由 X上理想族诱导出的＊X上的 I-拓扑

马春晖,李生刚,史艳维

(1.陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062;

2.西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055;

3.西安培华学院基础部,陕西西安710125)

由X上理想族诱导出的＊X上的 I-拓扑

马春晖1,2,李生刚1,史艳维3

(1.陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062;

2.西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055;

3.西安培华学院基础部,陕西西安710125)

在非标准扩大模型下,利用集合X上全体理想之族,诱导出了集合X的非标准扩张＊X上的一种拓扑——I-拓扑.研究了集合X上全体理想之族的基本性质及理想族上、下确界存在的条件.在此基础上,利用X上全体理想之族诱导出了＊X上的 I-拓扑.讨论了 I-拓扑的紧性、分离性等基本性质及其在非标准拓扑学中的一些应用.

非标准扩大模型;理想;单子;I-拓扑;弱 Hausdo rff

非标准拓扑学是非标准分析理论的一个重要的研究方向[1],对它的研究是非标准分析理论前进的主要动力之一.非标准拓扑学的研究大致分为两个方面:一是利用非标准分析理论的有关知识对拓扑学中的概念和结论进行非标准刻画,进而得到较原有结论简洁、直观的结果[2-4];二是在集合X的非标准扩张＊X上构造出一种拓扑结构,利用非标准模型的特性,讨论其拓扑性质[5-8].

本文主要是对非标准拓扑学的第二个研究方面做了一些尝试性探讨.在非标准扩大模型下,利用集合X上全体理想之族,诱导出了集合X的非标准扩张＊X上的一种拓扑——I-拓扑,讨论了 I-拓扑的紧性、分离性等基本性质及其在非标准拓扑学中的一些应用.

1 预备知识

2 理想族及其上、下确界

3 由X上的理想族诱导出的＊X上的拓扑——I-拓扑

接下来讨论 I-拓扑空间(X,T)的分离性.

引理3.1 设A⊂＊X,则A°=ν(Id(A)),其中A°表示集合A在 I-拓扑空间(X,T)中的内部.

证明由于A⊂＊X,则 Id(A)是由A生成的X上的离散理想,即 Id(A)∈I,所以ν(Id(A))∈T.又ν(Id(A))= ∪{＊G|＊G⊆A},于是ν(Id(A))⊆A.假设G是包含在A中的 I-开集,则G≠＊X,于是存在I∈I,使得G=ν(I),这样对于任意的I∈I,＊I⊆G⊆A,由 Id(A)的定义,I∈Id(A),即 I⊆Id(A),由引理2.1,G=ν(I)⊆ν(Id(A)).从而ν(Id(A))是包含在A中的最大 I-开集,即A°=ν(Id(A)).

引理3.2[9]ν(Id(＊X-{x}))=＊X-{x},当且仅当x∈X.

由引理3.1和引理3.2直接可得:

定理3.3 I-拓扑空间(X,T)不是T1空间,进而不是 Hausdorff空间.

但 I-拓扑空间(X,T)仍具有以下弱分离性:

引理3.3 设A⊆X,则＊A既是 I-开集,又是 I-闭集.

证明若A=X,则＊X显然既是 I-开集,又是 I-闭集.若A⊂X,则由例2.1知,I(A)是X上的一个由A生成的主理想,这样ν(I(A))=∩{＊G|G⊆X,G⊆A}=＊A,也就是说,对于任意的A⊂X,存在I(A)∈I,使得＊A=ν(I(A)),即＊A∈T.同理＊X-＊A=＊(X-A)是 I-开集,所以＊A又是 I-闭集.从而,对于任意的A⊆X,＊A既是 I-开集,又是 I-闭集.

定理3.4 I拓扑空间(X,T)是弱 Hausdorff空间.

证明设x,y∈＊X,G是点x的任意一个 I-开邻域,并且y∉G.由于y∉G,所以G≠＊X,由 T的定义,存在X上的理想 I∈I,使得x∈G=ν(I),这样,根据理想单子的定义,存在I∈I,x∈＊I⊆G.由引理3.3,＊I既是 I-开集,又是 I-闭集.从而＊X-＊I也既是 I-开集,又是 I-闭集.而＊X-＊I⊇＊X-G,于是y∈＊X-＊E.即存在 I-开集＊E和＊X-＊I,使得x∈＊I,y∈＊X-＊I,且＊I∩(＊X-＊I)= Ø,亦即 I拓扑空间(X,I)是弱 Hausdorff空间.

在一般拓扑空间,有以下结论:

引理3.4[10]在任一拓扑空间中,对于任意的闭集A,A∪B°⊇(A∪B)°,其中Y°表示集合Y在该拓扑空间下的内部.

定理3.5 设集合A既是 I-开集,又是 I-闭集,则对于任意的B⊆＊X,A°∪B°=(A∪B)°.

证明一方面,因为A⊆A∪B,所以A°⊆(A∪B)°.同理可得B°⊆(A∪B)°,于是A°∪B°⊆(A∪B)°.另一方面,因为集合A是 I-闭集,所以对于任意的B⊆＊X,A∪B°⊇(A∪B)°,而A又是 I-开集,所以A=A°,于是A°∪B°⊇(A∪B)°.从而,A°∪B°=(A∪B)°.

定理3.6 设A⊆＊X,则以下结论等价:

(1)集合A是标准集合;

(2)集合A既是 I-开集,又 I-闭集;

(3)对于任意的B⊆＊X,A°∪B°=(A∪B)°.

证明只需证明(3)⇒(1).令B=＊X-A,则A°∪B°=(A∪B)°=(A∪(＊X-A))°=＊X°=＊X,由引理3.1,A°∪B°=ν(Id(A))∪ν(Id(B))=＊X,于是存在G∈Id(A),H∈Id(B)满足＊G∪＊H=＊X,由Id(A)和 Id(B)的定义,A⊇＊G,B⊇＊H,所以A∪B=＊X,又A∩B= Ø,因此A=＊G,即集合A是标准集合.

定理3.7 设集合A是 I-开集,I∈I,若对于任意的I∈I,A∪＊I≠＊X,则A∪ν(I)≠＊X.

证明显然A≠＊X,否则对于任意的I∈I,A∪＊I=＊X.于是,由引理3.1和集合A是 I-开集,有A=A°=ν(Id(A)).因为对任意的I∈I,A∪＊I≠＊X,所以ν(Id(A))∪＊I≠＊X,于是,对任意的G∈Id(A),＊G∪＊I≠＊X,由转换原理,G∪I≠＊X.又由定理 2.3和定理 2.4,Id(A)∨I存在,因此＊X≠Id(A)∨ν(I)=ν(Id(A))∪ν(I)=A°∪ν(I)=A∪ν(I),即A∪ν(I)≠＊X.

[1] DAV ISM.App lied nonstandard analysis[M].New York:Wiley,1977:83-117.

[2] 史艳维,陈东立,马春晖.理想收敛理论的非标准刻画[J].西安建筑科技大学学报,2005,37(2):294-296.

[3] 陈东立,马春晖,苑文法.滤子收敛的非标准特征及其应用[J].纯粹数学与应用数学,2004,20(1):10-13.

[4] 陈东立,马春晖,王平安.网收敛的非标准特征及其应用[J].西安建筑科技大学学报,2003,35(3):289-291.

[5] 陈东立,马春晖,史艳维.拓扑的非标准定义[J].西北大学学报,2006,36(3):348-351.

[6] 陈东立,马春晖,史艳维.＊Tx的结构及其性质[J].数学研究与评论,2007,27(4):671-673.

[7] 陈东立,马春晖,史艳维.度量空间中的拟近标准点及度量空间的非标准完备化[J].陕西师范大学学报:自然科学版,2008,36(3):10-12.

[8] 陈庭勇,殷树友,林和平.RBF人工神经网络拓扑结构定义与解的唯一性证明[J].东北师大学报:自然科学版,2009,41(3):30-35.

[9] LUXEMBURGW A J.A general theo ry of monads[M].New Yo rk:Halt,1969:7-23.

[10] KELLEY J L.General topology[M].New York:Sp ringer-Verlag,1955:107-123.

The I-topology on＊X induced by the fam ily of ideals on set X

MA Chun-hui1,2,L ISheng-gang1,SH I Yan-wei3

(1.College of Mathematics and Information Science,Shanxi Normal University,Xi'an 710062,China;
2.School of Science,Xi'an University of A rchitecture and Technology,Xi'an 710055,China;
3.Department of Basic Courses,Xi'an Peihua University,Xi'an 710125,China)

The I-topology on＊Xwas induced by the family of all ideals onXunder the nonstandard enlarged model.Firstly,some p ropertiesof idealsand conditionsof existence of the sup reme and infium of a family of ideals onXwere discussed.Then the I-topology on＊Xwas defined,and some topological p roperties were show n.A t last,some app lications of I-topology in nonstandard topology were obtained.

nonstandard enlarged model;ideals;monad;I-topology;weakly Hausdorff

O141.41;O189.11

110·31

A

1000-1832(2010)03-0013-05

2009-12-27

陕西省自然科学基金资助项目(2007A 12);西安建筑科技大学青年科技基金资助项目(QN0736).

马春晖(1980—),男,博士研究生,主要从事格上拓扑学和应用非标准分析研究;李生刚(1959—),男,教授,博士研究生导师,主要从事格上拓扑学与拟阵邻域研究.

(责任编辑陶 理)