s＊－拟正规嵌入子群

李长稳，於 遒

（1.徐州师范大学 数学科学学院，江苏 徐州 221116；2.淮海工学院 理学院，江苏 连云港 222001）

s＊－拟正规嵌入子群

李长稳1，於 遒2

（1.徐州师范大学 数学科学学院，江苏 徐州 221116；2.淮海工学院 理学院，江苏 连云港 222001）

引入s＊－拟正规嵌入子群，并利用s＊－拟正规嵌入子群研究有限群的结构，推广了前人的一些结果.

s＊－拟正规嵌入子群；s－拟正规；群系

群G的一个子群H称为在G中s－拟正规的，如果H与G的每个Sylow子群可换.称群G的子群H在G中s－拟正规嵌入的［1］，如果对于｜H｜的每个素因子p，H的Sylowp－子群也是G的某个s－拟正规子群的Sylowp－子群.显然，s－拟正规嵌入是s－拟正规子群的推广.1996年，王燕鸣教授引入了c－正规子群［2］的概念.近年来，人们将c－正规子群不断推广，引入了c－可补子群［3］，弱s－置换子群［4］，c＊－正规子群［5］，弱s－置换嵌入子群［6］等.本研究在前人的基础上，将上述一系列概念进一步推广，引入s＊－拟正规嵌入子群的概念，利用极小子群以及2－极小子群的s＊－拟正规嵌入性研究有限群的p－幂零性，同时给出了一个群属于给定的饱和群系的若干判别准则.

1 预备知识

设F是一个群类.称F是一个群系，如果1）若G∈F且N◁G，则G／N∈F；2）若G／N∈F且G／M∈F，则G／M∩N∈F.称F是一个饱和群系，如果G／Φ（G）∈F，则G∈F.群G的极大子群M称为在G中F－伪正规的，如果G／MG∉F.用ZF（G）表示G的所有非单位F－超中心正规子群的积，并称为群G的F－超中心，特别地，Z∞（G）表示G的幂零超中心.

定义 称群G的一个子群H在G中s＊－拟正规嵌入，如果存在G的一个子群K和包含在H中的G的一个s－拟正规嵌入子群Hse，使得G＝HK且H∩K≤Hse.

引理1［1］设U在G中s－拟正规嵌入，H≤G且K◁G，则有

1）如果U≤H，则U在H中s－拟正规嵌入；

2）UK在G中s－拟正规嵌入，且UK／K在G／K中s－拟正规嵌入.

利用文献［4］的引理2.10的证明方法和引理1可以得到下面的引理.

引理2 设G为群，则下列结论成立：

1）设H≤L≤G.若H在G中s＊－拟正规嵌入，则H在L中s＊－拟正规嵌入；

2）设N◁G且N≤H≤G.若H在G中s＊－拟正规嵌入，则H／N在G／N中s＊－拟正规嵌入；

3）设H为G的π－子群，N为G的正规π′－子群.如果H在G中s＊－拟正规嵌入，则HN／N在G／N中s＊－拟正规嵌入.

引理3［7］设G是一个与A4无关的有限群，p是群G阶的最小素因子，P是G的Sylowp－子群.如果p3不整除｜P｜，则G是p－幂零群.

引理4［8］设G是一个与A4无关的有限群，p是群G阶的最小素因子.如果G有一个正规子群N，使得G／N是p－幂零的，且p3不整除｜N｜，则G是p－幂零群.

引理5［9］极小非p－幂零群为极小非幂零群.

引理6［9］设G为极小非幂零群，则G有如下特征：

1）G＝PQ，P为G的正规Sylowp－子群，Q为G的非正规Sylowq－子群；

2）P／Φ（P）为G／Φ（P）的极小正规子群；

3）如果p＞2，则expP＝p；如果p＝2，则expP≤4；

4）如果P交换，则expP＝p；

5）Φ（P）≤Z（G）.

引理7［10］设P≤Op（G）.如果P在G中s－拟正规嵌入，则P在G中s－拟正规.

引理8［10］设P是G的极小正规p－子群.如果P的每个p2阶子群在G中s－拟正规，则｜P｜≤p2.

引理9［7］设F是所有具有超可解型Sylow塔群构成的群系，G是一个与A4无关的有限群.如果G存在一个正规p－子群P，使得G／P∈F，并且｜P｜≤p2，则G∈F.

2 主要结果

定理1 设G是一个与A4无关的有限群，p是群G阶的最小素因子.如果G存在一个正规子群N，使得G／N为p－幂零群，并且N的每个p2阶子群在G中s＊－拟正规嵌入，则G是p－幂零群.

证明 假设定理不成立，G为极小阶反例.

1）G为极小非幂零群，G满足引理6的结论，p3整除｜P｜.

对于G的任意真子群H，H／H∩N≅HN／N≤G／N，因此H／H∩N是p－幂零的.如果｜H∩N｜p≤p2，那么由引理4可知H是p－幂零的，所以假设｜H∩N｜p＞p2.由题设知H∩N的每个p2阶子群在G中s＊－拟正规嵌入.由引理2，H∩N的每个p2阶子群在H中s＊－拟正规嵌入.于是H满足定理的条件，由G的选取知H为p－幂零群.于是G为极小非p－幂零群，由引理5，G为极小非幂零群，由引理4，p3整除｜P｜.

2）P的每个p2阶子群在G中s＊－拟正规嵌入.

由于（P∩N）Φ（P）／Φ（P）◁G／Φ（P），所 以（P∩N）Φ（P）＝Φ（P）或（P∩N）Φ（P）＝P.如果（P∩N）Φ（P）＝Φ（P），则P∩N≤Φ（P）.由于G／N和G／P为p－幂零群，故有G／Φ（P）是p－幂零群.又因为Φ（P）≤Φ（G），所以G是p－幂零群，矛盾.所以（P∩N）Φ（P）＝P，P∩N＝P，从而P≤N.由题设有P的每个p2阶子群在G中s＊－拟正规嵌入.

3）P的每个p2阶子群在G中s－拟正规.

设L≤P且｜L｜＝p2.由2）知L在G中s＊－拟正规嵌入，于是存在G的一个子群K和包含在L中的G的一个s－拟正规嵌入子群Lse，使得G＝LK且L∩K≤Lse，从而P＝P∩G＝P∩LK＝L（P∩K）.因为P／Φ（P）交换，所以（P∩K）Φ（P）／Φ（P）◁G／Φ（P）.而P／Φ（P）是G的主因子，故P∩K≤Φ（P）或者P＝（P∩K）Φ（P）＝P∩K.如果P∩K≤Φ（P）成立，那么L＝P◁G.显然L在G中是s－拟正规的.如果P＝P∩K，则L≤P≤K，G＝LK＝K，于是L＝Lse在G中s－拟正规嵌入.因为P◁G，所以P＝Op（G）.由引理7，L在G中s－拟正规.

4）导出矛盾.

在Z（P）中取一个元素a.如果expP＝p，则对于P＼〈a〉中任何元素x，〈x〉〈a〉就是P的p2阶子群.因此由3）有〈x〉〈a〉在G中s－拟正规，〈x〉〈a〉Q≤G.由1）知，〈x〉〈a〉Q＜G，故〈x〉〈a〉Q＝〈x〉〈a〉×Q，因此〈x〉〈a〉≤NG（Q），从而P≤NG（Q），即G＝P×Q，矛盾.所以假设p＝2且expP＝4.利用上面的方法可证明P中的2阶元在NG（Q）里.对于P中的4阶元y，由3）和1）有〈y〉Q＝〈y〉×Q，即y也在NG（Q）中，故P≤NG（Q），同样得到矛盾.

推论1 设G是一个与A4无关的有限群，p是群G阶的最小素因子.设P是G的一个Sylowp－子群.如果P的每个p2阶子群在G中s＊－拟正规嵌入，则G是p－幂零群.

推论2 设G是一个与A4无关的有限群.对于群G的阶的每个素因子p，如果G的Sylowp－子群P的每个p2阶子群在G中s＊－拟正规嵌入，则G有超可解型Sylow塔.

定理2 设F是所有具有超可解型Sylow塔群构成的群系，G是一个与A4无关的有限群.如果G存在一个正规子群N，使得G／N∈F，并且N的每个Sylow子群的2－极小子群在G中s＊－拟正规嵌入，则G∈F.

证明 假设定理不成立，G为极小阶反例.

1）GF是p－群，其中GF是G的F－剩余，p是某个素数.GF／Φ（GF）是G的主因子，exp（GF）＝p或者exp（GF）＝4（若p＝2且GF非交换）.

因为G／N∈F，所以GF≤N.设M是G的任意F－伪正规极大子群，则MN＝MGF＝G.容易证明M满足定理的条件.由G的极小选择知M∈F.由引理2和推论2知N是超可解型Sylow塔群，从而GF≤N是可解群.又所有具有超可解型Sylow塔群构成的群系是饱和群系，于是由文献［9］中定理3.4.2知结论成立.

2）GF的每个p2阶子群在G中s－拟正规.

类似定理1的证明3）.

3）GF／Φ（GF）的每个p2阶子群在¯G＝G／Φ（GF）中s－拟正规.

4）导出矛盾.

由引理8知｜GF／Φ（GF）｜≤p2.由于（G／Φ（GF））／（GF／Φ（GF））≌G／GF∈F，由引理9有G／Φ（GF）∈F.注意到F是饱和群系且Φ（GF）≤Φ（G），故G∈F，矛盾.

定理3 设p是｜G｜的素因子.如果G的每个p阶极小子群包含于G的超中心Z∞（G），而4阶循环群（若存在）在G中s＊－拟正规嵌入，则G是p－幂零群.

证明 假设定理不成立，G为极小阶反例.

1）G为极小非幂零群，G满足引理6的结论.

对于G的任意真子群H，H满足定理的条件.由G的选取知H为p－幂零群.于是G为极小非p－幂零群，由引理5，G为极小非幂零群.

2）p＝2且P＼Φ（P）中无2阶元.

如果P为初等交换群或p＞2，则P≤Z∞（G），故G／Φ（P）幂零，从而G幂零，矛盾.所以p＝2且expP＝4.若存在a∈P＼Φ（P）且a是2阶的，令M＝〈aG〉≤P，那么MΦ（P）／Φ（P）◁G／Φ（P）.注意到P／Φ（P）是G／Φ（P）的极小正规子群，则必有P＝MΦ（P）＝M≤Z∞（G），同样得到矛盾.

3）P＼Φ（P）的每个4阶循环子群在G中s－拟正规.

类似定理1的证明3）.

4）导出矛盾.

对任意x∈P＼Φ（P），由3）知〈x〉Q＜G.由1）有〈x〉Q＝〈x〉×Q，因此〈x〉≤NG（Q），从而P≤NG（Q），矛盾.

推论3 如果G的每个极小子群含于G的超中心Z∞（G），而4阶循环群在G中s＊－拟正规嵌入，则G是幂零群.

定理4 设F是包含所有幂零群的饱和群系，GF的每个4阶循环群在G中s＊－拟正规嵌入，则G∈F当且仅当GF中每个极小子群含于ZF（G）.

证明 如果G∈F，则ZF（G）＝G，必要性得证.下证充分性.假设定理不成立，G为极小阶反例.

1）GF是p－群，其中GF是G的F－剩余，p是某个素数.GF／Φ（GF）是G的主因子，exp（GF）＝p或者exp（GF）＝4（若p＝2且GF非交换）.

设x是GF中的任意素数阶元，则由文献［9］推论3.2.9知x∈ZF（G）∩GF⊆Z（GF）.由引理2，GF中每个4阶循环群在GF中s＊－拟正规嵌入.由推论3有GF是幂零的.设M是G的一个F－伪正规极大子群，则MGF＝MF（G）＝G.断言M满足定理的条件.事实上，M／M∩GF≅MGF／GF＝G／GF∈F，故MF⊆GF.由M的F－伪正规性知G／MG不是F－群，故ZF（G）≤M，而且ZF（G）的每个G－主因子A／B事实上也是M－主因子.由于F（G）≤CG（A／B），所以 AutM（A／B）≅AutG（A／B），因 此ZF（G）≤ZF（M）.故M满足定理的条件.由G的极小选择知M∈F.于是由文献［9］定理3.4.2知结论成立.

2）GF＼Φ（GF）的每个4阶循环群在G中s－拟正规.

如果GF为初等交换群或p＞2，则GF≤ZF（G），故G∈F，矛盾.所以p＝2且exp（GF）＝4.若GF＼Φ（GF）中存在2阶元素a，令K＝〈aG〉，则K◁G且K≤Ω1（GF）≤ZF（G）.另一方面，由于GF／Φ（GF）是G的主因子，故GF＝KΦ（GF）＝K，矛盾.这表明GF＼Φ（GF）中的每个元素x都是4阶的.设L＝〈x〉，类似定理1的证明3）可得L在G中s－拟正规.

3）导出矛盾.

设〈x〉是GF＼Φ（GF）中的任一4阶循环群.对于q∈π（G），q≠2，设Q是M的任意Sylowq－子群.由2）有〈x〉Q＝Q〈x〉.因为〈x〉◁◁GF，而GF◁G，所以〈x〉◁◁G，〈x〉◁◁〈x〉Q，进而有〈x〉◁〈x〉Q，即Q≤NG（〈x〉）.换句话说，Q可看作为通过共轭作用在〈x〉上的一个群.而4阶循环群的自同构群是2阶循环群，所以Q平凡作用在〈x〉上，这表明了O2（M）中心化〈x〉，因而O2（M）也中心化GF.因此由G＝MGF得到O2（M）◁G，故G／MG是2－群，从而G／MG幂零，G／MG∈F，矛盾.

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s＊－quasinormally embedded subgroups

LIChangwen1，YUQiu2
（1.School of Mathematical Science，Xuzhou Normal University，Xuzhou 221116，Jiangsu Province，China；
2.School of Science，Huaihai Institute of Technology，Lianyungang 222001，Jiangsu Province，China）

s＊－quasinormally embedded subgroups is introduced，and the influences ofs＊－quasinormally embedded subgroups on the structure of finite groups are investigated.Some recent results are generalized.

s＊－quasinormally embedded subgroups；s－quasinormal；formation

O152

A

1671－1114（2011）02－0006－03

2010－03－22

国家自然科学基金资助项目（10771180）

李长稳（1978—），男，讲师，主要从事有限群方面的研究.

（责任编校 马新光）