利用固定变量法解一类竞赛试题

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(歙县中学 安徽歙县 245200)

利用固定变量法解一类竞赛试题

●郑观宝

(歙县中学 安徽歙县 245200)

1 引例与巧思妙解

下面来看2道试题：

这是一道很难的经典题.先请看参考答案提供的巧思妙解：

解

2 固定变量法

很显然，上述解法构造新颖、解法独特，不是一般学生所能想到的．那么有没有学生易想且可算的方法呢？下面就介绍一种新的方法——固定变量法，其步骤如下：

第1步，本题有3个变量x,y,z，将变量y,z看作常数，求出S的最大值或取最大值的条件.

第2步，将变量x,z看作常数，求出S的最大值或取最大值的条件；如此等等，进行逐步调整.

第3步,最终求出原函数的最大值或取最大值的条件．

解(1)将变量y,z看作常数，则T仅是x的函数，于是

由于x,y,z∈R+，因此当且仅当

时，T取到最小值．

(2)同理，将变量x,z看作常数，则T仅是y的函数，于是

所以当且仅当

时,T取到最小值；再将变量x,y看作常数，则T仅是z的函数，于是

所以当且仅当

时,T取到最小值；

这就是固定变量法.最终结果与巧思妙解法完全一致，但是这种方法是为大多数学生接受、掌握并且可计算到底的．

在数学竞赛试题或高考压轴题中，经常遇到和例1一样的求多元函数最值等问题.一般地，对于多元函数的最值问题，不少时候都可以利用固定变量法来解决．

3 简单应用

(2008年江西省数学高考试题)

下面就用固定变量法证明这道高考试题．

(1)证明:S<2．

不妨设x≥y≥z>0，则z≤2.由于xyz=8，因此这里只有2个变量．

思路1第2步：

图1

g(4)=16-4(A2-3A)+A=-4A2+13A+16≤-4×42+13×4+16<0，

所以4∈(α,β)．故函数S(x)的草图如图1所示．由草图可知S(x)的最大值为

说明上述解法从头到尾几乎都是求导或求最值，这正好是学生熟练掌握的知识与方法，虽然计算比较复杂，但是应该是学生能想、能算的方法．

同理，由对称性可知，当y=y0时，S(y)取得最大值；当z=z0时，S(z)取得最大值；并且y0,z0都是方程x2-(A2-3A)x+A=0的大根．

综上所述，当且仅当x=y=z=2时，S取得最大值，故

于是

(2)证明:S>1．

4 课后练习