题中的价值，有利于提高学生分析问题及解决问题的能力.

参考文献

1 张大昌.普通高中课程标准实验教科书(物理·选修3-2).北京：人民教育出版社，2006.181

2 戚伯云，杨维纮.力学(第二版).北京：科学出版社，2005.192～194

3 舒幼生.力学.北京：北京大学出版社，2005.211

4 胡友秋，程福臻，叶邦角.电磁学与电动力学(上册).北京：科学出版社，2008.90

5 全国中学生物理竞赛委员会办公室.全国中学生物理2010竞赛专辑.北京：北京大学出版社，2010.48～52