一类*-富足半群的弱半直积结构

邱传林, 李勇华

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

邱传林, 李勇华*

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

引入了一类°-富足半群,该类半群真包含了GC-lpp半群,利用左正则带和°-恰当半群给出这类半群的弱半直积的结构.

°-富足半群; 弱半直积; 富足半群

1 概念和基本性质

设S是一个半群,E(S)表示S上的全体幂等元的集合,记ρ是S上的等价关系,若每一个ρ-类都含有S的幂等元,则称S是ρ-富足的.

推广正则半群的一种方法是考虑推广格林关系,这种思想首先由PASTIJN[1]提出,他将通常的格林关系推广到格林*-关系:

一个半群S称为*-富足的(～-富足的)半群当且仅当S既是*-富足的富足的)又是*-富足的富足的),在文献[3]中,*-富足半群称为富足半群,在文献[2]中,～-富足半群称为半富足半群.半群S上的等价关系()和*(*)都是右(左)相容的,但对来说,一般不成立[4]. 在1977年,FOUNTAIN[5]研究了*-富足半群(在文献[5]中称为rpp半群).在文献[3]中FOUNTAIN中引入了左类型A半群的概念,一个左类型A半群S是一个*-富足半群且满足下面条件：(1)S的幂等元集形成一个半格；(2)对所有的xS和eE(S),存在fE(S)使得f与xe是*-相关的且xe=fx.在文献[6]中,GUO等人引入了左GC-lpp半群S：(1)S是*-富足半群；(2)S的幂等元集形成左正则带；(3)对所有的xS和eE(S),存在fE(S)使得f与xe是*-相关的且xe=fx.并且用2种方法刻画了这类半群的结构.

注释①定义了半群S上的关系:

={(a,b)S×S:(∀xS)xa=a⟺xb=b}.

例1①假设a,b,c和d是无限单演半群,令S=a∪b∪c∪d∪{e},其中ea∪b∪c∪d,其乘法Cayley表如下

设S是°-富足半群,且满足条件：(1)E(S)是左正则带；(2)S满足条件(AL).我们称这样的半群为 左GC--lpp半群.本文主要给出满足条件(CL)的左GC--lpp半群的弱半直积结构.

本文采用文献[7]中的记号和术语. 下面给出一些常用的结论.

(1)ae；

证明若ae,则e·e=e推出ea=a.所以条件(1)推出条件(2).

命题1 设S是°-富足半群,φ:S→T是半群同态,则下面的条件等价：

(1)φ是°-同态；

(2)对S的每个元素a,总存在与a是°-相关的幂等元e使得φa°(T)φe.

我们说半群S上的同余ρ是-同余当且仅当自然同态ρ:S→S/ρ是-同态.由引理1和命题1有

推论1 设ρ是-富足半群S上的同余,则下面条件等价：

(1)ρ是一个-同余；

(2)对S的每一个元素a,存在与a是-相关的幂等元e使得对任意的xS,(xa,a)ρ推出(xe,e)ρ.

f=ef=efe=ee=e.

按定义可以验证S是左GC--lpp半群,而S没有幂等元和a是*-相关的,所以S不是*-富足半群,从而不是左GC-lpp半群.

命题2 设S是-富足半群,且其幂等元形成左正则带，则下列条件等价：

(1)S满足条件(AL).

证明(1)⟹(2)：因为ae=(ae)+a,所以有Sae⊆Sa∩Se；显然,Sa∩Se⊆Sae.故Sa∩Se=Sae.

(2)⟹(3)：这是显然的.

ae=(ae)+ae=(ae)+ba=(ae)+(ae)+ba=

(ae)+(ae)+b(ae)+a=(ae)+a,

满足要求.□

在这一节中,若没有说明,总是假定半群S是左GC--lpp半群.我们从下面的引理开始.

b+a+a=b+a=b+eb=b+b=b,

这可以得到bνa,类似上面的证明,我们可以得到E(a+)≥E(b+)；所以E(a+)=E(b+).□

命题3ν是S上的最小-同余使得S/ν是满足条件(AL)的-恰当半群.

b+(ac)+ac=(b+a)c=bc.

因为E((ac)+)≤E(e),所以E(b+(ac)+)=E((ac)+),从而acνbc.所以ν是右相容的.

接着,和上面同样的记号,注意到ca=ceb,有

ca=ceb=(ce)+cb=(ce)+c(b+a)=

(ce)+(cb+)+(ca)

和(ca)+=(ce)+(cb+)+(ca)+,这意味着E((ca)+)≤E((cb+)+).接着,

cb=cb+a=(cb+)+ca=(cb+)+(ca)+ca

最后,假设ρ是S上的-同余，使得S/ρ是满足条件(AL)的-恰当半群. 设c,dS且有(c,d)ν,则存在gE(d+)使得c=gd. 因为关系νE(S))是半格, 所以νE(S).由gν=d+ν,我们得到gρ=d+ρ,所以推出

cρ=gρdρ=d+ρdρ=dρ.

引理4∩ν=ιS,其中ιS是S上的恒等关系.

引理5S上的同余关系ν是幂等纯的,从而E(S/ν)同构于E(S)/(E(S))且S/ν是-恰当半群.

引理6S/ν满足条件(AL).

aνeν= (ae)ν=((ae)+a)ν=(ae)+νaν=

(aeν)+aν=(aνeν)+aν,

所以引理成立.□

引理7 设S是一个左GC--lpp半群,eE(S),aS. 若eE(a+),则(ea)+=e.

3 弱半直积结构

设T是一个满足条件(CL)和(AL)的-恰当半群且其幂等元集为半格Y,令L=(Y;Lα)为左正则带L在左零带Lα(αY)里的半格分解.记End(L)为半群L到L的自同态集,假设φ是从T到End(L)的映射且满足下面2个条件：

(x,u)·(y,v)=(x(φuy),uv).

因为T满足(CL),所以有uvuv+和(uv)+=(uv+)+,从而φuyL(uv)+.更多的,因为

(uv)+=(u+(uv))+=u+(uv)+,

引理8 (WS,·)是一个半群.

直接验证可得引理8.

上面给出的半群(WS,·)称为L和T的关于φ的弱半直积.

命题4 下面的结论在(WS,·)中成立.

(2)E(WS)是一个左正则带.

(3) (x,u)(y,v)当且仅当x=y.

(4)WS是一个满足(CL)的左GC--lpp半群.

(5) (x,u)ν(y,v)当且仅当u=v.

(x,α)·(y,β)·(x,α)=
(x(φαy),αβ)·(x,α)=
(x(φαy)(φαβx),αβα)=
(x(φαy),αβ)=(x,α)·(y,β).

这说明E(WS)是一个左正则带.

(3)我们首先证明(x,u)(x,u+).设(k,v)WS，使得(k,v)·(x,u)=(x,u),则k(φvx)=x和vu=u,后面的等式推出vu+=u+. 从而可以推出

(k,v)·(x,u+)=(k(φvx),vu+)=(x,u+).

由上面的结果,结合下面的事实

(x,u+)·(x,u)=(x(φu+x),u+u)=
(xx(φu+x),u)=(x,u),

我们立即得到(x,u)(x,u+).

同样,由上面的证明,可以更进一步地推出

(x,u)(y,v) ⟺(x,u+)(y,v+)

⟺(x,u+)=(y,v+)·(x,u+)，(y,v+)=(x,u+)·(y,v+)

⟺x=y(φv+x),y=x(φu+y),

u+=v+u+,v+=u+v+

⟺x=y，u+=v+

⟺x=y.

这证明了(3).

(x,u)·(y,α)= (x(φu+y),uα)=

(x(φu+y)x,(uα)+u)=

(x(φu+y),(uα)+)·(x,u)=

(x(φu+y),uα)+·(x,u)=

((x,u)·(y,α))+·(x,u).

这说明了WS满足条件(AL).

⟺u=v.

证毕.□

引理9 映射θ:T→S/ν,xxν是一个同构映射.

θ(x*y)=(xy)ν=xνyν=θ(x)θ(y),

所以θ是一个同构映射.□

ψu:E→E,x(ux)+,

则ψu明显是E到自身的映射.

引理10ψu是E的自同态.

ψu(xy)=(uxy)+=((ux)+uy)+=
(ux)+(uy)+=ψu(x)ψu(y).

这证明了ψu是E到自身的自同态.□

引理11 映射

ψ:T→End(E),uψu

满足条件(WS1)和(WS2).

ψuψv(x)=ψu(vx)+=

(u(vx)+)+=(uvx)+=

(e(u*v)x)+=e((u*v)x)+=

所以ψuψv=eψu*v,故条件(WS2)成立.□

命题5S同构于WS(E,T;ψ).

证明我们仅仅需要证明映射

θ:S→WS(E,T;ψ),s(s+,u) (uT∩sν)

s+(ψu(t+))=s+(ut+)+=(s+ut+)+=

(st+)+=(st)+

和

θ(s)θ(t)=(s+,u)(t+,v)=(s+(ψu(t+)),u*v)=

((st)+,u*v)=θ(st).

综上所述,θ是一个从S到WS上的同构映射. □

从命题5和命题4,我们得到关于满足条件(CL)的左GC--lpp半群的构造定理.

定理1 每一个左正则带和满足条件(CL)和(AL)的-恰当半群构成的弱半直积都是一个满足条件(CL)的左GC--lpp半群.反之,任意一个满足条件(CL)的左GC--lpp半群都能用这种方式构造.

注释：

[1] PASTIJN F. A represention of a semigroup by a semi-group of matrices over a group with zero[J]. Semigroup Forum, 1975, 10: 238-249.

[2] EL-QALLALI A. Structure theory for abundant and related semigroups[D]. Heslington: University of York, 1980.

[3] FOUNTAIN J B. Adequate semigroups[J]. Proc Edinburgh Math Soc, 1979, 22(3): 113-125.

[4] FOUNTAIN J B, GOMES G M S,GOULD V. A Munn type representation for a class of E-semiadequate semi-groups[J]. J Algebra, 1999, 218: 693-714.

[5] FOUNTAIN J B. A class of right pp monoids[J]. Quart J Math Oxford, 1977, 28(2): 285-300.

[6] GUO X, GUO Y,SHUM K P. Left abundant semigroups[J]. Communications in Algebra, 2004,32(6): 2061-2085.

[7] HOWIE J M. An introduction to semigroup theory[M]. San Diego: Academic Press, 1976.

Keywords：°-abundant semigroup; weak semidirect product; abundant semigroup

【责任编辑 庄晓琼】

WEAKSEMIDIRECTPRODUCTSTRUCTUREOFACLASSOF°-ABUNDANTSEMIGROUPS

QIU Chuanlin, LI Yonghua

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631)

A class of°-abundant semigroups is introduced which contains properly the GC-lpp semigroups, and then a weak semidirect product structure of this class of semigroups is established by using left regular bands and°-adequate semigroups.

2009-04-08

邱传林(1982—),男,广东汕头人,华南师范大学2006级(2009届)硕士研究生,现任职于广州市第二中学，Email:qiuchuanlin@126.com; 李勇华(1955—),男,江西南昌人,博士,华南师范大学教授, 主要研究方向: 基础代数, Email: liyh@scnu.edu.cn.

*通讯作者

1000-5463(2010)02-0004-05

O152.7

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