分数应用题教学中数学基本思想的渗透

高丽

数学基本思想包括：数学抽象、数学推理和数学建模。在应用题教学中如何能体现出这三种思想，是每一个数学教师在步入“后课标时代”都必须思考和面对的问题。新课标强调：数学思想是数学教学的精髓，是统领课堂教学的制高点。教师要在应用题教学中渗透数学思想。

一、渗透数学抽象思想

在应用题教学中，教师往往都是从一个具体的事例出发，通过画图、列表“剥去”一些具体形象的东西，究其本质，逐步抽象出其中的关系，这个过程就是数学抽象，也是灵活运用数学思想最基本和关键的过程。

例题：青云小学十月份用水440立方米，比九月份节约20%，问九月份用水多少立方米？

百分数应用题对六年级下学期的学生来说是一个全新的内容，但对于分数应用题，孩子们并不陌生。此题的信息量并不大，所以学生较容易理解。但这类题又是分数和百分数应用题的基本，如何抓住这个例题，抽象出其中的本质呢？很多孩子首先想到了画图。

画图是解决这类问题很好的方法。学生由已有的经验可以知道，解决这类问题的关键是：找准单位“1”和数量关系式。本题中，单位“1”是未知的，所以不能用440×20%。在分数应用题中对应思想尤为突出，因为一个数量对应一个分率或百分率，所以知道因为440这个数量对应的百分率应该是1-20%。根据关系式“九月份的用水量-十月份比九月份节约的用水量=十月份的用水量”，故本题可列方程或用除法来解决。

解决这一类型的应用题，用“份数”也是非常好的办法。从百分数的意义我们知道，百分数就是分母是100的分数，所以题中的20%可以写成■。“比九月份节约■”，就是指节约的占1份，九月份的用水量占5份，那十月份的用水量就是4份，进而求出“每份是多少”，最后求出九月份的用水量。

很显然，本题的关键就是对“比九月份节约20%”的理解，由这句话可以抽象出数量关系，而抓住“对应”是解决这类问题的关键。

二、渗透数学推理思想

对上道例题讲解完之后，可以对该题进行变式训练，把“比九月份节约20%”改成“比九月份多10%”“比九月份多2倍”等等。对于倍数问题，学生们在以前的学习中已有接触，这样变化可以让学生明白，当数量之间的倍数关系小于1时，通常说成几分之几或百分之几，理解时仍然可以当作倍数来理解。

例题：朝阳小学美术组有36人，女生人数是男生的80%。美术组男、女生人数各多少人？这题也可以和学生一起变式，把“80%”改成 “3倍”“0.5倍”，让学生体会前后知识的联系。

东北师范大学孔凡哲教授生动地解释：数学推理是说数学自身的发展。学生在解题中，可以从个别事实中受到启发。像上面所讲的例题，其实就是由以前的“和倍问题”发展而来。要让学生鲜明地感受数学“发展”的过程，教师就应该很清楚地了解各个阶段数学学习的特点。新课标中强调：学生不能只会理解和接收别人的观点，应会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

三、渗透数学建模思想

掌握基本数学思想的最高境界就是形成数学模型，用已学到的数量关系解决更多的现实问题。

学生学习中常会碰到这样的习题：

⑴一桶油，用去25%，正好用去7千克，这桶油有多少千克？

⑵一桶油，用去25%，还剩21千克，这桶油有多少千克？

对于这两个练习，学生由已有的知识知道，只是几字之差，找准数量的对应分率很重要。第一题中，很显然7千克对应就是25%;但第二题中的“21千克”是剩下的重量，显然对应的分率应该是“1-25%”。如果教师在新课的教学中，强调了这种重要的对应关系，学生在以后的练习中就会很自然地想到这一点。

再如：小星看一本课外书，第一天看了全书的■，第二天看了全书的■，____。这本书有多少页？（能补充什么条件呢？）

显然，答案有很多，比如“第一天看了30页”“第二天看了30页”“第一天比第二天少看了30页”“第一天和第二天一共看了33页”“还剩190页”，这几种条件的答案都不一样。通过这组题的练习，学生对这种类型的分数应用题就会有大概的模型，课堂教学的真正目的也就达到了。

在小学数学教学中，教师教给学生数学知识的同时，要重视挖掘知识发生、形成和发展运用过程中所蕴藏的数学学习方法，不失时机地渗透数学思想，指导学生运用数学思想科学地思考问题，培养学生探索规律、解决问题的能力，从而促进学生数学素质的提高。◆（作者单位：江苏省海安县教师进修学校附属小学）

□责任编辑：范宏芳